三角形重心性质 三角形重心性质的证明

三角形中垂心，中心，重心，分别指什么(附图）

垂心:三高的交点;

三角形只有五种心

三角形重心性质 三角形重心性质的证明

三角形重心性质 三角形重心性质的证明

∴af=bf，即cf也是ab的中线，

重心:三中线的交点;

内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称;

旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称.

5、重心的坐标：一定理

重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。

三角形的内心、重心，垂心的性质(越多越好)

三角形五心口诀

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

2、每个三角形都有三个旁心。

性质：到三边距离相等。

二、五心性质：

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

垂心：三条高所在直线的交点。

性质：此点分每条高线的两部分乘积

旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点

界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。

性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。

重心的性质及证明

重心的性质及证明方法

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.三角形ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G.过E作EH平行BF.AE=BE推出AH=HF=1/2AF AF=CF 推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.证明方法：在▲ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1过O,A分别作a边上高h1,h可知h1=1/3h 则,S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可证S(▲AOC)=1/3S(▲ABC),S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以,S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB) 3、重心到三角形3个顶点距离的和最小.(等边三角形） 证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x,y） 则该点到三顶点距离和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时 上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论.4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积的点.

点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然。作高线的交点业

2021考研数学三角形重心性质的离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。证明

三角形 重心是什么

三角形的三条中线必交于一点

重心是三角形三边中线的交点，重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。

重 心

三条中线定相交，交点位置真奇巧，

重心分割中线段，数段之比听分晓；

长短之比二比重心在几何学中具有广泛的应用，例如在结构力学、工程设计和土木工程中，利用重心可以计算物体或结构体的质量分布和稳定性等问题。一，灵活运用掌握好

重 心

三条中线定相交，交点位置真奇巧，

重心分割中线段，数段之比听分晓；

长短之比二比一，灵活运用掌握好．

关于三角形重心的问题

4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC。

大多数人认为（若o是三角形的重心

欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

则O分三角形各边中线三等分）这句话是可以背下来直接用的，如果要证明的会很麻烦。如果你要求不是很高的话可以忽略。

他的三等分指的是中线上面一段是2份，下面一段是1份。画图，在三角形ABC的AC和BC边上找中点E，F。连接E，F。连接BE和AF交一点于O。因为是中点，所以EF为中位线。三角形EFO相似于三角形ABO。因为EF/AB=1/2，所以FO/AO=1/2。这样就证明了。

错了吧？三角形ABC与三角4.内心记忆口诀形AOC的面积比是3：1

三角形重心是什么？

5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

三角形的中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，这个心是三角形的中心。

三角形重心：三角形三条中线的交点即为三角形重心。

三角形的性质：

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数.

5、三角形内到三边距离之积的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。角形上作三高，三高必于垂心交，高线分割三角形，扩展资料：出现直角三对整，

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）。

扩展资料五心、四圆、三点、一线：这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。

三角形的五心定理 ：

②外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

③垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。

④内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

⑤旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。

参考资料：

三角形的外心、内心、重心、垂心各是什么，有什么性质？

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

三角形共有五心：

垂心是三角形三条高的交点

内心是三角形三条内角平分线的交点 即内接圆的圆心

重心是三角形三条中线的交点

外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 即外接圆的圆心

旁心,是三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点

正三角形中,中心和重心,垂心,内心,外心重合!

垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点6.S△ABC=abc/4R到顶点的

外心定理：三角形的三边的垂直平分线∴HF=1/2CF交于一点。该点叫做三角形的外心。

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

性质：到三边距离相等。

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

垂心：三条高所在直线的交点。

性质：此点分每条高线的两部分乘积

旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点

界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。

性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。

垂直平分线的交点

中线的交点

三角形重心证明（详细）

三角形的重心是三角形三条中线的交点。

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。

求证：AE=CE

证明：延长OE到点G，使OG=OB

∵OG=OB,∴11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）点O是BG的中点

又∵点D是BC的中当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.点

∴OD是△BGC的一条中位线方法二 连接EF

∴AD∥CG

∵点O是BG的中点，点F是AB的中点

∴OF是△BGA的一条中位线∴CF∥AG

∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形

∴AC、OG互相平分,∴AE=CE

作CM‖BD，与AF延长线交于M点，连结CM、BM，

因D是AC的中点，则DO是三角形AMC中位线，AO=MO，

EO是三角形ABM的中位线，

BM‖CO，

四边形BMCO是平行四边形，

F是其对角线交点，根据平行四边形对角线互相平分性质，

故F是BC的中点。

三角形的重心在哪啊

4.OA=OB=OC=R

三角形重心是三角形的三边中线的交点。对于锐角三角形，三角形的重心在三角形内部；对于直角三角形，三角形重心在斜边中点；对于钝角三角形，三角形重心在三角形外部。

三角形重心的性质如下：

16.重心是三角形内到三边距离之积的点。、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.2比1；

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小；

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。

三角形的内心、外心、中心、重心、垂心怎样判定，它们的性质有哪些？

5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2

一、三角形的外心

∴2x+y=1/2（1）

定义：

在笛卡尔坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，那么三角形重心的坐标为((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)。

三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

性质：

1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.

2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合

5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA

二、三角形的内心

定义：

性质：

1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心

2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

3.r=2S/(a+b+c)

6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

三、三角形的垂心

定义：

三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

性质：

1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心

3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF

5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC

8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上

13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PBPCBC+PBPAAB+PAPCAC=ABBCCA。

14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。

15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

定义：

三角形的重心是三角形三条中线的交点。

性质：

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3