基本极限有哪些 基本极限类型

高数求极限有哪些基本方法

数学分析的基础概念。它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之。

1、无穷极限的定义分为四个部分：小近似

基本极限有哪些 基本极限类型

基本极限有哪些 基本极限类型

2、洛必达法则

定义法，转为定积分，洛必达，等价无穷小替换，导数定义法

等价替换，恒等变形，泰勒展开式数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。，洛必达法则

极限的运算法则有哪些？

极限的四则运算法则：

极限的四则运算法则是在学习了极限概念和无穷小量与无2、数学上指一个变量按一定规律变化，若持续变化的结果趋近于一常数，则称此常数为变量的极限。 自变量的值无限趋近但不等于某规定数值时,或向正向或负向增大到一定程度时,与数学函数的数值为无穷小的数。如果变量x逐渐变化，趋近于定量ɑ，即它们的的可以小于任何已知的正数时，定量ɑ叫做变量x的极限。可写成x→ɑ；或limx=ɑ。穷大量之后的又一重要内容，也是学习导数和微分的重要基础知识。

在进行极限的四则运算法则之前，需要对极限的概念、无穷小量和无穷大量的概念、无穷小量的运算性质、无穷小量和无穷大量的关系等基本内容都有初步学习和了解，而对于如何利用无穷小量的运算法则、无穷小量与无穷大量之间的关系求取函数的极限，以及利用观察法求取数列的极限和简单函数的极限，需要进行进一步的学习与掌握。

极限的四则运算公式表

乘法 ， ，则

极限的四则运算法则是两个函数的极限都存在，并且分母的极限还不等于0的情况下，当这两个条件都满足的，那么两个函数在和、、积、商的极限和这两个函数的极限的和、、积、商都相等；对于一个常数与一个函数的乘积的极限的情况，其结果等于这个常数与这个函数的极限乘积；并且一个函数的乘方的极限和这个函数的极限乘方也是相等的。在解决具体问题时，需要根据实际情况进行运算和解答，重视实际应用。

，对于分式来说，当其分母的极限不等于0时，才能直接运用四则运算法则进行求解。

第二，避免一些常见的错误的认识，例如对c/0=∞，（c为任意的常数），∞-∞=0，∞/∞=0等。

第三，对于无穷多个无穷小量来说，其和未必是无穷小量。

四 极限的四则运算法则的归类

1.x→x0这种情况

第二，当函数f（x）是一个分式，其分母的极限等于0，而要注意分子的极限并不等于0，那么便可以对极限的四则运算法则进行直接的运用并计算，或者求出f（x0）。

第三，在函数f（x）是个分式的情况下，当分母的极限

为0时，那么分子的极限不等于0，可以先对lim =0

进行求解，再根据无穷小量和无穷大量这之间的关系来进行计算。

第四，当f（x）是个分式，如果其分母的极限还有分子极限都等于0，先让其分子和分母中的公因式进行约分，或者是让含有根号的分子或分母有理3. 单调有界定理法：对于一个单调有界函数，其极限必然存在。化，再进行约分，然后利用极限的四则运算法则来进行计算，从而得到正确的结果。

2.x→∞的情形

在x→∞的情形下，函数的极限值主要是由分子、分母的次幂项的次数之间的关系来进行决定的，需要对分子分母的次1. 极限的和法则（加法法则）：幂项进行分析。

在进行求解的过程中有时用到有关无穷小量的运算性质，对于代数和与乘积的极限而言，要注意其所强调的“有限个无穷小量”，但如果这个条件没有办法得到满足，就不能用这个性质来进行极限的求解。

第五，运用极限四则运算法则求极限时常见的错误

在进行数列极限的计算中，对于四则运算法则的运用，需要注意一些问题：对数列极限的加、减和乘的运算法则能够把有限个数列进行推广，在这种情况下，不能对有限个数列的情况进行适用。在这个法则里还指出，“若两个数列都有极限的存在”，这是对数列极限的四则运算法则运用的一个前提条件。在利用极限四则运算法则进行计算时，注重两点，一是法则对于每个参与运算的函数的极限都必须是存在的；二是商的极限的运算法则有个很重要的前提，分母的极限不能为0。当这两个条件中任何一个条件不能满足的时候，不能利用极限的四则运算法则进行计算。

总之，极限的四则运算法则作为极限内容中的重点与难点，需要引起重视，在实际运用时，尤其要注意法则的使用条件，从而避免错误的出现。

极限的四则运算法则是什么？

，当函数f（x）是一个整式，可以对极限的四则运算法则进行直接的运用和计算，或是直接对f（x0）进行求解。

极限四则运算法则的前提是两个极限存在，当有一个极限本身是不存在的，则不能用四则运算法则。

4、∣f(x)-A∣<ε：既然ε可以足够小，则f(x)可以无限接近于常数A，也就是f(x)→A,这里需要注意一点，虽然自变量x不能取到x0这个点，但是因变量f(x)是可以取到A的。

设limf（x）和limg（x）存在，且令limf（x）=A，limg（x）=B，则有以下运算法则：

其中，B≠0；c是一个常数。

相关如下

极限的性质：

1、性：若数列的极限存在，则极限值是的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”。

3、保号性：若

（或<0），则对任何m∈(0,a)（a<0时则是 m∈(a,0)），存在N>0，使n>N时有

（相应的xn

极限的四则运算法则是指在进行极限运算时，可以利用四则运算法则进行简化和计算。具体包括以下几个法则：

2. 两个极限的的法则：lim (f(x) - g(x)) = lim f(x) - lim g(x)，即两个函数的极限之等于每个函数的极限之。

4. 两个极限的商的法则：lim (f(x) / g(x)) = lim f(x) / lim g(x)，其中lim g(x)不等于0，即两个函数的极限之商等于每个函数的极限之商。

这些四则运算法则可以帮助我们在计算极限时简化问题，提高计算的效率。

极限的四则运算法则是指在已知函数的极限情况下，当进行四则运算（加减乘除）时，新函数的极限可以通过对原函数的极限进行相应的运算得到。

具体地，设有函数 f(x) 和 g(x) 分别在某一点 x = a 处存在极限 L 和 M，则有以下四则运算法则：

1. 和法则：lim(xa) [f(x) + g(x)] = L + M

2. 法则：lim(xa) [f(x) - g(x)] = L - M

3. 积法则：lim(xa) [f(x) × g(x)] = L × M

4. 商法则：lim(xa) [f(x) / g(x)] = L / 学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，於是精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能。这个概念是成功的。M (其中 M ≠ 0)

在数学中，极限的四则运算法则是指在进行极限运算时，可以使用以下四个基本法则：

如果存在lim(xa) f(x) = L和lim(xa) g(x) = M，则满足以下等式：

lim(xa) [f(x) ± g(x)] = L ± M

2. 极限的积法则（乘法法则）：

如果存在lim(xa) f(x) = L和lim(xa) g(x) = M，则满足以下等式：

lim(xa) [f(x) g(x)] = L M

3. 极限的商法则（除法法则）：

如果存在lim(xa) f(x) = L和lim(xa) g(x) = M，并且M ≠ 0，则满足以下等式：

4. 极限的复合法则（函数的复合法则）：

且函数g在点L处连续，则满足以下等式：

lim(xa) g[f(x)] = N

这些极限的四则运算法则允许我们在计算极限时利用已知的极限结果进行运算，简化复杂的极限计算过程。需要注意的是，这些法则的适用条件要求所涉及的函数在相应点或区间满足一定的连续性和定义性要求。在具体的极限计算中，还需要根据具体函数的特性和运算规则进行具体分析和推导

极限是什么意思

除法 ， ，且y≠0，B≠0，则

极限的意思是：的限度点型：对任意#，总存在一个%，当x到某个点的距离小于%时，有f(x)到某个值的距离小于任意的#，数学上指无限趋近于一个固定的数值。

1. 两个极限的和的法则：lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)，即两个函数的极限之和等于每个函数的极限之和。

一、基本解释

1、的限度。例句：轮船的载重已经到达了极限；世界无垠，还有更多的地方，我们没有看到，人体魔幻，还有更远的极限，我们不知在哪，感官神奇，还有更奇妙的感觉，我们无缘体会。

二、详细解释

人们把一些某些带有冒险性与性的体育运动和结合较高难度且挑战性较大的组合运动项目统称为极限运动，极限运动被称为勇敢者的运动。极限运动的项目一般都是近几十年才出现的，其领域涉及“海、陆、空”三维空间，主要项目有滑板、滑水、极限单车、攀岩等。

极限是什么？

lim(xa) [f(x) / g(x)] = L / M

微积分等价替换公式如下：当x→0，且x≠bai0，则x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx例： = =。

数列极限：

x~ln(1+x)~(e^x-1)。

[(1+x)^n-1]~nx。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件：被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。历史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。

朋友，想请教一下你关于基本极限当中的 恒等式变形 ， 一些基本恒等式 有哪些、、？

加减法 ， ，则

当x→0时，sinx~arcsinx~tanx~arctanx~lin(1+x)~(e^x)-1~x，1-cosx~(12、局部有界性：存在必有界/2)x^2，(1+x)^(1/n)-1~(3. 两个极限的乘积的法则：lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x)，即两个函数的极限之乘积等于每个函数的极限之乘积。1/n)x

极限的求解方式有哪些？

都成立，那么就成常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）

极限的求解方式有以下几种：

(1-cosx)~xx/2。

1. 代数运算法：利用极限的基本性质和运算法则，将极限转化为已知的极限或者函数值，再进行计算。

2. 夹逼定理法：通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使它们的极限值相等，从而确定原函数的极限。

4. 逐步逼近法：通过逐步缩小自变注意，这些法则仅在极限存在的条件下成立，并且对于有些函数可能需要进一步考虑其他特殊情况，例如除法法则中的 M ≠ 0。量的范围或者增加自变量之间的距，来逼近函数的极限。

6. 震荡定理法：对于周期性函数，在某些特定条件下，可以利用震荡定理来确定其极限。

需要注意的是，不同的极限求解方法适用于不同类型的函数，因此在具体计算中需要根据函数的性质和特点选择合适的求解方法。

重要极限是什么？

无穷型：对任意#，总存在一个%，当x到小于%的时，有f(x)到某个值的距离小于任意的#

个重要极限是lim((sinx)/x)=1(x->0)极限存在只是函数有界的充分条件，而非必要条件，即函数有界但函数极限不一定存在。。

“极限”是数学中的分支微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。极限它可以用来描述一个序列的指标愈来愈大时，序列中元素的性质变化的趋势，也可以描述函数的自变量接近某一个值的时候，相对应的函数值变化的趋势。

相关信息：

极限运算的学习是从四则运算法则开始的，也就是函数的和、、积、商的运算法则。在各函数的极限都存在的前提下，只要商的极限运算中分母函数的极限不等于0，函数的和、、积、商的极限等于极限的和、、积、商。

简单来说，在自当极限的函数是一个整式，可以直接运用极限的四则运算法则来进行计算。例如，当x趋近于1时，分母的极限不是0，可以直接对法则进行运用和计算。变量x→x0时，这些情况下通过直接代入x0值求得极限。但是，基本上都是要我们求函数商的极限且在此商中分母的极限等于0。

在循序渐进的学习中，我们一般是从分子和分母都是多项式或者带根号的式子这种简单的商式开始，通过因式分解、分母有理化等方法化简商式，使得分子和分母在化简之后极限不再为0，从而求得极限。

0.9999的极限是什么？

0.9999的极限不是一，因为这种表达方式是有问题的，在高等数学的极限之中有5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。这样的一个小结论吧，0.99的无限循环，它的极限是一，但并不是0.9999的极限就是一，这里面缺了一个无限循环的问题。

极限的相应思想是在高等数学初期被奠定的，有很多大公式家对他进行了一个定义，不过基本认同的定义就是一个函数无限趋近于某个量，但是永远不相交就是无限接近，但是不相等它的极限就是相等，这是一种极限的思维，把不可知不可算变成可算，因为如果去纠结这个无限接近的这个数字，我们就没有办法进行运算了，我们把它约等于它无限接近的那个数，因为它是无限接近的，它们之间的距离是无限小的，小到人们可以忽略它。

极限是一个非常抽象的概念，高等数学的基础在第1章的时候讲的就是极限极限的定义，以及一些基本的等量代换，还有它的公式，这些东西都是人们计算极限的时候常用的，0.9999的无限循环的极限等于一，这只是一个引力而已，就是说实际上的极限计算是不会计微积分等价极限：算这个东西的，都是计算那些可以等量代换，可以泰勒公式替换的那些东西的，提前都有过证明的，然后我们通过改变形式等量代换可以达到的东西。

高等数学是一个特别抽象的东西，在极限这一块其实还是比较简单的，如果说实在理解不了这种无限趋近它就相等的思想，你可以简单的放过它，因为这只是一个例子引你去进入极限的世界，实际计算的时候不会去考你0.99的无限循环是不是等于一的问题，因为这是一个公理，我们不去计算这个东西的过程。

两个重要极限是什么 公式是什么

极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。

两个重要极限是什么

1、个重要极限的公式：

lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。

特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。

2、第二个重要极限的公式：

lim (1+1/x) ^x = e（x→∞） 当 x → ∞ 时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当 x → 0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。

极限的求三 极限的四则运算法则在进行函数极限求解时需要注意的事项法

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）

3、利用无穷大与无穷小的关系3.其他的情形求极限。

4、利用无穷小的性质求如果存在lim(xa) f(x) = L和lim(yL) g(y) = N（或者反过来），极限。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

请问极限的概念是什么？

（3）四则运算法：有限个有界函数的和、、积必有界。

1、对任意的ε>0：ε在定义中的作用就是刻画出在x→x0时，f(x)可以无限接近于常数A,也就是∣f(x)-A∣可以任意小。为了达到这一要求，所以ε必须可以足够小。（考试中经常在ε上做文章）

定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式

2、存在δ>0：δ就是这个邻域的半径，x→x0所能取到的所有点就是（x0-δ,x0）∪（x0,x0+δ），这里x取不到x0.但是这个邻域δ到底有多大、距离x0有多远，我们不知道，也没有必要知道，只要知道δ是很小的一个数就可以啦。

3、0<∣x-x0∣<δ：自变量x→x0时，再次强调一下，x取不到x0这个点，但是可以取到x0附近和两侧的所有点。这就涉及到邻域的概念，邻域通俗讲就是以点x0为中心的附近和两侧所有点，是一个局部概念。

特别注意：函数在一点的极限存不存在和函数在这个点有没有定义没有关系。

扩展资料

极限的性质：

1、性：存在即

关于性，需要明确x趋向于无穷，意味着x趋向于正无穷并且x趋向于负无穷；同理，x→xo，意味着x趋向于xo正且趋向于x0负。

比如：x趋向于无穷的时候，e^x的极限就不存在，因为x趋向于正无穷的时候e^x是无穷，x趋向于负无穷的时候e^x是0，根据极限存在的性，所以这个极限不存在。

判别有界性的方法

（1）理论法：函数在闭区间上连续，则函数必有界。

（2）计算法：函数在开区间上连续且左右极限都存在，则函数有界。

3、局部保号性：保持不等号的方向不变

极限大于零则在x→x0中函数大于零，把极限符号可以直接去掉，俗称“脱帽法”。函数非负，则在极限存在的条件下，极限非负。这个结论成立的前提条件一定不能忘，一定要验证一下函数极限是否存在。

参考资料来源：

极限在高等数学中，极限是一个重要的概念。

极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。

首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=62的9次方边形，利用不等式An+1

|Xn - a|<ε

数列极限的性质：

1.性：若数列的极限存在，则极限值是的；

2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。

几个常用数列的极限：

an=c 常数列 极限为c

an=1/n 极限为0

an=x^n x小于1 极限为0

函数极限的专业定义:

设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：

|f(x)-A|<ε

那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。

函数极限的通俗定义：

1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x→+∽时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作lim f(x)＝A ，x→+∞。

2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ，x→a。

函数的左右极限：

1：如果当x从点x=x0的左侧（即x〈x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x→x0-limf(x)=a.

2:如果当x从点x=x0右侧（即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x→x0+limf(x)=a.

注：若一个函数在x（0）上的左右极限不同则此函数在x（0）上不存在极限

函数极限的性质：

极限的运算法则（或称有关公式）：

lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)

lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)

lim(f(x)g(x))=limf(x)limg5. 等价无穷小替换法：将一个函数替换成与它等价的无穷小函数，从而转化为易于求解的极限。(x)

lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 )

lim(f(x))^n=(limf(x))^n

以上limf(x) limg(x)都存在时才成立

lim(1+1/x)^x =e

x→∞

无穷大与无穷小：

一个数列（极限）无限趋近于0，它就是一个无穷小数列（极限）。

无穷大数列和无穷小数列成倒数。

两个重要极限：

1、lim sin(x)／x ＝1 ，x→0

2、lim （1 + 1／x）^x ＝e ，x→∞ （e≈2.7182818...，无理数）

极限基本解释

1.是指无限趋近于一个固定的数值。

2.数学名词。在高等数学中，极限是一个重要的概念。

极限可分为数列极限和函数极限.

函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。

设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当

|x-xo|<δ时，，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x0处的极限。

极限的性质

性质1 性 性质2 有界性 性质3 保号性 性质4 夹逼准则

扩展阅读：

1 《高等数学（一）》全国高等教育自学考试指定教材[2004年版]。

2 武汉大学-章学诚-2008年2月

3 高等数学同济五版

在数学中，如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值，那么该定值就叫做变化的量的极限。

数列型：对任意#，总存在一个%，当x大于%时，有f(x)到某个值的距离小于任意的#

/ 其中#规定无限接近的概念

/ %规定了x的范围：是无穷的大；还是某点领域；还是无穷

说开始，时间（钟）还没动，绕宇宙的物体已经跑2圈了。