芝诺的三个悖论 芝诺的悖论的根本错误到底在哪里

芝诺的四个悖论

芝诺的四个悖论是：二分法悖论、阿基里斯悖论、飞矢不动、队伍悖论。

芝诺的三个悖论 芝诺的悖论的根本错误到底在哪里

芝诺的三个悖论 芝诺的悖论的根本错误到底在哪里

芝诺的三个悖论 芝诺的悖论的根本错误到底在哪里

1、二分法悖论：一个人在到达目的地之前，要先走完路程的1／2，再走完剩下总路程的1／2，再走完剩下的1／2。按照这个要求可以无限循环的进行下去。因此有两种情况：①这个人根本没有出发；②只要他出发了，就永远到不了终点。（尽管离终点越来越近）

2、阿基里斯悖论：其实，这个悖论就是指这个有趣的故事——阿基里斯与乌龟赛跑。阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟10倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。

3、飞矢不动：“飞矢不动”中的“矢”指的是弓箭中的箭。正常的射箭，任何人都知道，只要箭离了弦，就能飞出去，经过一段空间运动后，到达另一个位置。然而，芝诺认为：如果我们截取“飞矢”的每一个瞬间，它在空中都是“静止”的。既然每一个瞬间都是静止的，所有的瞬间加起来也应该是静止的，因此，“飞矢”是“不动”的。

4、队伍悖论：设在运动场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，队列B、C分别各向右和左移动一个距离单位。而此时，相对于B，C移动了两个距离单位。芝诺认为，既然队列可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，那么，半个时间单位就等于一个时间单位。

芝诺悖论

悖论一（二分法悖论）：从A点到B点是不可能的。

看了这个命题，你会马上说，这怎么不可能？别着急，我们先来看看芝诺的逻辑。

芝诺讲，要想从A到B，先要经过它们的中点，我设是C点，而要想到达C点，则要经过A和C的中点，设是D点……这样的中点有无穷多个，找不到一个。因此从A点出发的步其实都迈不出去。

悖论二（阿喀琉斯悖论）：阿喀琉斯追不上乌龟。

我们知道阿喀琉斯是古希腊神话中的飞毛腿，但是芝诺讲如果他和乌龟赛跑，只要乌龟跑出去一段路程，阿喀琉斯就永远追不上了。按照我们的常识，芝诺的当然是错的。不过我们还是听听他的逻辑。

为了方便起见，我们简单地设阿喀琉斯奔跑的速度是乌龟的10倍。如果乌龟先跑出10米。等阿喀琉斯追上了这10米，乌龟又跑出1米，等阿喀琉斯追上这1米，乌龟又跑出0.1米……总之阿喀琉斯和乌龟的距离在不断接近，却追不上。

悖论三（飞箭不动悖论）：射出去的箭是静止的。

在芝诺的年代，运动最快的是射出去的箭。但是芝诺却说它是不动的，因为在任何一个时刻，它有固定的位置，既然有固定的位置，就是静止的。而时间则是由每一刻组成，如果每一刻飞箭都是静止的，那么总的说来，飞箭就是不动的。

这个悖论，可能就比前两个难辩驳了。

悖论四（基本空间和相对运动悖论）：两匹马跑的总距离等于一匹马跑的距离。

如果有两匹马分别以相同的速度往两个方向远离我们而去，我们站在原地不动。在我们看来，单位时间里它们各自移动了一个单位Δ（Δ通常表示增量），显然一匹马跑出去的总距离就是很多Δ相加。但是如果两匹马上有人，那么在彼此看来，对方在单位时间却移动了两个Δ长度，彼此的距离应该是很多两倍的Δ相加。

那么，如果Δ非常非常小，小到无限接近于零，芝诺就干脆认为Δ=0，0乘以任何数还是0，那么1Δ＝2Δ。但是左右两匹马跑出去的总距离怎么可能等于一匹马跑的距离呢？

解析

今天我们就用无穷小的概念回答芝诺的第1、2和第4个悖论，由于个和第二个悖论其实是一回事，我们只讨论第二个，也就是阿喀琉斯和乌龟赛跑的例子。

我们知道，在阿喀琉斯悖论中，芝诺其实把阿喀琉斯追赶的时间分成了无限份，每一份逐渐变小却又不等于零。比如我们设阿喀琉斯一秒钟跑10米，那么芝诺所分的每一份时间就是1秒、0.1秒、0.01秒，等等。如果我们把它们加起来，就是之前讲的等比级数。

S=1+0.1+0.01+0.001+……

接下来的问题是，这样无限份的时间加起来是多少？如每一份时间都存在一个最小的、具体的长度，那么这样子的无限份加起来显然就是无限大，这是矛盾所在。但是，如果我们能够定义一个被称为“无穷小”的量，它满足这样两个条件，芝诺的悖论就能够解决了。

1 它不是零；

2 它的小于任何一个你能够给定的数。比如你说10^-100（10的负100次方就是10的100次方分之一）非常小，那么我这个无穷小比你说的还小，如果你说再来一个更小的数10^-10000，那么我这个无穷小依然比你的数字小。

无穷多个无穷小量加在一起可以有三种情况，分别是一个有限的数，无穷大，或者是无穷小，我们在后面介绍无穷大和无穷小的比较时会详细讲。

在这个具体情况中，无限个无穷小量加起来是一个有限的数，这一点我们在后面讲到极限的概念时会说明，S这个级数的极限是10/9。

因此引入了无穷小的概念，就解决了阿喀琉斯悖论。可以讲，正是阿喀琉斯悖论帮助我们补上了数学上的一个缺失。

其实芝诺的错误就是把无穷小直接当做了0。

至于第三个悖论，芝诺其实混淆了两个概念，即瞬间位移量和瞬间速度的别。芝诺注意到了当间隔时间Δt趋近于零的时候，箭头飞行的距离ΔS也趋近于零。但是，它们的比值，也就是速度，并不是零。

至于第四个相对运动悖论，其实说起来就更简单了。芝诺所说的Δ，其实就是无穷小，虽然它趋近于零，但是不等于零，因此Δ≠2Δ。

总结

当逻辑和我们的经验有了矛盾时，有两个结果，一个结果是我们的经验错了。比如说，到底是地球围绕太阳转，还是太阳围绕地球转？在这件事上，我们的经验就错了。当然还有一个可能性就是，我们看似正确的逻辑，本身可能有问题，因为有概念的缺失，芝诺的悖论就属于第二种。

芝诺的悖论是什么？

芝诺的系列悖论中最有名的一个是“阿喀琉斯和乌龟”。

神话中，阿喀琉斯（也称阿基里斯，希腊神话中的勇士，曾参加围攻城）出生后被其母倒提着脚在冥河水中浸过，因此除未浸到水的脚踵外，浑身刀枪不入。

“阿喀琉斯和乌龟”悖论说的是，英雄阿喀琉斯参加与一只乌龟的长跑比赛。

这不是一只普通乌龟，而是在击败了伊索（古希腊寓言作家）的兔子后洋洋自得的那只乌龟。

为了公平起见，阿喀琉斯让乌龟领先一步——比如1千米。比赛开始后，阿喀琉斯很快就到达了乌龟的出发点。

然而，此时乌龟已笨拙地前进了一段距离，例如1/10千米。阿喀琉斯又迅速跑完了这100米，但此刻乌龟又往前挪动了一小段距离——1/100千米……

芝诺悖论指出，由于乌龟总是领先阿喀琉斯一步——每当阿喀琉斯到达乌龟所在的上一个位置，乌龟总是又往前走了一段距离（尽管这段距离可能很短很短），所以阿喀琉斯永远都追不上乌龟。

虽然阿喀琉斯每次所跑的距离越来越短，但乌龟有无限段领先距离需要他跨越。这个距离用公式可表述为：

1+1/10+1/100+1/1000+…10的无限次方分之一

根据芝诺所言，阿喀琉斯“不可能在有限时间内跨越无限段的距离”。

直到19世纪，数学家才证明了芝诺悖论是错的。随着阿喀琉斯与乌龟之间的距离越来越短，阿喀琉斯追赶得也越来越快。

事实上，阿喀琉斯与乌龟之间的距离最终会变得无限短，以至于他瞬间就跑过了乌龟。

因此，他完全能赶上乌龟，轻易超越它。

也许读到这里，还是有些读者搞不明白芝诺悖论为什么是错的。

其实，不少当代哲学家声称，芝诺悖论在数学逻辑上也许是错的，但在逻辑思维上完全站得住脚。果真如此吗？

事实上，提出这一悖论的芝诺本人恐怕也知道阿喀琉斯追得上乌龟。不然的话，芝诺悖论就不会被叫作悖论了。芝诺把阿喀琉斯追乌龟的过程无限分割，这一点没有什么错误。

但由此得出追赶过程的段落无穷多、因而追赶过程的持续时间也无穷大这个结论就大错特错了。无穷个数字相加之和可以是有限的数值，而不是想当然的无穷大。

庄周所著《庄子》一书的《天下篇》中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

一尺的长度可以无限分割，换句话说，无穷个线段相加可以等于一尺。

无穷个线段之和可以是有限的，因此走完这样的无穷个线段所需的时间也是有限的。

线段上有无穷个点，点没有大小，线段却有确定的长度。

这个问题正好和芝诺悖论有些相似，如果理解不了芝诺悖论，那么就解释不清楚为什么没有长度的点能构成线段。

事实上，这也正是亚里士多德对芝诺这一悖论的反驳思路。

现在回到前述的悖论。

那么，到什么位置时阿喀琉斯能追上乌龟呢？由于19世纪数学家们的工作，我们知道，对于任何介于0和1之间的数值n来说：

1+n+n2 +n3 +…n的无限次方=1/（1-n）

对于芝诺悖论而言，取n=1/10，那么阿喀琉斯会在仅仅跑了1.11米之后就追上乌龟。

看上去，这个结果不过是满足人们对一个历史悖论的好奇心。然而，这种观念直到今天依然具有现实意义。

当然，数学家们不是用它来研究人龟赛跑，而是利用它来与疾病作斗争。

芝诺悖论是什么？芝诺悖论的内容是什么

芝诺悖论（Zeno's paradox）是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。

悖论学说

这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支援他老师巴门尼德关于"存在"不动、是一的学说。这些悖论中最的两个是:"阿基里斯跑不过乌龟"和"飞矢不动"。这些方法可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的机械论的分歧点。

三个例子

追乌龟

阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不大概追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了;阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自个之间制造出一个距离，无论这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！

"乌龟" 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应当达到被追者出发之点，此时被追者已往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。"

如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 1-0.999...>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1-0.999...=0，但1-0.999...>0"思想。，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0，或1-0.999...>0"思想。

有人解释道:如果慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。

芝诺当然晓得阿喀琉斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。

类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里:我们在这里有一个定，那就是定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成。

以上初等数学的解决办法，是从结果推往过程的。悖论自己的逻辑并没有错，它之所以与实际相甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函式，而芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即不管将时间间隔取得再小，整个时间轴仍是由无限的时间点组成的。换句话说，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。

本来这归根毕竟是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s，乌龟在前面100m。实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。依照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给我们一种很像永远也过不完的印象。但本来根本不是如此。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为不管时间再短也可无限细分。但本来我们真的就永远也过不完这1秒了吗？显然不是。尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，很像永远无穷无尽。但本来时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，本来加起来只是个常数而已，也就是1秒。所以说，芝诺的悖论是不存在的。

飞矢不动

设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不大概在运动。

上述结论也适用于时刻有持续时间的情况。对于这种情况，时刻将是时间的最小单元。设箭在这样一个时刻中运动了，那么它将在这个时刻的开始和结束位于空间的不同位置。这说明时刻具有一个起点和一个终点，从而至少包含两部分。但这显著与时刻是时间是的最小单元这一前提相矛盾。因此，纵然时刻有持续时间，飞行的箭也不大概在运动。总之，飞矢不动。

箭悖论的标准解决方案如下:箭在每个时刻都不动这一事实不可以说明它是静止的。运动与时刻里发生什么无关，而是与时刻间发生什么有关。如一个物体在相邻时刻在相同的位置，那么我们说它是静止的，反之它就是运动的。

队伍

首先设在场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。

◆◆◆◆观众席A

▲▲▲▲伫列B

▼▼▼▼伫列C

B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。

◆◆◆◆观众席A

▲▲▲▲伫列B……向右移动

▼▼▼▼伫列C……向左移动

而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，伫列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此伫列是移动不了的。

芝诺悖论

因为你要注意到阿基里斯跑每一段所花的时间越来越少，而把所花的这些时间加起来，永远也超不过一个值~这个值的大小就等于路程/速度。

举例:比如等比数列:1/2,1/4,1/8....把它们全加起来，无论你加多少项，它们的和永远也超不过1。

再举例：如刘翔速度10米/秒，我的速度5米/秒，起跑时我在刘翔前面5米的A点。当刘翔跑到A点时，花了1/2秒，这时我跑过2.5米到达B，刘翔从A跑到B要花1/4秒。。。以后的时间分别为1/8，1/16，1/32。。。把它们全加起来不超过1秒。而按小学里的算法（追及时间=路程/速度），刘翔要追到我所需时间为5/（10-5）=1。

除去故弄玄虚的理由，这样解释就可以了。

如果一定要说什么“正常时间”“芝诺时间”的话，你可以说芝诺的时间是有限的，或者说，芝诺没有给阿基里斯足够的时间去追乌龟。就像如运动会的计时器最多只能计到12秒，那么刘翔永远也跑不完110米栏。当然也许不能说的那么，万一哪天他爆发了。。。可是芝诺的时间却是随速度的增加而减少的，所以就算阿基里斯加快速度跑，还是追不上。

悖论有很多，知道就行了，别钻，要不会和康托一样要吃

用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准,人们是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准,有一种很特别的“钟”，是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”。芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，不过芝诺的“钟”已经无法度量它们。

用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准,人们是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准,有一种很特别的“钟”，是用重复性过程测得的时间称为“芝诺时”。芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，不过芝诺的“钟”已经无法度量它们。

呵呵,你被拉,说简单一点

他们到达一点的时间不同拉,而那个什么的认为时间是一样的,就回这样拉

简单的说：一种时间的度量到达了无限后，从其他的角度看，可能是有限的，即还有时间的。

别管什么时空和哲学了。

这悖论认为一段有限的时间（我们采用的时间度量中）被分成无限多小份，且其趋于无限（这是芝诺时），于是时间（我们正常观念的时间）也是无限。这明显错了嘛。

至于为什么用正常时间，不用芝诺时，因为只有我们的时间才是无限的，而芝诺时是有限的。

没抄你的哈，^_^。

芝诺悖论其实是极限理论的前身,要澄清着一悖论需要极限 连续和无穷等抽象概念,当时的希腊数学家尚不能给予清晰的解答.

如果学了微积分,运用级数理论很容易解决这一问题.

瞎搞

箭失不动说 我也想了很就 我不知道

芝诺提出的悖论是？

阿基里斯是古希腊神话中的英雄，海洋女神特提斯的儿子，他健步如飞，能日行千里。可芝诺却出语惊人，他断言：阿基里斯永远追不上跑得很慢的乌龟。他提出，如果乌龟在前阿基里斯在后同时起跑，阿基里斯要追上乌龟，必须首先到达乌龟的起点处，乌龟却已跑到另一地点，而当阿基里斯到达这一地点时，乌龟已到达另一新地点。如此类推下去，以至无穷。阿基里斯永远也别想追上乌龟。在这里，芝诺借助推理的方法提出了时间和空间可以无限分割的问题，他推理的前提是：在有限的时间内要通过无穷个点是不可能的。他的推理过程是：阿基里斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟的起点A，而当阿基里斯赶到A点时，乌龟已向前跑了一段路S1，到了B点；当阿基里斯跑完S1这段路程到达B点时，乌龟又向前跑了一段路S2到达C点；当阿基里斯赶到C点时，乌龟又向前跑了一段路S3到达D点，如此下去，虽然S2比S1小，S3比S2小，但总是还有一段距离存在。Sn会越来越小，但由于时空是无限可分的，所以总有比Sn更小的Sn+1存在，那么点与点的距离虽然不断缩小，但永远不会重合。所以，阿基里斯虽然健步如飞，日行千里，但在他前面却永远有着新的Sn+x等待着他去超越，阿基里斯永远也别想追上乌龟。

飞矢不动，芝诺是把时间和空间分成无数不可再分的小点，作为推理的前提的。他认为，既然任何事物在刹那间都只能占有和自身相等的空间，那么，飞矢也是如此。它在飞行的过程中，也必然是这一刹那间在这一点，那一刹那间在另一点。这样，飞矢实际上经过的只不过是无数个静止的点。把无数静止的点加起来的总和，仍然是静止，而不会形成运动。所以，飞矢实际上是不动的。

根据上述两个命题，芝诺得出的结论是：运动变化是不可能甚至连机械位置移动都是不可能的。这是一种通过揭露运动中的矛盾来否认运动的形而上学观点。由于这种观点明显违背了常识和科学，因而绝大多数哲学家都不这种观点。据说，当时一个久居木桶的隐士哲学家第欧根尼听到芝诺的命题，一反常态，走出木桶，一言不发地走来走去——他是在用运动的事实反驳芝诺的论断，他的学生悟出老师的寓意，不禁手舞足蹈时，第欧根尼却斥责说，用理性论证的东西只有用理性去反驳才有效，即逻辑的论证只能用逻辑的论证来反驳。既然芝诺的命题是理论问题，那你反驳他也得讲出道理，而不应该满足于用事实加以反驳的简单做法。

我只知道那个关于阿基里斯的问题，不过似乎我觉着一点道理都没有。很迷惑。

芝诺是斯多亚学派的创始人吧，是塞浦路斯人，我那本西方哲学史上有他的理论，不过具体的悖论没有设计。你可以去书店买本西方哲学家的这些悖论看去，蛮有意思的

“芝诺悖论”告诉你，这个视频你永远都看不完！