人教版初二数学上册_人教版初二数学上册知识点

人教版初二上学期数学难吗?大概都讲些什么

读一读 二次根式应用举例…………………………………………………187

不是特别难，规律性挺强的，要认真学。

人教版初二数学上册_人教版初二数学上册知识点

人教版初二数学上册_人教版初二数学上册知识点

学校 ：Y2=4X+120

内容如下：

第十一章全等三角形

第十二章轴对称

第十三章实数

第十四章一次函数

第十五章整式的乘除与因式分解

其实现在初中数学都不怎么难。至于初二吗应该熟记全等三角行的证明方法(AAS角角边）（SAS边角边）（ASA角边角）（HL直角三角形的一条斜边加一条直角边）这些到了初三都是非常重要的。（我过来人）还有就是一次函数了。这些都是初二上学期的重点。

化工

初二数学上册学些什么

特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。正比例是Y=kx+b。

初二代数：

③连 线：连接对称点。把这些对称点顺次连结起来，就形成了一个符合条件的对称图形。

8.1 提公因式法……………………………………………………………………6

8.2 运用公式法……………………………………………………………………15

8.3 分组分解法……………………………………………………………………26

读一读 用配方法分解二次三项式 …………………………………………38

小结与复习

复习题八

自我测验八

第九章 分式

9.1 分式……………………………………………………………………………53

9.2 分式的基本性质………………………………………………………………57

9.3 分式的乘除法…………………………………………………………………63

9.4 分式的加减法…………………………………………………………………76

读一读 繁分式 ………………………………………………………………88

9.5 含有字母系数的一元一次方程………………………………………………90

9.6 探究性活动：a=bc型数量关系………………………………………………96

小结与复习

复习题九

自我测验九

第十章 数的开方

10.1 平方根………………………………………………………………………121

10.2 用计算器求平方根…………………………………………………………130

10.3 立方根………………………………………………………………………134

读一读 n次方根和n次算术根………………………………………………139

10.4 用计算器求立方根…………………………………………………………141

10.5 实数…………………………………………………………………………144

读一读 为什么说不是有理数…………………………………………151

小结与复习

复习题十

自我测验十

第十一章 二次根式

11.1 二次根式……………………………………………………………………163

读一读 比较二次根式的大小………………………………………………175

11.3 二次根式的除法……………………………………………………………177

11.4 最简二次根式………………………………………………………………183

11.5 二次根式的加减法…………………………………………………………188

11.6 二次根式的混合运算………………………………………………………196

11.7 二次根式的化简 ……………………………………………………209

小结与复习

复习题十一

自我测验十一

8.1 提公因式法……………………………………………………………………6

8.2 运用公式法……………………………………………………………………15

8.3 分组分解法……………………………………………………………………26

读一读 用配方法分解二次三项式 …………………………………………38

小结与复习

复习题八

自我测验八

第九章 分式

9.1 分式……………………………………………………………………………53

9.2 分式的基本性质………………………………………………………………57

9.3 分式的乘除法…………………………………………………………………63

9.4 分式的加减法…………………………………………………………………76

读一读 繁分式 ………………………………………………………………88

9.5 含有字母系数的一元一次方程………………………………………………90

9.6 探究性活动：a=bc型数量关系………………………………………………96

小结与复习

复习题九

自我测验九

第十章 数的开方

10.1 平方根………………………………………………………………………121

10.2 用计算器求平方根…………………………………………………………130

10.3 立方根………………………………………………………………………134

读一读 n次方根和n次算术根………………………………………………139

10.4 用计算器求立方根…………………………………………………………141

10.5 实数…………………………………………………………………………144

读一读 为什么说不是有理数…………………………………………151

小结与复习

复习题十

自我测验十

第十一章 二次根式

11.1 二次根式……………………………………………………………………163

读一读 比较二次根式的大小………………………………………………175

11.3 二次根式的除法……………………………………………………………177

11.4 最简二次根式………………………………………………………………183

11.5 二次根式的加减法…………………………………………………………188

11.6 二次根式的混合运算………………………………………………………196

11.7 二次根式的化简 ……………………………………………………209

人教版初二上册学习的内容 ：全等三角形、轴对称、实数、一次函数、整式的加减乘除运算

各个版本的学习内容不一样，你要先问问你们上一届学习的哪个版本比较好

因式分解并没有你想象的那样难，只要用心学就一定能学好，当然也需要一些技巧，实在学不会我可以帮你，保证学会

八年级上册数学知识点提纲

中心对称

任何一门学科的学习都需要循序渐进，数学也是如此，如果没有扎实的基础，就很难应对后续的课程。下面我给大家分享一些 八年级 上册数学知识点提纲，希望能够帮助大家，欢迎阅读!

八年级上册数学知识点提纲

一、勾股定理

1、勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有这种关系，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数

满足的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数组有：(3，4，5);(5，12，13);(8，15，17);(7，24，25);(20，21，29);(9，40，41);……(这些勾股数组的倍数仍是勾股数)。

二、证明

1、对事情作出判断的 句子 ，就叫做命题。即：命题是判断一件事情的句子。

2、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。

(1)证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角凑到一起组成一个平角。一般需要作辅助。

(2)三角形的外角与它相邻的内角是互为补角。

3、三角形的外角与它不相邻的内角关系

(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4、证明一个命题是真命题的基本步骤

(1)根据题意，画出图形。

(2)根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证。

(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。在证明时需注意：①在一般情况下，分析的过程不要求写出来。②证明中的每一步推理都要有根据。如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。

三、数据的分析

1、平均数

①一般地，对于n个数x1x2...xn，我们把(x1+x2+???+xn)叫做这n个数的算数平均数，简称平均数记为。

②在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而在计算，这组数据的平均数时，往往给每个数据一个权，叫做加权平均数。

2、中位数与众数

①中位数：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。

②一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

③平均数、中位数和众数都是描述数据集中趋势的统计量。

④计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但他容易受极端值影响。

⑤中位数的优点是计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息。

⑥各个数据重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义。

3、从统计图分析数据的集中趋势

4、数据的离散程度

①实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。一组数据中数据与最小数据的，(称为极)，就是刻画数据离散程度的一个统计量。

②数学上，数据的离散程度还可以用方或标准刻画。

③方是各个数据与平均数的平方的平均数。

④其中是x1，x2.....xn平均数，s2是方，而标准就是方的算术平方根。

⑤一般而言，一组数据的极、方或标准越小，这组数据就越稳定。

好的数学学习技巧

认真听课

听课应包括听、思、记三个方面。听，听知识形成的来龙去脉，听重点和难点，听例题的解法和要求。思，一是要善于联想、类比和归纳，二是要敢于质疑，提出问题。记，指课堂笔记——记 方法 ，记疑点，记要求，记注意点。

认真做题

课堂练习是最及时最直接的反馈，一定不能错过。不要急于完成作业，要先看看你的 笔记本 ，回顾学习内容，加深理解，强化记忆。

初中怎样学好数学

一、课前主动预习

首先初中数学一节课所学习的知识量比小学相比是多得多。再者很多小学阶段数学课所学习的内容，只要学生自己看看书完全都可以掌握，但初中阶段的数学就完全不同，知识内容多，知识点也较为繁杂，所以需要学生们学会主动去预习，在课前的预习中，主动掌握知识点的脉络，画出你已经掌握的和有所疑惑的内容，在可让有的放矢的学习，有提前预习的脉络帮助你快速跟上老师讲课的节奏，其次在预习中所画出的未懂内容更能帮助你在课上着重理解和分析老师的思维和方法，这样才会让课堂变得高效，也让数学课的学习是有准备的进行，所以预习是学习初中数学的重要课前准备之一。

二、学会主动思考

笔者的很多学9.7 可化为一元一次方程的分式方程及其应用 ………………………………101生反映过，他们在初中数学课堂上很多内容都能听懂，为什么课下拿到题目还是不会做。其实这个问题在笔者看来，是学生在课堂上听多思少的原因造成的，很多学生在课堂上只会一味的听老师所讲，从来不会主动去思考老师为什么会产生这样的 思维方式 ，而恰恰数学就是培养学生的 逻辑思维 能力，一旦你只听不思，只会让知识的逻辑性关联性失去必要的思维痕迹，这就造成了你课下拿到题目还是无从下手。

三、善于 总结 规律

讲这一点，笔者先举一个很多初中学生在数学学习上都会犯的一个错误，很多同学是不是同一种类型的题目总是反复错，经常错?错题笔记我也做了，为什么这种类型题换一种形式，我又错了?

其实，这种问题的出现，就是学生缺乏总结规律的习惯，一种类型的题目反复错，经常错，说明你还没有掌握做这种题目的规律，你不仅要做错题笔记，而且还需要将你错的这种类型的题目都拿出来，类比总结，发现你每次错在哪儿?是不是哪个知识点的掌握有问题?还是其他原因。要善于总结规律，将同种类型的题目多比对，多总结，总结出一种属于自己的解题思路和方法，然后再遇到这类问题时利用总结的规律和方法去解决。所以同学们，你不仅要做错题笔记，而且要善于总结规律，只有不断总结和归纳，思维才能不断提升，解题方法才会不断丰富。

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人教版初二上册数学高考会不会用

（本定理为证明“一条直线是线段的垂直平分线”提供了依据）

人教版初二上册数学高考会用。

初中数学是高3、角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上中数学的基础，在高考过程中，虽然并不直接考试初中数学的学习内容，但是初中数学作为基础知识部分，还是对高考有着一定帮助作用的。

八年级上册数学单元知识点

第八章 因式分解

知识改变命运，知识是人类进步的阶梯，知识是智慧的源泉，知识可以使人明智，陶冶人们的灵魂。下面我给大家分享一些 八年级 上册数学单元知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!

八年级上册数学单元知识1

全等三角形

1.全等三角形概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

2、全等三角形的表示全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形有哪些性质

(1)全等三角形的对应边相等、对应角相等。

(2)全等三角形的周长相等、面积相等。

(3)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

4、学习全等三角形应注意以下几个问题：

(1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义;

(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;

(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;

(4)时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”

5、全等三角形的判定 边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”) 。边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)。角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”)。角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”)。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理(斜边、直角边定理)，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)。

6、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：

(1)平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

(2)对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

(3)旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。证明两个三角形全等的基本思路：一般来讲，应根据题设并结合图形，先确定两个三角形已知相等的边或角，然后按照判定公理或定理，寻找并证明还缺少的条件，其基本思路是：

a.有两边对应相等，找夹角对应相等，或第三边对应相等.前者利用SAS判定，后者利用SSS判定.

b.有两角对应相等，找夹边对应相等，或任一等角的对边对应相等，前者利用ASA判定，后者利用AAS判定。

c.有一边和该边的对角对应相等，找另一角对应相等，利用AAS判定。

d.有一边和该边的邻角对应相等，找夹等角的另一边对应相等，或另一角对应相等，前者利用SAS判定，后者利用AAS判定。

八年级上册数学单元知识2

角的平分线1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线;

2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点;②点到边的距离;

4、 方法 规律

(1)有角平分线，通常向角两边引垂线。

(2)证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。常用方法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。

(3)注意：证题时可直接应用角平分线性质定理和判定定理，不必去找全等三角形。

怎样学好初中数学

1、课后分析看例题??

课堂上例题弄懂了，并不说明你具备了解题能力和知识迁移能力。课后还需要从一个新的角度重新审视、分析例题。由于新的知识的掌握、知识面的扩展以及老师的、点拨，再看例题时则对难点有了不同的认识，进入了更高的层次。对题中基础知识的运用，分析、推理方法的选择都会有更深的理解。如果课后不看例题思维就会停留在一个浅层次，无法完成由浅入深，由表及里的转化过程。?? ?

2、作业推理识例题??

做练习是运用知识解决问题提高能力的最重要最有效的方法，也是学好数学的关键。做作业时首先要识别例题，即这道题属于本章节所讲例题的哪一类型;其次要回忆上课老师是如何解题的，再分析有几种解题方法，明确哪一种方法最简便。如果识记不清或对以前学过的例题产生了遗忘，要不惜时间去翻阅、分析、记忆。

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初二数学知识点归纳总结

为使读者便于理解，对图表的进一步表述：

每一门科目都有自己的 学习 方法 ，但其实都是万变不离其中的，数学其实和语文英语一样，也是要记、要背、要讲练的。下面是我给大家整理的一些初二数学知识点的学习资料，希望对大家有所帮助。

初二数学三角形知识点

1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。2、角的平分线及其性质

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理：

(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

(2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。2、三角形中的主要线段

(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

(2)在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。

3、三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。6、三角形的三边关系定理及推论

(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之小于第三边。

①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。7、三角形的角关系

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。等角的补角相等，等角的余角相等。

8、三角形的面积

三角形的面积=

21

×底×高应用：经常利用两个三角形面积关系求底、高的比例关系或值

八年级 数学三角证明知识点

章三角形的证明

1、等腰三角形

(1)三角形全等的性质及判定

全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、

(2)等腰三角形的判定、性质及推论

性质：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)

判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)

推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)

(3)等边三角形的性质及判定定理

性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。

(4)含30度的直角三角形的边的性质

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形

(1)勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

(2)直角三角形两个锐角之间的关系

定理：直角三角形两个锐角互余。

(3)含30度的直角三角形的边的定理

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

逆定理：在直角三角形中，一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30度。

初二上数学知识点

同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也叫同类项。

判断几个单项式或项，是否是同类项的两个标准：

①所含字母相同。②相同字母的次数也相同。

判断同类项时与系数无关，与字母排列的顺序也无关。

合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

合并同类项步骤：

⑴.准确的找出同类项。

⑵.逆用分配律，把同类项的系数加在一起(用小括号)，字母和字母的指数不变。

⑶.写出合并后的结果。

合并同类项时注意：

(1)如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类①ax+by+c=0[一般式]项后，结果为0。

(2)不要漏掉不能合并的项。

(3)只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式)。

(4)不是同类项千万不能进行合并。

2017初二上数学知识点(二)

一、平均数、中位数、众数的概念

1.平均数

平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。

2.中位数

中位数是指将统计总体当中的各个变量值按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于变量数列中间位置的变量值就称为中位数。

3.众数

众数是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个。

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初二上册数学第63页[人教版]第5题跟第7题. 求速度

(2)三角形三边关系定理及推论的作用：

有人答了。。我算了吧

5.连接BC,因为：CD,BE为AB,AC的垂直平分线。所以：AC=BC,AB=BC.所以：AB=AC

6.因为△ABC是直角三角形，∠A=30度，所以：BC=1/2AB,∠B=60度。

又因为CD倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜 角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)垂直AB,所以△BCD为直角三角形。

因为∠B=60度，所以∠BCD=30，所以BD=1/2BC.

又因为BC=1/2AB,所以BD=1/4AB.

题目传上来

初二数学上册 函数定义人教版

对角线交点

【解释】函数的基本概念：一般地，在某一变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个X值，相应地就确定了一个Y值与X对应，那么我们称Y是X的函数（function).其中X是自变量，Y是因变量，也就是说Y是X的函数。当x=a时，函数的值叫做当x=a时的函数值。

识别对称轴的方法，就是前面所述“轴对称的判定定理”。该定理的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对称图形的主要依据。

[编辑本段]定义与定义式

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx （k为任意不为零实数）

或y=kx+b （k为任意不为零实数，b为任意实数）

则此时称y是x的一次函数。

即：y=kx （k为任意不为零实数）

定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。

[编辑本段]一次函数的性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k，b为常数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)

形。取。象。交。减

4.正比例函数也是一次函数.

5.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图像相交；当k，b都相同时，两条线段重合。

[编辑本段]一次函数的图像及性质

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：

y=kx时（即b等于0，y与x成正比)

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

[编辑本段]确定一次函数的表达式

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）得到一次函数的表达式。

[编辑本段]一次函数在生活中的应用

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

[编辑本段]常用公式

1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

5.求个两一次函数式图像交点坐标：解两函数式

两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标

6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]

7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0)

k b

+ + 在一、二、三象限

+ - 在一、三、四象限

- + 在一、二、四象限

- - 在二、三、四象限

8.若两条直线y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2

9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1

10.左移X则B+X，右移X则B-X

11.上移Y则X项+Y，下移Y则X项-Y

(有个规律.b项的值等于k乘于上移的单位在减去原来的b项。）

（此处不全 愿有人补充）

[编辑本段]应用

一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。

一、确定字母系数的取值范围

例1. 已知正比例函数 ，则当k<0时，y随x的增大而减小。

解：根据正比例函数的定义和性质，得 且m<0，即 且 ，所以 。

二、比较x值或y值的大小

例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）

A. x1>x2 B. x1

解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。

三、判断函数图象的位置

例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）

A. 象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过象限。故选A . 典型例题:

例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧总长为23cm，求自变量x的取值范围.

分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由总长→伸长→质量及实际的思路来处理.

解：由题意设所求函数为y=kx+12

则13.5=3k+12，得k=0.5

∴所求函数解析式为y=0.5x+12

由23=0.5x+12得：x=22

∴自变量x的取值范围是0≤x≤22

例2

某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？

此题要考虑X的范围

解:设总费用为Y元，刻录X张

电脑公司：Y1=8X

当X>30时，Y1>Y2

当X<30时，Y1

【考点指要】

一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点.它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.

例2.如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。

解：（1）若k＞0，则可以列方程组 -2k+b=-11

6k+b=9

解得k=2.5 b=-6 ，则此时的函数关系式为y=2.5x—6

（2）若k＜0，则可以列方程组 -2k+b=9

6k+b=-11

解得k=-2.5 b=4，则此时的函数解析式为y=-2.5x+4

【考点指要】

此题主要考察了学生对函数性质的理解，若k＞0，则y随x的增大而增大；若k＜0，则y随x的增大而减小。

一次函数解析式的几种类型

②y=kx+b[斜截式]

（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）

③y-y1=k(x-x1)[点斜式]

（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]

（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）

⑤x/a-y/b=0[截距式]

（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）

解析式表达局限性：

①所需条件较多（3个）；

②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；

④参数较多，计算过于烦琐；

⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

函数与图象

1．求函数自变量的取值范围的原则

（1）解析式是整式，自变量可以取一切实数.

（2）解析式是分式，自变量的取值应使分母不等于零.

（3）如果解析式是以上几种形式综合而成的，自变量取值范围同时满足它们各自的条件.

（4）如果解析式是从实际问题得出的，自变量取值范围必须要具有实际意义.

2．函数的图象

在直角坐标系内用自变量的值和对应的函数值作为点的横坐标和纵坐标，描点，连线.反之，函数图象上的点的横坐标和纵坐标，就是函数中自变量的值和对应的函数值.

（一）一次函数

1．正比例函数的图象

正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线.

2．一次函数的图象.

一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（ ，0）和（0，b）的一条直线.

（1）两个常用的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（ ，0）.

（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3． 一次函数的性质

k>0时，y随x增大而增大 ；k<0时，y随x增大而减小 .

4．一次函数y=kx+b(k≠0，k、b是常数)中的k、b的符号很重要.

（1）由k的符号决定函数值y随自变量x的变化而变化，|k|越大，直线y=kx+b越靠近y轴，|k|越小，直线y=kx+b越远离y轴；b的符号决定函数图象与y轴交在正半轴还是负半轴.

（2）k、b的符号直接决定直线y=kx+b的位置.

k、b同正，过一、三、二象限；k、b同负，过二、四、三象限； k正b负，过一、三、四象限； k负b正，过二、四、一象限.

5．求正比例函数和一次函数的解析式的方法是待定系数法，其步骤是：

①根据题中所给条件写出含有待定系数的解析式；

②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；

③解方程（或组），得到待定系数的具体数值；

④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中.

6．求一次函数解析式的方法

主要有三种：

一、是由已知函数推导或推证.

二、是由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解

析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系.

“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本部分构造方程一般有下列几种情况：

（1）根据一次函数的定义 ： 构造方程组.

（2）利用一次函数y=kx+b中常数项b恰好是函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来

定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向， 若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等.例如 y=2x,y=2x+3的图象平行.也就是说，一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b.

（3）利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程.

（4）利用题目已知条件直接构造方程.

7．求两个函数的图象交点的坐标，就是把两个函数的解析式组成方程组，求出方程组的解，即为交点坐标.

8．求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积，需首先求出这条直线与两坐标轴交点的坐标，再求出这两个交点到原点的距离，利用直角三角形面积公式求解.

9．求两个一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积，需首先求出这两条直线交点的坐标（作高），再求出这两个一次函数的图象与两坐标轴交点的坐标（作底），根据不同的情况利用三角形面积和求解.

10.一般情况下，一次函数没有最小值，图象是直线；但联系到一些具体问题时，因自变量的取值范围受限制，，使一次函数有了值或最小值，图象也成为射线或线段.

一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标.

（二）反比例函数及其图象

（1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称．

（2）当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在、三象限内，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大．

注意：不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大.”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立.

(3) 反比例函数解析式的确定：反比例函数的解析式y= (k≠0)中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式.

5．反比例函数解析式的确定

在反比例函数y= (k≠0)定义中，只有一个常数，所以求反比例函数的解析式只需确定一个待定系数k，反比例函数即可确定. 所以只要将图象上一点的坐标代入y= 中即可求出k值.

初二上册人教版数学82页第六七题83页第十题解题思路和过程

1分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变

(6)因为AB=AC,AD=AE

所以∠ABD=40°

所以△ABC △ADE为等腰三角形

所以∠B=∠C

∠ADE=∠AED

因为∠AED=∠C+∠DEC

∠ADE=∠B+∠DAB

所以∠DEC=∠DAB

所以△ABD≌△ACE

所以BD=CE

(7)因为MN是AB的垂直平分线（已知）

所以AM=MB

在△AMD与△BMD中

{AM=MB（已证）

{∠AMD=∠DMB（已知）

{DM=DM（公共边）

所以△AMD全等于△BMD（SAS）

因为AB=AC（已知）

所以∠ABC=∠C=（180°-40°）÷2=70°

所以∠DBC=∠ABC-∠ABD

∠DBC=70°-40°

∠DBC=30°

(10)因为BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（已知）

所以∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB

因为MN//BC（已知）

所以∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB（两直线平行，内错角相等）

所以∠MBO=∠∠MOB，∠NCO=∠NOC

所以MB=MO，NO=NC（等角对等边）

所以AM+AN+MO+ON=AM+MB+AN+NC

AM+AN+MO+ON=AB+AC

所以△AMN的周长等于AB+AC

初二上册新人教版数学第13章轴对称知识点

11.2 二次根式的乘法……………………………………………………………168

轴对称知识点表格化及判别、记忆方法

两种不同

图形

知识点

轴对称图形

（记忆方法：字多一个图形）

轴对称

（记忆方法：字少两个图形）

掌握和记忆的困惑及需要突破的学习难点

①、“轴对称图形”与“轴对称”最关键的区别在哪里？究竟哪一个是“一个图形”，哪一个是“两个图形”?学习过程中和复习时，学生总是互相打混并且记不住，奥秘究竟在哪里？

②、 “完全重合”和“完全一样”是两个不同的概念 “完全重合”的图形可以“完全一样”，但“完全一样”的图形不一定“完全重合”

，这个在学习中容易混淆。

为便于复习记忆，作者独创的记忆法

记忆口诀的意思解释：

用“轴对称图形”与“轴对称”这两个名词字数的多少加以判别。我们不妨数一数，“轴对称图形”一词有5个字，“轴对称”一词有3个字。将两个名词的字数进行对比，“轴对称图形”比“轴对称”多了两个字。所以名词我们得出结论，“轴对称图形”字多，

“轴对称”相对比较起来就字少。于是我们运用反向思维来判断和记忆这两个名词之下图形的个数。记忆的方法是：字多的反而只有一个图形，字少的却有两个图形。据此我们提炼出记忆的口诀：

口 诀：字多一个图形，字少两个图形。

反向思维记忆法：“轴对称图形”字多（是）一个图形，

“轴 对 称”字少（是）两个图形。

把这个口诀背住，在学习本资料或做轴对称题目时，嘴里一边轻声吟读这个口诀，一边看下面的一系列繁杂的内容，你一定会有势如破竹之爽感。

定义

字多轴对称图形（只一个图形）的定义

轴对称图形指的是在一个图形内部，如果你沿着某一条直线对折，对折的两部分能够互相重合，那么这一个图形就叫轴对称图形。

备注：

①、轴对称图形是沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，其要素有两点：一是沿某直线折一条是它本身，其他的是直线上任一点的垂线。叠，二是两部分互相重合。

②、根据轴对称图形的定义可以知道，下面我们要讲到，轴对称图形有两个重要性质：①对称轴垂直并且平分连接两个对称点的线段。②两个轴对称图形是全等的。但是须注意，成轴对称的图形是处于特殊相对位置的两个全等形，所以全等形不一定是轴对称图形。

字少轴对称（有两个图形）的定义

轴对称指的是两个图形之间的关系。如果其中的一个图形沿着某一条直线翻折，可以和另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，或说这两个图形成轴对称。

备注：

关于某条直线对称的两个图形，对应线段相等，对应角相等。

定义简述

一个图形内的两部分关于某条直线对称。

两个图形之间关于某条直线对称。

定义提示

①、轴对称图形是一个具有特殊特征的图形，对折后能够完全重合，即对称轴两旁的部分是全等形。

②一个轴对称图形的对称轴可能不止一条。

①、有两个图形，能够完全重合，形状大小都完全相同。

②、两个图形沿对称轴对折后能够重合．

③、两个图形只有一条对称轴。

对称轴

这某一条直线就是这一个图形的对称轴。

①、对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段．

②、轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条。

这某一条直线就是这两个图形的对称轴。

①、对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段．

②、成轴对称的两个图形一般只有一条对称轴。

对称点

对于一个图形来说，沿着这某条直线折叠后互相重合时的点叫对称点（又叫对应点）

对于两个图形来说，两个图形翻折后互相重合时的点，叫对称点（又叫对应点）

成轴对称

这一个图形内关于这某条直线（成轴）对称 。

这两个图形关于这某条直线（成轴）对称 。

轴对称变换

①、“轴对称变换”的定义

由一个平面图形得到它的轴对称图形的过程叫做轴对称变换．

②、轴对称变换是一个运动的过程

轴对称变换是一种变换，讲的是由一个图形得到与它成轴对称的图形的过程，是一个运动的过程。

③、轴对称图形与轴对称各自的变换

轴对称图形的变换：一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的。

轴对称的变换：成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到。

轴对称图形

轴对称

图形

下图如果不考虑颜色，所示的图案就是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴。

判断所列图形中有哪些是轴对称图形？是否只有第⑤不是。

问题解释：

1、问：两条边不一样长的角是轴对称图形吗？

答：是，它的对称轴是它角平分线所在的直线。因为角的定义是：由一点发出的两条射线所围成的图形叫做角。又因为射线是无限延伸的，因此，就算两边不一样长，它照样是轴对称图形。

轴对称的性质定理

（轴对称的性质定理也就是轴对称图形及轴对称的三条性质，或者简称“轴对称的性质”）

轴对称性质定理①、关于某条直线对称的两个图形是全等形。（可以表述成成轴对称的两个图形全等）

（本定理为“证明两个图形是全等形”提供了依据）

轴对称性质定理②、如果两个图形（关于某条直线）成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

轴对称性质定理③、两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

（本定理为证明“三条直线相交于一点”提供了依据）

备注：

①、全等的图形不一定是轴对称的，而轴对称的图形一定是全等的。

②、轴对称的性质是证明线段相等、线段垂直及角相等的依据之一，例如：若已知两个图形关于某直线成轴对称，则它们的对应边相等，对应角相等。

轴对称的

判定定理

（本定理又是轴对称性质定理③的逆定理）如果两个图形的对应点连线线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

（本定理为判定“两个图形是否关于某直线对称” 提供了方法）

特征

一个轴对称图形的特征：

轴对称图形是一个图形本身的特征。

其特征就是能够沿着某条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合。

成轴对称的两个图形的特征：

轴对称是两个图形之间的关系。

成轴对称的两个图形的特征是沿对称轴翻转180度重合，对应点到对称轴的距离相等。

区别

（不同点）

轴对称图形只是一个特殊形状的图形。

轴对称是两个图形之间的位置关系。

不一定只有一条对称轴。

肯定只有一条对称轴，

对称点在同一个图形上。

对称点分别在两个图形上，

联系

（相同点）

轴对称图形是沿对称轴对折，一个图形内的两部分重合。

轴对称沿对称轴翻折，两个图形重合．

如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称。

如果把成轴对称的两个图形看做一个整体，那么它就是一个轴对称图形；

备注：两者的相同点，都是沿某直线翻折后能够互相重合。不过轴对称图形是沿对称轴对折，一个图形内的两部分重合。而轴对称是沿对称轴翻折，两个图形重合。

识别对称轴的方法

寻找对称轴、画对称轴的方法

1、找出轴对称图形的任意一组对称点。

2、连结对称点。

3、画出对称点所连线段的垂直平分线，就是该图形的对称轴。

备注：无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形的对称轴，都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。因此，只要找到其任意一对对应点，作出所连线段的垂直平分线，就可以得到它们的对称轴．

作轴对称图形的方法步骤

1、画已知特殊点的对称点的步骤：

①、过已知点A作已知对称轴直线的垂线，标出垂足O。

②、在这条直线的另一侧，从垂足O出发，截取与已知点A到垂足O的距离相等的线段OA，那么截点A′就是点A关于该对称轴直线的对称点。

2、画已知图形的对称图形的步骤：按对应点的坐标在图形上找出各点，进行连线即可。

①找已知点：确定图形中的一些特殊点。

②画对应点：找到已知点关于已知对称轴直线的对称点。

备注：画已知图形的对称图形，一定要先明确轴对称的以下性质：

①、本画已知图形的对称图形，它的对称轴是直线．

②、垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

③、在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等．

④、在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份．

⑤、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

注意，如果对称轴的图形题目中，遇有一个三角形斜压在作为对称轴的竖线上时，要打破原点一般在对称轴的左边，对应点一般在对称轴右边的习惯思维，对应点字母的位置要注意在对称轴两侧灵活交错确定。

3、画已知圆的对称图形的步骤

若题目画一个已知圆的关于一条直线的轴对称图形。有个已知圆，可知其圆心点坐标A(a,b)以及半径R，过圆心点作直线的垂线交直线于C ，延长此线并截取B点，使得AC=BC，以B 点为圆心，以R为半径作圆，即为所求图形。

4、已知半个轴对称图形和对称轴，样求另一半对称图形？

从各关键点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可。作AO⊥L于点O，并延长，在延长线上截取OA′=OA，得到点A的对称点

A′，同法作出左侧图形中其余关键点关于直线l的对称点，按左侧图形中的次序连接即可。

正确性审核

怎样检验你画的这个轴对称图形对否？看各对应点到对称轴的距离是否相等即可。

用坐标表示

轴对称

（1） 找对应点的方法请参见以下四点规定。 （2）再看以下课件中的举例，加深对以上规定的理解。免费课件举例在百度网点下列课件： 12.2.2 用坐标表示轴对称 课件2

①、关于坐标轴对称（以下各例自己在纸上各画一个图就一目了然了。）

点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）

点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）

②、关于原点对称

点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）

③、关于平行于坐标轴的直线对称

点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）

点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）

④、关于坐标轴夹角平分线对称

点P（x，y）关于、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）

点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）

轴对称图形的判断实例

1、另外，我们从学习对称轴的定义可以知道，“对称轴是一条直线”所以强调一下“所在的直线”这几个字，是必要的，也是正确的。

2、由于“线段的垂直平分线”可简称为“中垂线”，故文内均用“中垂线”。

3、判断时要特别熟记以下概念

①、要根据定义判断区分哪些图形是轴对称图形，哪些是中心对称图形。区分的方法简言之：

沿着中轴线能折叠的就是轴对称图形。

转180度能重合的就是中心对称。

②、轴对称图形的定义是：如果一个图形沿着一条直线对折后两边的图形能完全重合，这个图形叫做轴对称图形。

③、对称轴是一条直线！ ④、垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 ⑤、在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。 ⑥、轴对称的图形是全等的 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线

《 常见图形的对称性》对比表

（说明：下表中有对称中心的，说明该图形既是“轴对称图形”，又兼是“中心对称图形”。）

名称

对称轴

数量

对称轴在哪里？

轴对称兼

有无

对称中心

直线

无数条

不是

无射线

1是射线所在的直线

不是

段

2①、线段所在直线;②、线段的垂直平分线

兼中心对称图形

线段中点

角1

角平分线所在的直线

不是

无圆

无数条

圆的直径所在的直线

兼中心对称图形

圆心

等腰三角形

1顶角平分线（或底边中线、底边上的高）所在的

直线

不是

无等边三角形

3三条顶角平分线（或底边中线、底边上的高）所

在的直线

不是

无平行四边形

是中心对称，但不是轴对称图形。

兼中心对称图形

矩形

2两组对边的垂直平分线

兼中心对称图形

菱形

2两组对角顶点所连直线

兼中心对称图形

正方形

4两组对边的垂直平分线和两组对角顶点所连直线

兼中心对称图形

等腰梯形

1两底的垂直平分线

不是

无正偶边形

兼中心对称图形

正奇边形

不是

无26个字母

ABCDEHIKMOTUVWXY共16个轴对称图形。

AHIMOTUVWXY共11个左右成轴对称。BCDEK另5个上下成轴对称。OHX既是轴对称图形，又是中心对称图形.

①、线段是轴对称图形。

它有2条对称轴。

一条是线段所在的直线，另一条是它的中垂线。

②、直线是轴对称图形。

它有无数条对称轴。

一条是直线本身，另一条是直线的任何一条垂线（请特别注意不是中垂线，垂线和中垂线完全不同。相对于直线、角、线段、等边三角形四个图形来说，对称轴最多的是直线。）

③、角是轴对称图形。

它只有1条对称轴。

角平分线所在的直线是它的对称轴。

④、等腰三角形是轴对称图形。

它只有1条对称轴。

底边的中垂线是它的对称轴。

⑤、等边三角形是轴对称图形。

因为它等边，所以它有3条对称轴。

每条边的中垂线都是它的对称轴。

⑥、圆是轴对称图形。

它有无数条对称轴。

圆的直径所在的直线是圆的对称轴，圆的任意一条直径都是它的对称轴。

（注：两个等圆成轴对称时则只存在一条对称轴)⑦、矩形的对边中点所在的两条直线为矩形的两条对称轴；

⑧、正方形的对边中点所在的两条直线和两条对角线所在的直线为它的四条对称轴。

初中八年级数学知识点

逆定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形。

各个科目都有自己的 学习 方法 ，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，练，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。下面是我给大家整理的一些 八年级 数学的知识点，希望对大家有所帮助。

当X=30时，Y1=Y2

初二上学期数学知识点归纳

轴对称图形：

一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。

1、轴对称：

两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称图形与轴对称的区别与联系：

(1)区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”;轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

(2)联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称;把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

3、轴对称的性质：

(1)成轴对称的两个图形全等。

(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

(3)对应点到对称轴的距离相等。

(4)对应点的连线互相平行。

三、用坐标表示轴对称

1、点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y);

2、点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y);

3、点(x，y)关于原点对称的点的坐标为(-x，-y)。

四、关于坐标轴夹角平分线对称

点P(x，y)关于、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是(y，x)

点P(x，y)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y=-x对称的点的坐标是(-y，-x)

初二数学下册知识点归纳

章分式

2分式的运算

(2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减

3整数指数幂的加减乘除法

4分式方程及其解法

第二章反比例函数

1反比例函数的表达式、图像、性质

图像：双曲线

表达式：y=k/x(k不为0)

性质：两支的增减性相同;

2反比例函数在实际问题中的应用

第三章勾股定理

1勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方

2勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

第四章四边形

1平行四边形

性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。

判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

对角线互相平分的四边形是平行四边形;

一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。

推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。

(1)矩形

性质：矩形的四个角都是直角;

矩形的对角线相等;

矩形具有平行四边形的所有性质

判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;

推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

(2)菱形性质：菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;菱形具有平行四边形的一切性质

判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形。

(3)正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。

3梯形：直角梯形和等腰梯形

等腰梯形：等腰梯形同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等;同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

初二数学学习技巧

自学能力的培养是深化学习的必由之路

在学习新概念、新运算时，老师们总是通过已有知识自然而然过渡到新知识，水到渠成，亦即所谓“温故而知新”。因此说，数学是一门能自学的学科，自学成才最典型的例子就是数学家华罗庚。

我们在课堂上听老师讲解，不光是学习新知识，更重要的是潜移默化老师的那种数学思维习惯，逐渐地培养起自己对数学的一种悟性。

自学能力越强，悟性就越高。随着年龄的增长，同学们的依赖性应不断减弱，而自学能力则应不断增强。因此，要养成预习的习惯。

因此，以前的数学学得扎实，就为以后的进取奠定了基础，就不难自学新课。同时，在预习新课时，碰到什么自己解决不了的问题，带着问题去听老师讲解新课，收获之大是不言而喻的。

学来学去，知识还是别人的。检验数学学得好不好的标准就是会不会解题。听懂并记忆有关的定义、法则、公式、定理，只是学好数学的必要条件，能解题、解对题才是学好数学的标志。

自信才能自强

在考试中，总是看见有些同学的试卷出现许多空白，即有好几题根本没有动手去做。当然，俗话说，艺高胆大，艺不高就胆不大。但是，做不出是一回事，没有去做则是另一回事。稍为难一点的数学题都不是一眼就能看出它的解法和结果的。要去分析、探索、比比画画、写写算算，经过迂回曲折的推理或演算，才显露出条件和结论之间的某种联系，整个思路才会明朗清晰起来。

具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性，抓住这一道题与这一类题不同的地方。数学的题目几乎没有相同的，总有一个或几个条件不尽相同，因此思路和解题过程也不尽相同。有些同学老师讲过的题会做， 其它 的题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就干瞪眼，无从下手。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地对付那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。

解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃;只有自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。

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