log函数的性质(log函数的性质和图像)
对数函数的性质
推导如下对数函数的图形是指数函数的图形的关于y=x的对称图形，有以下性质：
log函数的性质(log函数的性质和图像)
log函数的性质(log函数的性质和图像)
函数图象通过（1,0）点
a大于当0
运算性质：
log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）
对数函数的运算性质有几条？
对数函数有三条(3)在象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0。运算性质，它们分别是： 如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，则有 (1)log a (M·N)＝log a M＋log a N； (2)log a (1、a^log(a)(b)=b )＝log a M－log a N； (3)log a M n ＝nlog a M(n∈R)．
对数函数的基本性质
一般地，函数定义域为非负数；值域为实数集R；对数函数的图像过定点（1.0）；当底数大于1时，在定义域上位单调增函数，当底数大于零小于1时，在定义域上是单调减函数。
函由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。数：
函数（function），数学术语。其定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，设其中的元素为x。
对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
函数，最早由清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
函数的由来：
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是清代数学家李善兰在翻译《代数学》1859年一书时，把“function”译成“函数”的。古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含的意思。
李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。所以函数是指公式里含有变量的意思。
方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
对数函数及其性质？
对数函数由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]的基本性质如下：对函数y=logax，以a为底的对函数，其性质为①定义域为（0，+∞）,②其值域为R,③都过点（1，0），就是说x=1时，y=0，④当a＞1时，y=logax在（0，+∞）上单调递增;当0＜a＜1时，函数y=logax在（0，+∞）上单调递减
怎么比较log函数的大小？
定义域为大于0的实数，值域为Rloga(b1) 与loga(b2)
当a>1时 若b1>b2则loga(b1) 同底就画图 -log(a)(n)或者用计算器 对数的运算性质 当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：∈R） (4)log(a^n)(M)=（1/n）log(a)(M)(n∈R) （5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1） (6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a) (7)对数恒等式：a^log（a)N=N; log（a）a^b=b 证明：设a^log（a)N=X，log（a)N=log（a)X，N=X （8）由幂的对数的运算性质可得(推导公式) 1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M 3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M 5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1 扩展资料: 对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。 在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。 这意反之亦然味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。 在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数 用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数 表示乘号，/表示除号 定义式： 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 基本性质： 2.log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n); 3.log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n); 4.log(a)(m^n)=nlog(a)(m) 推导 1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b) 2. mn=mn 由基本性质1(换掉m和n) a^[log(a)(mn)] =a^[log(a)(m)] a^[log(a)(n)] 由指数的性质 a^[log(a)(mn)] =a^{[log(a)(m)] +[log(a)(n)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(mn) =log(a)(m) +log(a)(n) 3.与2类似处理（6）当m为偶数，n为奇数，k为奇数时，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0）∪（0，+∞），值域为（0，+∞），为偶函数。 mn=m/n 由基本性质1(换掉m和n) =a^[log(a)(m)] /a^[log(a)(n)] 由指数的性质 =a^{[log(a)(m)] -[log(a)(n)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(m/n) =log(a)(m) 4.与2类似处理 m^n=m^n 由基本性质1(换掉m) a^[log(a)(m^n)] ={a^[log(a)(m)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(m^n)] =a^{[log(a)(m)]n} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(m^n)=nlog(a)(m) 其他性质： 性质一：换底公式 log(a)(n)=log(b)(n) /log(b)(a) n= a^[log(a)(n)] a= b^[log(b)(a)] 综合两式可得 n= {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(n)] =b^{[log(a)(n)][log(b)(a)]} 又因为n=b^[log(b)(n)] 所以 b^[log(b)(n)] =b^{[log(a)(n)][log(b)(a)]} 所以 log(b)(n) =[log(a)(n)][log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的} 所以log(a)(n)=log(b)(n) /log(b)(a) 性质二：（不知道什么名字） log(a^n)(b^m)=m/n[log(a)(b)] log(a^n)(b^m)=ln(a^n) 由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) =[nln(a)] /[mln(b)] =(可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。m/n){[ln(a)] /[ln(b)]} 再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m/n[log(a)(b)] 一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。 目录 定义 产生历史 函数性质 运算性质 表达方式 与指数的关系 编辑本段定义 在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。 对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义： log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）】 通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm)，并且把loge N 记为In N。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系： 当a>0，a≠1时，a^X=N→X=logaN。（N>0） 由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论： 在实数范围内，负数和零没有对数 编辑本段产生历史 16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。 德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。 欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（），然后再把这个和（）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。 纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为： Nap．㏒x=10㏑(107/x) 瑞士的彪奇（1552-1632）也地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。 1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。 对数的发明为当时的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。 最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫「真数」，0.3010叫做「数」，真数与数对列成表，故称对数表。后来改用 「数」为「对数」。 我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905） 看到这些著作后，大为叹服。 当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年 ，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和21世纪的教科书中的提法一致。 编辑本段函数性质 定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意真数大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1 和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1} 值域：实数集R，显然对数函数。 定点：函数图像恒过定点（1，0）。 单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸 对数的图像 0 奇偶性：非奇非偶函数，或者称没有奇偶性。 周期性：不是周期函数 零点：x=1 注意：负数和0没有对数。 也就是说：若y=log（a）b （其中a>0,a≠1，b>0） 当0 当a>1, b>1时，y=log（a）b>0; 当0 当a>11、对数性质：在比较两个函数值时：如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a>1时）如果底数一样，真数越小，函数值越大。（0 指数函数的求导: e的定义：e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...设a>0,a!=1----(log a(x))'=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)=lim(Δx→∞)(1/xx/Δxlog a((x+Δx)/x))=lim(Δx→∞)(1/xlog a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/xlim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/xlog a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))=1/xlog a(e)特殊地，当a=e时，(log a(x))'=(ln x)'=1/x。----设y=a^x两边取对数ln y=xln a两边对求x导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。 编辑本段运算性质 一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 对数函数化简问题 底数则要>0且≠1 真数>0 并且，在比较两个函数值时： 如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a>1时） 如果底数一样，真数越大，函数值越小。（0 当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R） log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n∈R） （4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1） 设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a) log（a）a^b=b 证明：设a^log（a)N=X，log（a)N=log（a)X，N=X （5）由幂的对数的运算性质可得(推导公式) 编辑本段表达方式 （1）常用对数：lg(b)=log(10)(b) （10为底数） （2）自然对数:ln(b)=log(e)(b) （e为底数） e为无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828对数函数的定义 编辑本段与指数的关系 对数函数与指数函数互为反函数 当a>0且a≠1时，a^x=N x=㏒(a)N 关于y=x对称 对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。 对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 关于X轴对称、 如果a的n次方等于b（a大于0，且a不等于1），那么数n叫做以a为底b的对数，记做n=loga的b次方，也可以说log（a）b=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。 相应地，函数y=logaX叫做对数函数。对数函数的定义域是（0，+∞）。零和负数没有对数。底数a为常数，其取值范围是（0，1）∪（1，+∞）。一般默认当a=10时，写作：lgb=n。 定义 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 基本性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0，那么： 2、log(a)(a)=1 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a)[M^（1/n）]=log(a)(M)/n 7、logablogba=1对数函数有哪些性质？
4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M ,对数的基本性质
log和ln的区别如下：谁能告诉我对数函数的恒等式都有什么啊？（要全）
2.2.2对数函数及其性质
参考资料来源：
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