韦达定理公式是什么

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出个实质性的论性。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

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韦达定理公式 初中数学韦达定理公式


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英文名称：Vieta's formulas

韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1X2=c/a

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中，设两个根为x1，x2 则

X1+X2= -b/a

X1X2=c/a

用韦达定理判断方程的根

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，

若b^2-4ac<0 则方程没有实数根

若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0

韦达定理推广

它的根记作X1,X2…，Xn

我们有右图等式组

其中∑是求和，Π是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是，那么

由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

(x1-x2)的为√(b^2-4ac)/|a|

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出个实质性的论性。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a

（注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数）

可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a

1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a

所以X1﹢X2=-b/a

2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a]

所以X1X2=c/a

（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2

（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a

又因为X1.X2的值可以互换，所以则有

X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】

所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a

韦达定理推广的证明

设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。

则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiXi（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时用乘法原理）

通过系数对比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixi)

…A0=[(-1) ]×An×ΠXi

所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n)

∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n)

…ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

一元五次方程验证:

已知一个一元五次方程：a1(x^5)+b(x^4)+c(x^3)+d(x^2)+ex+f = 0 设该式为形式1

根据高斯的代数原理：上式在复数范围内必可分解成： a1(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)=0 的形式；且x1,x2,x3,x4,x5是该多项式在复数范围内的根。

把上式展开成：

-a1x1x2x3x4x5+a1xx2x3x4x5+a1xx1x3x4x5-a1(x^2)x3x4x5+a1xx1x2x4x5-a1(x^2)x2x4x5-a1(x^2)x1x4x5+a1(x^3)x4x5+a1xx1x2x3x5-a1(x^2)x2x3x5-a1(x^2)x1x3x5+a1(x^3)x3x5-a1(x^2)x1x2x5+a1(x^3)x2x5+a1(x^3)x1x5-a1(x^4)x5+a1xx1x2x3x4-a1(x^2)x2x3x4-a1(x^2)x1x3x4+a1(x^3)x3x4-a1(x^2)x1x2x4+a1(x^3)x2x4+a1(x^3)x1x4-a1(x^4)x4-a1(x^2)x1x2x3+a1(x^3)x2x3+a1(x^3)x1x3-a1(x^4)x3+a1(x^3)x1x2-a1(x^4)x2-a1(x^4)x1+a1(x^5)=0

上述方程可化简成：

a1(x^5)-(x2+x1+x4+x5+x3)(x^4)a1+(x4x5+x1x3+x2x3+x1x2+x2x4+x1x4+x3x4+x3x5+x2x5+x1x5)

(x^3)a1-(x3x4x5+x2x3x5+x1x3x5+x1x2x5+x2x4x5+x1x4x5+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3)

(x^2)a1+(x2x3x4x5+x1x3x4x5+x1x2x4x5+x1x2x3x5+x1x2x3x4)xa1-x1x2x3x4x5a1=0

设化简后的方程为形式3.

对比形式1与形式3的x次方相同的数，即可得该多项式根与系数的关系

英文名称：Vieta's formulas

韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1X2=c/a

韦达

韦达

他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年轻时学习法律当过律师，后从事活动，当过议会的议员，在对西班牙的中曾为破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。

韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代数符号之父。韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。

他的《解析方法入门》一书（15年），集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个分支。他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解法。

一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1X2=c/a

x1+ x2=-b/a ， x1·x2=c/a.

x1+x2=-b/a x1.x2=c/a

还有 另一种变式 x2+px+q=0 x1+ x2=-p x1·x2=q

x1+x2=-a/b x1x2=c/a

X1×X2=c/a X1＋X2=-b/a

什么是韦达定理？韦达定理的推导过程，用一元二次方程求根公式

韦达定理公式 韦达定理公式介绍

1、韦达定理公式: ax^2+bx+c=0x=(-b±√(b^2-4ac))/2ax1+x2=-b/a x1x2=c/a。

2、韦达定理介绍：根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

3、韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。

韦达定理的相关公式？（麻烦大家帮我总结一下！）

有关韦达定理的经典例题

例1

已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．

(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，

即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－1、x2－1均为整数，

解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2

已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．

解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得

x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11，

即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵x1、x2为正整数，

解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

故有m＝6或7．

例3

求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．

解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．

若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得

∴x1x2－x1－x2＝2，

(x1－1)(x2－1)＝3．

因为x1－1、x2－1均为整数，所以

例4

已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．

(’97四川省初中数学竞赛试题)

证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得

α＋β＝p，αβ＝－q．

于是p＋q＝α＋β－αβ，

＝－(αβ－α－β＋1)＋1

＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．