矩阵解方程组六个步骤 矩阵方程的解

如何用矩阵的初等变换解决方程组？

这个证明与其他几个证明不同，其他证明都有点问题，都只会粘贴，下面加粗的表示是矩阵或者列向量

矩阵解方程组六个步骤 矩阵方程的解

矩阵解方程组六个步骤 矩阵方程的解

证明：

若x0是Ax=0的解，即：Ax0=0，

显然：ATAx0＝AT(Ax0)＝0，

即x0是ATAx=0的解；

反之，设x0是ATAx=0的解，即ATAx0=0，则：

x0TATAx0＝0种 消元法 ，此法 最为简单，直接消掉只剩一个未知数，再回代求余下的未知数，但只适用于未知数个数等于方程的个数，且有解的情况。(注意，这里的0是数字，不是向量)，

即(Ax0)TAx0＝0，（Ax0又不是方阵，不能计算行列式|Ax0|，其他证明主要是这里有问题）

应该设Ax=[a1,a2,a3....]T（列向量）

(Ax0)T(Ax0)=a1^2+a2^2+a3^2+....=0，所以a1=a2=a3=ai=0。

所以Ax0=0，x0为Ax=0的解

故：ATAx=0与Ax=0是同解方程组。

（3）（2）

由（1）知：ATAx=0与Ax=0是同解方程组，因而两者的解空间维数相同，

又 解空间的维数=未知数的个数-系数矩阵的秩

从而：r（ATA）=r（A）

一元二次方程组怎么解

解一元二次方程组需要进行消元、代入等作，可以通过三种方法进行求解：配方法、消元法和用矩阵方法。

以下将分别介绍这三种方法的具体步骤和注意事项。

一、配①克莱姆法则，②增广矩阵化行最简形，③系数矩阵求逆X＝(A逆)b。最常用且功能最强的是增广矩阵化行最简形，∵行最简形矩阵包括了解的三种情况: 解、无穷多解、无解。方法。

1、首先，将两个方程转化为标准形式，即将各项整理到等式左边，将常数项移到等式右边。

2、然后，将其中一个方程中的一项系数乘以一个常数，使得这个系数与另一个方程中对应的项的系数相等（或者相一个常数倍）。

3、接着，将两个方程相加或相减，消去这个相等的项，得到一个关于一个未知数的一元二次方程。

4、求解这个一元二次方程，求出一个根。

5、将这个根带入原来的其中一个方程，求解另一个未知数的值。

二、消元法秩都是3时，只有解。。

2、通过乘法，消去一个未知数的平方项。

3、将两个方程相加或相减，消去这个未知数的平方项并得到一个关于这个未知数的一次方程。

4、求解这个一次方程，求出这个未知数的值。

三、矩阵方法。

2、将系数矩阵和常数项矩阵拼接成增广矩阵。

4、通过回代法，求解未知数的值。

扩展知识：

1、解一元二次方程组时，需要注意判别式是否为正数，如果不是，则方程组无实数解，但可能存在复数解。

2、在使用配方法时，要注意选取合适的常数使得可消元性更高。

3、在使用消元法时，要注意避免一些常见的错误，如漏掉某些项、将某些项错写为相反数等等。

4、算法具有通用性，可以解决各种类型的一元二次方程组，如含有整数系数、含有分数系数、含有根式系数等等。

5、解一元二次方程组的方法在实际应用中有很多场景，比如物理学中一些关于速度和时间的问题需要用到这个技巧，工程学中一些关于电路和机械运动的问题也需要用到这个技巧。

线性代数，学霸帮我看看，要步骤

将增广矩阵，进行初等0 3 -1行变换

否则有（1）无穷多组解。

求齐次线性方程组的解，要具体过程

[-1 1 2]

初等变换之后[-1,1,2]

同解方程组是-x1+x2+2x3=0

通解为是当消去成下面形式【矩阵的左上半个矩阵是单位矩阵，矩阵的下面若干行全为0】

x1=1k1+2k2

x2=1k1+

x3= 1k2

于是基础解系就是N1=(1,1,0)T；N2=(2,0,1)T【其实就是k1和k2的系数矩阵。】

你在纸上整齐一点写下来就更清楚了

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【按 -1 1 2，那应该是前两个相反，第三个是前两个的2倍才对啊】

你理解错(-1 1 2)这个向量的意义了

用矩阵的方式写出这个方程组是这样的

[1 -1 -2] [x1 x2 x3]T=0

[1 -1 -2]

[0 0 0] [x1 x2 x3]T=0

[0 0 0]

把[x1 x2 x3]乘进系数矩阵，有意义的方程就剩下

-x1+x2+2x3=0

只要把[x1 x2 x3]的关系表示出来就是求得通解了

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用Gauss-Jordan消去法的时候【对角线上的-1】

1 0 a b

0 1 c d

0 0 0 0

0 0 0 0

的时候添在【全为零的行且在整个矩阵的对角线】上

1 0 a b

0 1 c d

0 0 -1 0

0 0 0 -1

因为对基础解系作线性变换所得的向量仍然为基础解系

所以N1=(-a,-c,1)T，N2=(-b,-d,1)T也是基础解系

矩阵解方程组的格式，请举例说明

对增广矩阵 (A,b) 用初等行变换化成行梯矩阵

例如方程组：2x+3y=1

4x+5y=6

2 3

D= （行列式）=-2

4 5

1 3

（k1,k2是任意常数）DX= =-13

6 5

2 1

Dy= =8

4 6

所以x=DX/D=13/2，Y=Dy/D=-4

线性方程组的解法

前面部分同高赞相同，后面根据自由未知量具体代值求解

1.将增广矩阵化为最简阶梯阵

（1）首元素为1——用1将下面化0

（2）首元素非0非1——直接用首元素将下面的行化0

（3）首元素非0，下方有0元素——非0行调换至行

只能初等行变换，每行首元素应为正1，与1同列的设解向量为X(x1,x2,x3)其余元素化0

2.先判断，再求解。

1 2 1矩阵的秩=增广矩阵的秩 与 未知量个数比较

<有无穷多解

=有解

>无解

自由未知量个数：未知量个数-增广矩阵的秩

3.根据最简阶梯阵写同解方程组

再写一般解

4.自由未知量代值

自由未知量任意取，只需符合方程组

通常都取0，方便计算

检验特解是否正确的方法：将特解代入方程组

怎么用矩阵解二元一次方程组？

3、对增广矩阵进行行变换，将其化为上三角矩阵或[-1 1 2]者行简化阶梯形矩阵。

求齐次线性方程组通解步骤？

用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系。

第1步: 用初等行变换将系数矩阵化为行简化梯矩阵(行最简形), 由此确定自由未知量:

非零行的首非零元所在列对应的未知量为约束未知量, 其余未知量为自由未知量.

第2步: 根据行简化梯矩阵写出同解方程组, 并将自由未知量移至等式的右边.

第4步: 写出方程组的通解。

扩展资料：

定理

齐次线性方程组

有非零解的充要条件是r(A)

推论

齐次线性方程组

零解的充要条件是r(A)=n。

性质：

1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程5、将这个未知数的值代入其中一个方程，求解另一个未知数的值。组的一组解。

2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有零解。

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)

4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有的零解的充要条件是系数矩阵不为零。（克莱姆法则）

线性代数有几种解线性方程组的方法

系数矩阵秩，与增广矩阵的秩，相等时有解

第二种 克拉姆法则， 如果行列式不等于零，则用常数（1）有解：当方程组的系数矩阵的解等于方程组的未知数个数时，方程组有解。向量替换系数行列式中的每一行再除以系数行列式，就是解；

第三种 逆矩阵法， 同样要求系数矩阵可逆，直接建立AX=b与线性方程组的关系，X=A^-1.b就是解

第四种 增光矩阵法， 利用增广矩阵的性质(A,b)通过线性行变换，化为简约形式，确定自由变量，（各行中个非零元对应的未知数除外余下的就是自由变量），对自由变量进行赋值，求出其它未知数，然后写成基础解析的形式，写出通解。

这种方法需要先判别: 增广矩阵的秩是否等于系数矩阵的秩，相等且小于未知数个数，则无穷多解；等于未知数个数，解。 秩不想等，无解。

第五种 计算机编程，随便用个软件，譬如Matlab,输入密令，直接求解。

目前这5中教为适用，适合一切齐次或者非齐次线性方程组。

为什么矩阵相乘一定是方程组的解？

两个齐次线性方程组的系数矩阵行等价，即 AX=0与BX=0同解，所以可以有相同的极大无关组，也就是有相同的基础解系。

Ax=0的基础解系所含向量个数是n-r(A)，Bx=0的基础解系所含向量个数是n-r(B)，所以 n-r(A)=n-r(B)，从而 r(A)=r(B)。

简化后化简后的方程中所有非零项的指数相等，也叫所含各项关于未知数的次数。其方（3）只有零解：当方程组的系数矩阵的解等于方程组的未知数个数，并且解等于方程组的个数时，方程组只有零解。程左端是含未知数的项，右端等于零。通常齐次方程是求解问题的过渡形式，化为齐次方程后便于求解。

扩展资料：

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若mr，则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组零解，即x=0，求解结束；若r(A)=r