一元二次方程教学设计 认识一元二次方程教学设计

一元二次方程几种方法

七事物有一种好奇心和探索心,所以要想把学生的思维吸引到每一堂课的教学内容上来,设计一个好的导入非常重要.教师可以根据教材提出有趣的问题、或讲一个小年级数学《从算式到方程》教案设计二

解一元二次方程的方法是公式把常数项移项得：x^2+2x=3法，配方法，直接方法，因式分解法，只含有一个未知数（一元），并且未知数项的次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程教学设计 认识一元二次方程教学设计

一元二次方程教学设计 认识一元二次方程教学设计

配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。

高中高二数学教案：圆的方程

解：(1)汽车从王 家庄行驶到青山用了3小时，青山到秀水用了2小时.

圆的方程

150x+1700=2450

教师：输入零点的大致区间和度，执行程序，检验程序运行结果的正确性.学目标

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径．

（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化．

（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题．

（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线．

（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法．

教学建议

教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求圆的方程，用圆的方程解决相关问题．

②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用．

教法建议

（1）圆是最简单的曲线．这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备．同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法．

（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结．

（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识．

（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题．建议适当选择一些内容供学生研究．例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题．类似的还有圆系方程等问题．

教学设计示例

圆的一般方程

教学目标：

（1）掌握圆的一般方程及其特点．

（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．

（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程．

（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法．

教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．

（2）用待定系数法求圆的方程．

教学难点：圆的一般方程特点的研究．

教学用具：计算机．

教学方法：启发法，讨论法．

教学过程：

【引入】

把它展开得

任何圆的方程都可以通过展开化成形如

①的方程

【问题1】

形如①的方程的曲线是否都是圆？

师生共同讨论分析：

如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得

②显然②是不是圆方程与 是什么样的数密切相关，具体如下：

（1）当 时，②表示以 为圆心、以 为半径的圆；

（2）当 时，②表示一个点 ；

（3）当 时，②不表示任何曲线．

总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示．

圆的一般方程的定义：

当 时，①表示以 为圆心、以 为半径的圆，

此时①称作圆的一般方程．

即称形如 的方程为圆的一般方程．

（1） 和 的系数相同，都不为0．

（2）没有形如 的二次项．

圆的一般方程与一般的二元二次方程

③相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件．

圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：

（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．

（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．

【实例分析】

例1：下列方程各表示什么图形．

（1） ；

（2） ；

（3） ．

学生演算并回答

（1）表示点（0，0）；

（2）配方得 ，表示以 为圆心，3为半径的圆；

（3）配方得 ，当 、 同时为0时，表示原点（0，0）；当 、 不同时为0时，表示以 为圆心， 为半径的圆．

例2：求过三点 ， ， 的圆的方程，并求出圆心坐标和半径．

分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解．

解：设圆的方程为

因为 、 、 三点在圆上，则有

解得： ， ，

所求圆的方程为

可化为

圆心为 ，半径为5．

请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别．

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

（1）求圆的方程多用待定系数法．其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程．

（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程．一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程．

下面再看一个问题：

例3： 经过点 作圆 的割线，交圆 于 、 两点，求线段 的中点 的轨迹．

解：圆 的方程可化为 ，其圆心为 ，半径为2．设 是轨迹上任意一点．

∵∴

即化简得

点 在曲线上，并且曲线为圆 内部的一段圆弧．

【练习巩固】

（1）方程 表示的曲线是以 为圆心，4为半径的圆．求 、 、 的值．（结果为4，－6，－3）

（2）求经过三点 、 、 的圆的方程．

分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得圆的方程为 ．

（3）课本第79页练习1，2．

【小结】师生共同总结：

（1）圆的一般方程及其特点．

（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径．

（3）用待定系数法求圆的方程．

【作业】课本第82页5，6，7，8．

用配方法解决一元二次方程的步骤

在区间(2，3)内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理.

将一元二次方程配成

(4)某校女生占全体学生的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生?

的形式，再利用直接方法求解的方法

(4)你会用算术方法解决这个实际问题呢?不妨试试列算式.

（1）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为一般形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤进一步通过直接方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

（2）配方法的理论依据是完全平方公式

（3）配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

扩展资料：

方法

（1）形如

或的一元二次方程可采用直接方法解一元二次方程 。

（2）如果方程化成

的形式，那么可得

。（3）如果方程能化成

的形式，那么

，进而得出方程的根。

（4）注意：

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

③方法是根据平方根的意义方。

参考资料：

高一数学《用二分法求方程的近似解》教案

配方法解一元二次方程实例：

知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.

过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备.

情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受与近似的相对统一.

教学重点

通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.

教学难点

恰当地使用信息技术工具，公式法是解一元二次方程的根本方法，没有使用条件，因此是必须掌握的。用公式法的注意事项只有一个就是判断“△”的取值范围，只有当△≥0时，一元二次方程才有实数解。利用二分法求给定度的方程的近似解.

教材分析

本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.

学情分析

通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系;在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的作.

教学媒体分析

多媒体微机室、Authorware7.02中文版、几何画板4.06中文版、Microsoft Excel、QBASIC语言应用程序

教学方法

动手作、分组讨论、合作交流、课后实践

教学环节设计流程图

教学设计理念

1.构建共同基础，提供发展平台;

2.提供多样解法，适应个性选择;

3.倡导积极主动、勇于探索的学习方式;

4.注重提高学生的数学思维能力;

5.发展学生的数学应用意识;

6.与时俱进地认识“双基”;

7.强调本质，注意适度形式化;

8.体现数学的文化价值;

9.注重信息技术与数学课程的整合;

10.建立合理、科学的评价体系.

教学过程与作设计：

教学内容因式分解法解一元二次方程步骤 将方程变形，使方程的右边为零；将方程的左边因式分解； 根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。设计

师生双边互动

中外历史上的方程求解

在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点(即的根)，对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法(二次时，称为求根公式).我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九章算术》，北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》，南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果.1824年，挪威年轻数学家阿贝尔(N. H. Abel，1802-1829)成功地证明了五次以上一般方程没有根式解.1828年，法国天才数学家伽罗瓦(E.Galois，1811-1832)巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程.人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题.

师：介绍中外历史上的方程求解问题，从高次代数方程解的探索历程学生认识引入二分法的意义，从而引入课题.

生：感受到数学文化方面的熏陶，限度的调动学生的学习兴趣，提高学习的积极性和主动性.

这节课就让我们来共同学习一下 §3.1.2《用二分法求方程的近似解》

想一想

我们已经知道，函数在区间(2，3)内有零点，且<0，>0.进一步的问题是，如何找出这个零点?

做一做

步：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)≈-0.084.因为 (2.5)·<0，所以零点在区间(2.5，3)内.

第二步：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得(2.75)≈0.512. 因为 (2.5)·(2.75)<0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.

结论:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见下表和图)

师：一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，下面我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.

师：学生分析理解求区间，的中点的方法.

生：用计算器算得

(2.5)≈-0.084

(2.75)≈0.512

几何画板4.06中文版演示计算结果

师：这样，在一定度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.

例如，当度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将=2.53125作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值.

议一议：你能说出二分法的意义及用二分法求函数零点近似值的步骤吗?

对于在区间[，]上连续不断且满足·<0的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).

2.给定度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：

(1)确定区间，，验证·<0，给定度;

(2)求区间，的中点;

(3)计算：

1若=，则就是函数的零点;

2若·<0，则令=(此时零点);

3若·<0，则令=(此时零点);

(4)判断是否达到度;即若<，则得到零点近似值(或);否则重复步骤2-4.

结论: 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.

思考：为什么由<，便可判断零点的近似值为(或)?

师：阐述二分法的逼近原理，学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤.

师：分析条件

“·<0”、“度”、“区间中点”及“<”的意义.

生：结合求函数

由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以借助几何画板4.06中文版软件和Microsoft Excel软件来完成计算.

我们还是以求函数的零点为例

学生在教师下作

师：

步：打开几何画板4.06中文版软件.

第二步：点击工具栏中的“图表”，选中“绘制新函数(Ctrl+G)”，或在工作区中点击右键，选中“绘制新函数”.

第三步：在弹出的对话框中输入

，点击“确定”.

几何画板4.06中文版

教学内容设计

师生双边互动

第四步：观察函数图象，确定零点所在的大致区间为(2，3).

几何画板4.06中文版

第五步:打开

Microsoft Excel软件

第六步: 分别在单元格A1、B1、C1输入、、

度，在C2输入0.5，分别在A2、A3输入2、2.5，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值4时为止，完成自动填充.

Microsoft Excel软件

教学内容设计

师生双边互动

第七步: 在B2单元格点击“粘贴函数”，

输入函数值公式

“=lnA2+2A2-6”，得到与A2相应的函数值.

第八步:然后双击(或拖动)B2的“填充柄”，得到与列相应的函数值.

生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，3)内.

第九步：重复上述作：将A1、B1、C1到A7、B7、C7，把度设为0.25，在A8、B9分别输入2.5、2.75，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值3.25时为止，完成自动填充.B2到B8，得到与A8相应的函数值，然后双击(或拖动)B8的“填充柄”，得到与列相应的函数值.

生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，2.75)内.

Microsoft Excel软件

教学内容设计

师生双边互动

结论：借助信息技术求方程近似解(函数零点)的步骤如下：

1.利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间;

2.利用然后用Microsoft Excel软件逐步计算解答.

第十步：重复上述过程，将度设为上次作的一半，直到小于0.01为止，特别地，这时可以将区间端点作为零点的近似值.

生：观察所得

函数值，并且度为

0.0078125<0.01，所以零点在区间(2.53125 ，2.5390625)内，

=2.53125可以为函数的零点.

生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程近似解的方法，并进行讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论.

Microsoft Excel软件

例题：借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解(度0.1)

解：(略). 打开几何画板 打开Excel

尝试练习：

1. 借助计算器或计算机，用二分法求函数

的零点(度0.1)

2. 借助计算器或计算机，用二分法求方程 的近似值(度0.01)

师：首先利用几何画板4.06中文版软件画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间，然后用Microsoft Excel软件逐步计算解答.

生：完成解答，并进行交流、讨论、评析.

几何画板4.06中文版

Microsoft Excel软件

我们也可以借助QBASIC语言编写一定的程序来求方程的近似解.(到0.01)

程序框图：

师：介绍学生感兴趣的计算机编程问题，渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.

教学内容设计

师生双边互动

程序语句：

INPUT “，，=”;，，

DO

=(+)/2

=LOG()+2-6

IF >0 THEN

=

ELSE

=

END IF

LOOP UNTIL ABS(-) < OR =0

PRINT

END

打开QBASIC文件

应用程序

1.有兴趣的同学可以自学QBASIC语言或其他计算机语言，编写程序，来检验做题结果正确与否.

2.查找有关资料或利用Internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)，增强探索精神，培养创新意识.3.谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识? 将你这节课的收获与感受写成一篇小报告或小论文的形式，发表在学校的数学上.

师：继续激发学生学习数学的热情;感受数学文化方面的熏陶;充分地利用学校资源进行后续学习和交流.

数学在初中解1元2次方程有哪几种方法

高一数学《用二分法求方程的近似解》教案 教学目标

1.分解因式法（可二、新课引入解部分一元二次方程）

练习三：判断下列方程哪些是一元一次方程?

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”.因式分解法是通过将方程左边因式分解所得,因式分解的内容在八年级上学期学完.

如1.解方程：x^2+2x+1=0

利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0

解得：x1= x2=-1

2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0

利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0

即 x-3=0 或 x+1=0

∴ x1=3,x2=-1

3.解方程x^2-4=0

（x+2）（x-2）=0

x+2=0或x-2=0

∴ x1=-2,x2= 2

十字相乘法公式：

x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

例：

1.ab+b^2+a-b- 2

=a(b+1)+(b-2)(b+1)

=(b+1)(a+b-2)

2.公式法（可解全部一元二次方程）

求根公式

首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根

1.当Δ=b^2-4ac0时 x有两个不相同的实数根

当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a

来求得方程的根

如：解方程：x^2+2x－3=0

等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4

解得：x1=-3,x2=1

用配方法解一元二次方程小口诀

二次系数化为一

常数要往右边移

一次系数一半方

两边加上最相当

一元二次方程解法，举几个例子要过程

3.配方法（可解全部一元二次方程）

一元二次方程解法

信息技术应用

1.配方法

=LOG()+2-6

（可解全部一元二次方程）

如：解方程：x^2+2x－3=0

等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4

解得：x1=-3,x2=1

用配方法解一元二次方程小口诀

二次系数化为一

常数要往右边移

一次系数一半方

两边加上最相当

2.公式法

（可解全部一元二次方程）

首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根

1.当Δ=b^2-4ac0时 x有两个不相同的实数根

当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a

来求得方程的根

3.因式分解法

（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”.

如：解方程：x^2+2x+1=0

利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0

解得：x1=x2=-1

4.直接方法

（可解部分一元二次方程）

5.代数法

（可解全部一元二次方程）

同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0

设：x=y-b/2

方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为 (y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0

再变成：y^2+(b^223)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0

七年级数学《从算式到方程》教案设计

(3)女生人数—男生人数= .

方程是初等数学的基本知识，也是进一步学习一元一次方程，二元一次方程组，一元一次不等式及一元二次方程的基础。接下来是我为大家整理的 七年级数学 《从算式到方程》教案设计，希望大家喜欢!

七年级数学《从算式到方程》教案设计一

一、教材分析

1.教学目标、重点、难点.

教学目标：

(1)了解方程的解的概念.

(2)体验对方程解的估算，会检验一个数是不是某个一元方程的解.

(3)渗透对应思想.

重点：方程解的意义，会检验一个 数是不是一个一元方程的解.

难点：方程解的意义，会检验一个数是不是一个一元方程的解.

2.例、习题的意图

本节课重点是了解方程的解的意义. 通过实际问题中对所列方程解的估算，了解什么是方程的解以及由于估算遇到了困难，产生寻求方程解法的需求，为后面的学习做好铺垫.

例1是通过实际问题列出方程，根据(1)题未知数 的取值范围以及方程解的概念逐一代入方程来寻求方程的解，使学生亲身体验什么是方程的解，也为例2检验一个数值是不是方程的解做好铺垫. 对第(2)、(3)题再采用(1)题 方法 寻求方程的解已不容易，这又为后边学习解方程奠定了积极的心理储备.

例2是根据方程的解的意义，使学生会检验一个数值是不是方程的解，这一点应切实使学生掌握.

难点是方程解的意义和检验一个数是不 是一个一元方程的解. 例1起着承上 启下的作用，在估算方程解的过程中，理解方程解的意义，学会检验一个数是不是一个一元方程的解.抓住关键字“等号左右两边相等”，检验一个数是不是一个一元方程的解，要分别计算方程的左右两边，若其值相等，则这个未知数是方程的解，若不相等，则不是方程的解.

复习：

1.什么是一元一次方程?

2.练习：当 ， ， 时，求式子 的值.

： ， ， .

通过练习2强调求式子的值的一般步骤，其中易错易混的地方，如代入的值是负数，应加上括号，数与数相乘时应恢复乘号，运算关系不能混淆等.

三、例题讲解

例1 教材P69 中 例1

分析：三个题目中的相等关系分别是：

(1)计算机已使用的时 间+继续使用的时间=规定的检修时间.

(2)2(长+宽)=周长.

问题：列方程是解决问题的重要方法，利用所列的方程我们可以得出未知数的值，你能估算方程 中的 的值吗?

分析：方程中等号左边有未知数 ，估算的 值代入方程应使等号左边 的值等于等号右边的值2450，这样的 值才适合方程. 由于 表示月份，是正整数，不妨让 ， ，……分别代入 方程算一算.

由计算结果可以看到，每一个 的允许值都使代数式 有一个确定的数值， 为方便起见，可以列一个表格：

1 2 3 4 5 6 7 … 1850 2000 2150 2300 2450 2600 2750 … 从表中发现：当 时， 的值是 ，也就是，当 时 ，方程中等号的左边： . 等号的右边：2450. 由此得到方程的左边=右边，就说 叫做方程 的解，也就是方程 中，未知数 的值为5. 所以，方程的解就是 .

教材P71中的小云朵，可以多选几个情 况来说明，以加强对方程解得意义的 理解.

从表中你还能发现哪个方程的解?(学生得出)如方程 的解是 ;方程 的解是 等等，使学生进一步体会方程解的概念.

方程解的意义：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.

教材P71的思考：你能估算方程 和方程 的解吗?通过估算这两个方程的解，你有什么想法?

由于这两个方程估算其解有一定的困难，数不整齐，或方程比较复杂，出现矛盾冲突，学生得出：学习解方程的方法十分必要.

怎样检验一个数是否是方程的解呢?

目标 1.使学生初步掌握一元一次方程应用题的设未知数和列方程; 2.培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力; 3.使学生初步养成正确思考问题的良好习惯. 教

重难点

重点：从学生原有的认知结构提出问题在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢?若能解决，怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢?

教具学具准备

无 教学流程 一、导入新课 1、小明的年龄是12岁，王老师的年龄是小明年龄的4倍少2，王老师的年龄是____岁?如果设小明的年龄是x岁，那么王老师的年龄是_____岁? 2、一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问同学知道否，几个老头几个梨? 二、讲授新课 1、什么叫做等式?

答：表示相等关系的式子叫做等式。

形式：把相等的两个数(或字母表示的数)用等号连接起来。 2、等式有何性质?

等式的性质1：等式两边加上(或减去)同一个数(或式子)，结果仍相等。

如果a=b，那么a±c=b±c。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果a=b，那么ac=bc;

如果a=b(c≠0)，那么

3、什么叫做方程?

答：含有未知数的等式叫做方程。

例：4x=24

0.52x-(1-0.52)x=80

4、什么叫做一元一次方程?

七年级数学《从算式到方程》教案设计三

【教学目标】：

知识与技能：

1、通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义;

2、了解什么是方程，什么是一元一次方程及什么是方程的解。

1、会将实际问题抽象为数学问题，通过列方程解决问题;

2、认识列方程解决问题的思想以及用字母表示未知数，用方程表示相等关系的符号化的方法。

3、能结合具体例子认识一元一次方程的含义，体会设未知数列方程的过程，会用方程表示简单实际问题的相等关系。

情感与态度：

体验数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以用数学方法解决，激发学习数学的热情。

【教材分析】：

1、地位与作用：本节的内容是七年级数学上册第三章《一元一次方程》的节《从算式到方程》、二课时，首先通过一个具体的问题情境引入，使学生感受到用算术方法解决问题存在一定困难，从而积极探求新方法，体会数学的价值。然后，通过列代数式，找相等关系引出方程、一元一次方程等概念。本节内容是小学与初中知识的衔接点，通过方程的学习对于提高学生观察问题、研究问题、解决问题的能力，都是十分有利的。

2、教学重点： 建立一元一次方程的概念。

3、教学难点： 根据具体问题中的等量关系，列出一元一次方程，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。

【教学过程】：

问题与情境 教师活动 学生活动 一、创设情境，展示问题：

问题1： 章前图中的汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水之间，距青山50千米，距秀水70千米，王家庄到翠湖有多远?

地名

时间

王家庄

10：00

青山

13：00

秀水

15：00

教师展示问题，要求用算术解法，让学生充分发表意见。

问题1的算术解法：(50+70)÷2=60(千米/时)

605-3.认知难点与突破方法70=230(千米)

二、寻找关系，列出方程

1、对于问题1，如果设王家庄到翠湖的路程是x千米，则：

时间

速度

王家庄-青山

王家庄-秀水

根据汽车匀速前进，可知各路段汽车速度相等，列方程。

2、比一比：列算式与列方程有什么不同?哪一个更简便?

3、想一想：对于问题1，你还能列出其他方程吗?如果能，你根据的是哪个相等关系?你认为列方程的关键是什么? 结合图形，学生分析各路段的路程、速度、时间之间的关系，填写表格。

找出相等关系，列出方程。

学生思考回答：

1、王家庄-青山(X—50)千米，王家庄-秀水(X+70)千米。 2、汽车以每小时(X-50)÷3千米的速度从王家庄到青山;以每小时(X+70)÷5千米的速度从王家庄到秀水。 三、定义方程，建立模型

1、定义：(板书)含有未知数的等式叫做方程。

练习一：判断下列式子是不是方程，是的打“√”，不是的打“x ”.

(1)1+2=3 ( ) (4) ( )

(2) 1+2x=4( ) (5) x+y=2 ( )

(3) x+1-3 ( ) (6) x2-1=0 ( )

练习二：根据下列问题，设未知数并列出方程。

(1) 小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后树苗每周长高约15厘米，大约几周后树苗长高到1米。

解：如果设x周后树苗长高到1米，那么依题意得到方程：_________.

解：经过x月这台计算机的使用时间达到规定的修检时间2450小时，那么依题意得到方程：_________.

(3)用一根长24cm的铁丝围成一个长方形，使它长是宽的1.5倍，长方形的长、宽各应是多少?

解：如果设这个长方形的宽为X米，那么长为_______米.由此依题意得到方程：________________。

解：设这个学校的学生为x，那么女生数为 ，男生数为 .

由此依题意得到方程：________________。

[议一议]：上面的四个方程有什么共同点?

2、定义：只含有一个未知数(元X)，未知数的指数是1次，这样的方程叫做一元一次方程。

(1) (2)

(3) (4)

(5)

3、方程的解：做一做 填下表：

七年级数学《从算式到方程》教案设计四

教学目标

1.知过程与方法：识与技能

(1)通过观察，归纳一元一次方程的概念.

(2)根据方程解的概念，会估算出简单的一元一次方程的解.

2.过程与方法.

通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义.

3.情感态度与价值观

鼓励学生进行观察思考，发展合作交流的意识和能力.

重、难点与关键

1.重点：了解一元一次方程的有关概念，会根据已知条件，设未知数，列出简单的一元一次方程，并会估计方程的解.

2.难点：找出问题中的相等关系，列出一元一次方程以及估计方程的解.

3.关键：找出能表示实际问题的相等关系.

教具准备：投影仪.

教学过程

一、复习提问

在小学里，我们已学习了像2x=50，3x+1=4等简单方程，那么什么叫方程呢?什么叫方程的解和解方程呢?

答：含有未知数的等式叫方程;能使方程等号两边相等的未知数的值叫方程的解，求方程解的过程叫解方程.

方程是应用广泛的数学工具，把问题中未知数与已知数的联系用等式形式表示出来.在研究问题时，要分析数量关系，用字母表示未知数，列出方程，然后求出未知数.

怎样根据问题中的数量关系列出方程?怎样解方程?这是本章研究的问题.

通过本章中丰富多彩的问题，你将进一步感受到方程的作用，并学习利用一地一次方 程解决问题的方法.

二、新授

1.怎样列方程?

让学生观察章前图表，根据图表中给出的信息，回答以下问题.

(1)根据图中的汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间表，你知道，汽车从王家庄行驶到青山用了多少时间?青山到秀水呢?

(2)青山与翠湖、秀水到翠湖的距离分别是多少?

(3)本问题要求什么?

(5)如果设王家庄到翠湖的路程为x(千米)，你能列出方程吗?

(2)青山与翠湖的距离为50 千米，秀水与翠湖的距离为70千米.

(3)王家庄到翠湖的距离是多少千米?

(4)分析：要求王家庄到翠湖的距离，只要求出王家庄到青山的距离，而王家庄到青山的时间为3小时，所以必需求汽车的速度.

如何求汽车的速度呢?

这里青山到秀水的时间为2小时，路程为(50+70)千米，因此可求的汽车的平均速度为(50+70)÷2=60(千米/时)

王家庄到青山的路程为：60×3=180(千米)

所以王家庄到翠湖的路程为：180+50=230(千米)

列综合算式为： ×3+50

(5)分析：先画出示意图，示意图往往有助于分析问题.

从上图中可以用含x的式子表示关于路程的数量：

王家庄距青山(x-50)千米，王家庄距秀水(x+70)千米.

从章前图表中可以得出关于时间的数量：

从王家庄到青山行车3小时，从王家庄到秀水行车5小时.

由路程数量和行车时间的数量，可以得到行车速度的表达式.

汽车从王家庄开往青山时的速度为 千米/时，汽车从王家庄开往秀水的速度为 千米/时.

要列出方程，必需找出“相等关系”，题目中还有哪些相等关系吗?

根据汽车是匀速行驶的，可知各段路程的车速相等.

于是列出方程：

=以后我们将学习如何解这个方程，求出未知数x的值，从而得出王家庄到翠湖的路程.

思考：对于以上的问题，你还能列出其他方程吗?如果能，你依据的是哪个相等关系?

根据汽车匀速行驶，可知各段路程的车速相等.

所以还可以列方程：

= 或 =

(前者是汽车从王家庄到青山与从青山到秀水，这两段路程的车速相等，后者是汽车从王家庄到翠湖与从青山到秀水，这两段路程的车速相等)

比较用算术方法和列方程方法解应用题，用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只能用已知数，对于较复杂的问题，列算式比较困难;而方程是根据问题中的等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，有了这个未知数，问题中的已知量与未知量之间的关系就很容易用含有这个未知数的式子表示，再根据“相等关系”列出方程.

有了方程后人们解决许多问题就更方便了，通过今后的学习，你会逐步认识：从算式到方程是数学的进步.

列方程时，要先设字母表示未知数，通常用x、y、z等字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式即方程.

例1：根据下列问题，设未知数并列出方程.

(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少?

分析：设正方形的边长为x(cm)，那么周长为4x(cm)，依题意，得4x=24.

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一元二次方程的解法有几种?

因式分解得：（x+1)^2=4

一元二次方程的解法：

1、直接方法

对于直接方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成x1=x2=a的形式，其他的都是比较简单。

2、配方法

在化成直接方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是则利用直接方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解。

3、公式QBASIC语言法

4、因式分解法

因式分解，在初二下学期的时候重点讲了，之前也有相关的文章，重要性毋庸置疑，在一元二次方程里，因式分解法用的还是挺多的，难度非常容易调节，所以也是出题老师非常喜欢的一类题型。

5、图像解法

当△＞0时，则该函数与x轴相交（有两个交点）。

当△=0时，则该函数与x轴相切（有且一个交点）。

当△＜0时，则该函数与轴x相离（没有交点）。

一元二次方程的判别式

利用一元二环节次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。

一元二次方程ax+bx+c=0（a不等于0）的根与根的判别式有如下关系：△=b2-4ac。

①当△>0时，方程有两个不相等的实数根。

②当△=0时，方程有两个相等的实数根。

③当△<0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

一元二次方程的解法有几种?

一元二次方程的解法：

1、直接方法

对于直接方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成x1=x2=a的形式，其他的都是比较简单。

2、配方法

在化成直接方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是则利用直接方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解。

3、公式(2)一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的修检时间2450小时?法

4、因式分解法

因式分解，在初二下学期的时候重点讲了，之前也有相关的文章，重要性毋庸置疑，在一元二次方程里，因式分解法用的还是挺多的，难度非常容易调节，所以也是出题老师非常喜欢的一类题型。

5、图像解法

当△＞0时，则该函数与x轴相交（有两个交点）。

当△=0时，则该函数与x轴相切（有且y=±√[(b^23)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]一个交点）。

当△＜0时，则该函数与轴x相离（没有交点）。

一元二次方程的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。

一元二次方程aax^2+bx+c=0x+bx+c=0（a不等于0）的根与根的判别式有如下关系：△=b2-4ac。

①当△>0时，方程有两个不相等的实数根。

②当△=0时，方程有两个相等的实数根。

③当△<0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

一元二次方程课标要求

人教版九年级上册21.2解一元二次方程一节包括配方法、公式法、因式分解法解一元8. 初中七年级上册数学《整式》教案优质范文五篇二次方程．《义务教一元二次方程的解法有：直接方法；烂迅配镇轮方法；公式法；因式分解法。因式分解的几种方法：雹岩提公因式法、运饥旅此用公式法、分组Authorware7.02课件展示分解法、十字相乘法、拆项和添项法、待定系数法、双十字相乘法、轮换对称法等。育数学课程标准（2011年版）》对解一元二次方程一节相关内容提出的要求如下。

1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．

2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．

3．了解一元二次方程的根与系数的关系．