数量积的几何意义是什么 数量积怎么理解

向量的内积和外积

可以解释成以

把学过的数学知识整理一下，虽然一时用不到，但相信将来的某个时间点，会有用武之地的。

数量积的几何意义是什么 数量积怎么理解

数量积的几何意义是什么 数量积怎么理解

A. ＞ B. ≥ ＜ ≤

向量的积有2种：

数量积（也叫内积，点积）， 是数量，是实数

向量积（也叫外积，积）， 是向量

别名这么多，烦它，特此整理一下。

向量是有方向的线段。

向量的表示有2种：

数量积的几何意义是：

可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及b向量在a向量方向上的投影。

PS：向量a的模长：

两个不共线的非零向量所在平面的一组法向量。

用法向向量的模长来表示向量积：

用坐标来表示向量积：

行列式表示法，不好理解，但好计算。

关于行列式的计算，在下面的章节里进行了详细介绍。

学习行列式之前，必须先了解逆序数。

逆序数：某数前比它大的数的个数之和。

例如：3 2 5 1 4 的逆序数是5。

计算过程：

3之前没有比3大的数，个数是0

2之前比2大的数有3，个数是1

5之前没有比5大的数，个数是0

1之前比1大的数有3，2，5，个数是3

4之前比4大的数有5，个数是1

个数总和是：0+1+0+3+1 = 5，

所以3 2 5 1 4 的逆序数是5。

行列式的计算有2种方法，方法2。

2行2列行列式的计算方式：

对角线元素相乘再相减。

关于向量积（外积，积）的行列式表示法，至此介绍完了。

终于说完【1.4.1.3 行列式表示法】的行列式计算方式了。

两个向量相乘的几何意义

向量a=(u,v,w)与向量b=(x,y,z)的数量积定义为 a · b = ux+vy+wz，

向量相乘也就是点乘，也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。向量a·向量b=|a||b|cos

。在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点证法五：同证法四求得 ，于是 = 所以 ，由此可证 为正三角形.乘。 点乘的定义即为 向量a·向量b=|a||b|cos

，那么显而易见就表示一向量在另一向量上的射影乘以另一向量了。

高二数学教案《平面向量的数量积》

系C-x，y，z，，设AC=CB=a.

【 #高二# 导语】直面高二的挑战，认清高二的自己，明确高二的目标，意义重大。因为，高二的这个岔路口，分出的是渐行渐远的两条路，指向的是人生意义上的两个截然相反的阶段性终端。 高二频道为正在奋斗的你整理了《高二数学教案《平面向量的数量积》》希望你喜欢！

教案【一】

教学准备

教学目标

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;

3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题;

4.掌握向量垂直的条件.

教学重难点

教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

教学过程

1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，

并规定0向量与任何向量的数量积为0.

×探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负?

2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别?

(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

(3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.

教案【二】

教学准备

教学目标

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;

4.掌握向量垂直的条件.

教学重难点

教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

教学工具

①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a||e|cosθ。投影仪

教学过程

一、复习引入：

1.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ

五，课堂小结

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?

(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?

六、课后作业

P107习题2.4A组2、7题

课后小结

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?

(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?

课后习题

作业

P107习题2.4A组2、7题

略

向量数量积的坐标运算

向量积的几何意义是：

向量数量积的坐标运算：a·b=x1·x2+y(2)当a与b同向时，a(b = |a||b|;当a与b反向时，a(b = (|a||b|. 特别的a(a = |a|2或1·y2。

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=（x1,y1），b=（x2,y2），则a·b=x1·x2+y1·y2。

向量数量积的坐标的几何意义：一个向量在另一个向量方向上的投影，设θ是a、b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投影。数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。 注意：两向量的数量积是数量，投影也是数量。射影是矢量。

向量数量积的性质：设a、b为非零向量，则

②a⊥b等价于a·b=0。

③当a与b同向时，a·b=|a||b|;当a与b反向时，a·b=-|a||b| ;a·a=|a|=a或|a|=√a·a。

④|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立。

⑤cosθ=a·b╱|a||b|（θ为向量a、b的夹角）。

⑥零向量与任意向量的数量积为0。

向量数量积的运算律：（1）交换律：a·b=b·a。

（2）数乘结合律：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）。

向量积和数量积的区别是什么？

△ ACB互相垂直，∠ACB= ，E、F C A

1、矢量的叉乘是向量积；

2、矢量的叉乘的运算结果(3)|a(b| ≤ |a||b|是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直；

3、叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。

扩展资料：

向量积介绍：

向量的数量积已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积,点积记作a。

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量[a1，a2，a3]表示成四元数a1i+a2j+a3k，计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参看四元数。

参考资料来源：

高中数学，为什么零向量与任意向量的数量积为0，用例子告诉我推给我看。不要百度，看不懂？

⑴求证:PA⊥底面ABCD;

你可以从两个角度理解数量积，从而理解这个问题。 代数角度：

而零向量0=(0,0,0)

这和0乘任何数都为0是本质一样的。

几何角度：

向量a与向量b的数量积的几何意义是以向量a、b为边构造的平行四边形的面积。

而零向量0没有长度，或者说长度是0，所以和其他向量围成的平行四边形一条边长度是0，自然没有面积。或者也可以说它围不出一个平行四边形。

所以⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.零向量与任何一个向量的数量积都为0。

不知道你能看懂哪一种

高考向量问题

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;

1．与向量概念有关的问题

⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“ ＞ ”错了，而| |＞| |才有意义.

⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.

⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.

⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（ ）,其中 、 满足 ＝1（可用（cos ,sin ）（0≤ ≤2π）表示）.

⑸零向量 的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.

2．与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.

①当两个向量 和 不共线时， 的方向与 、 都不相同，且| |＜| |＋| |；

②当两个向量 和 共线且同向时， 、 、 的方向都相同，且 ；

③当向量 和 反向时，若| |＞| |， 与 方向相同 ，且| |=| |-| |；

若| |＜| |时, 与 方向相同，且| ＋ |=| |-| |.

⑵向量与向量相减，其仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.

⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.

如， ,（在△ABC中）

.(□ABCD中)

⑷判定两向量共线的注意事项

如果两个非零向量 ， ，使 =λ （λ∈R），那么 ‖ ；

反之，如 ‖ ，且 ≠0，那么 =λ .

这里在“反之”中，没有指出 是非零向量，其原因为 =0时，与λ 的方向规定为平行.

⑸数量积的8个重要性质

①两向量的夹角为0≤ ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.

②设 、 都是非零向量， 是单位向量， 是 与 的夹角，则

③ （所以零向量0与任何一个向量a=(x,y,z)的数量积计算结果都是0x+0y+0z=0。∵ =90°，

④在实数运算中 =0 =0或b=0.而在向量运算中 = = 或 = 是错误的，故 或 是 =0的充分而不必要条件.

⑤当 与 同向时 = ( =0,cos =1);

当 与 反向时， =- ( =π,cos =-1)，即 ‖ 的另一个充要条件是 .

特殊情况有 = .

或 = = = .

如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为( , ),( , ),则 =

⑥ 。（因 ）

如 （因为 与 共线，而 与 共线）

⑧数量积的消去律不成立.

若 、 、 是非零向量且 并不能得到 这是因为向量不能作除数，即 是无意义的.

6．与平面向量基本定理及平移有关的问题

⑴平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.

⑵平面向量基本定理可联系物理学中力的分解模型进行理解。

⑶点的平移公式：

点 按给定平移向量 平移后得新点 的坐标公式为

反之，由新点求旧点公式变为

⑷图象（图形）平移：

给定平移向量 = ，由旧解析式求新解析式，用公式

代入旧解析式中，整理得到；

由新解析式求旧解析式，用公式

代入新式，整理得到。

应用以上公式要注意公式中平移前的坐标 、平移后的坐标 、平移向量坐标 都在同一坐标系中。

确定平移向量一般可采用如下两种方法：

其一，配凑法：按题目要求进行配凑，如将 化简，即可配凑为： 则公式为 此时平移向量为

其二，待定系数法：按要求代入公式，再根据题目要求求出

【经典题例】

【例1】 是不共线的两个向量,

已知

若 三点共线,求 值.

【思路分析】由于 三点共线,因此必存在实数 ,使 ,因而可根据已知条件和向量相等的条件得到关于 的方程,从而求 .

解:略∴ =-1.

【点评】

用向量共线的充要条件有时可以很容易解决几何中的三点共线问题.

【例2】证明三角形三条高线交于一点.

【思路分析】此题可利用“形”、“数”结合的方法，通过直角坐标系将几何图形数字化，则问题解决更简洁、更易接受.

证明：如图建立直角坐标系，

设所以 是 上的高，故 的三条高交于一点 .

【点评】本题把两直线是否垂直的问题转化为两个非零向量的数量积是否为零的问题.

【例3】已知向量

满足条件 , ,

求证:△ 是正三角形.

【思路分析】观察条件中的两个等式,联系向量模及加法的几何意义,可构造图形巧证.如图1.又据条件易知O为定点,故可适当选取坐标系,借助向量的坐标运算,将几何问题代数化.如图2.也可联想三角知识进行坐标选取.如 使得选取具有任意性.且巧妙运用了三角变形.证明 为正三角形可从边或角的关系着手，联系两个向量数量积的有关知识可获得两种证法.

证法一：如图1略.

证法2如图2略.

证法三：据| |= ，

令由 得

可求得| |= ，所以 为正三角形.

证法四：设

由已知得 | |= ，所以 为正三角形。

【点评】以上五种证法，不仅实现了向量重要知识的一次大聚会，而且通过向量与三角、几何联姻，开阔了学生的眼界，培养了综合运用知识的能力.

【例4】如图，已知点 是△ 的重心，

⑴求 ;

⑵若 过△ 的重心 ，且 求证：

【思路分析】充分运用向量的几何形式运算.及向量平行的定理及推论,把相关向量用已知向量表示即可.

解：⑴

因为 是 的重心，

所以 =

由 、 、 三点共线,有 共线,所以,有且只有一个实数 ,

而 = - =

,所以

= .又因为 、 不共线,所以

,消去 ,整理得3 = ,故 .

【点评】建立 与 的关系关键是由 三点共线得出.为此要熟练运用已知向量表示未知向量.

【例5】如图,直三棱柱 — ,底面 中, ,∠ °,棱 ， 分别是 , 的中点. z

⑴求 的长;

⑵求 〈 , 〉的值;

⑶求证 ⊥ .

【思路分析】以 为原点建立空间坐标系,写出有关点的坐标,并进行有关运算.

解:如图,以 为原点建立空间直角坐标系O- .

⑴依题意得 =(0,1,0), =(1,0,1).

∴| |=

= .

⑵依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0), B1(0,1,2).

∴ =(1,-1,2), =(0,1,2).

| |= ,| |= ,

∴ 〈 , 〉 =

⑶依题意得 (0,0,2),M(

=(-1,1,-2), =( .

= .

∴ ⊥ ，∴ ⊥C .

【点评】利用题中已知条件,选取恰当点建立空间坐标系,并写出相应点的坐标是这类题的关键.

【例6】四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形, , ={4,2,0}, ={-1,2,-1}.

⑵求四棱锥P—ABCD的体积;

⑶对于向量 定义一种运算:

( × =

试计算( × ) 的的值;说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算( × ) 的的几何意义.

【思路分析】根据所给向量的坐标,结合运算法则进行运算.

解:⑴∵ ∴AP⊥AB

又∵ AP⊥AD,∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD。

⑵设 与 的夹角为 ，则

V= | | |=

⑶|( × ) |=|-4-32-4-8|=48.

它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.

猜测:| ( × ) |在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱锥的体积）。

【点评】本题考察空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量夹角运算公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.

【例7】如图,已知椭圆 ,直线 ： P是 上一点，射线OP交椭圆与点R，又点Q在OP上，且满足|OQ||OP|= .当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

【思路分析】将 看作向量，则它们共线而切同向，利用向量共线的充要条件，结合平面向量的坐标表示可迅速解题.

解：设

∵ 、 同向，且|OQ||OP|=

代入L方程得 ⑴

同向

代入椭圆方程得 ⑵

由①、②得 不全为0）， 点Q的轨迹为椭圆 （去掉原点）.

【点评】解析几何解答题中以向量知识为主线，用向量坐标形式表示已知条件可达到解题目的.

【例8】从抛物线 外的一点P（a，b）向该抛物线引切线PA，PB.

① 求切点A，B的坐标. （其中A的x坐标大于B的x的坐标）.

② 求 的值.

③ 当∠APB为锐角时，求点P的纵坐标的取值范围.

解：① 从 得 =2x，因此设切点的x坐标为 ，切线方程便为

由于该切线通过P点，从而 由于引出两条切线，故 >0所以切点的坐标为A

②④ 若∠APB为锐角,则有 >0,所以4b+1<0因此P的纵坐标的取值范围是b<-

【热身冲刺】

一．选择题

1.已知向量 和 反向，则下列等式成立的是（ ）.

A.| | -| |=| |

B.

C. | |

D.

2.已知向量 ，其中 则满足条件的不共线的向量共有（ ）.

A.16个 B.13个 C.12个 D.9个

3.函数 的图象按向量 平移后，所得函数的解析式是 则 等于（ ）.

A. B.

C. D.

4.已知若 和 夹角为钝角,则 的取值范围是（ ）

5.已知向量 = ， = 与 的夹角为60°，则直线 与圆 的位置关系是（ ）.

A. 相切 B.相交 C.相离 D.随α、β的值而定

6.平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知 则 的形状是( ).

A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

7.已知 中,点D在BC边上,且 则 的值是（ ）.

A. B. C. D.0

8.已知A、B、C三点共线，且A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10，则A点分 所得的比是( ).

A. B. C. D.

9.下列说确的是( )

A. 任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.

B. 单位正交基底中的基向量模为1,且互相垂直.

C. 不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底.

D. 只要对空间一点P存在三个有序实数x,y,z,使O,A,B,C四点满足 则 就构成空间的一个基底.

10.同时垂直于 的单位向量是( )

A. B.( C.( )D.( )或( )

11.若 ,则| |的取值范围是( )

A.[0,5] B.[1,5] C.(1,5) D.[1,25]

12.已知 若 共同作用在一个物体上,使物体从点 移到点 ,则合力所做的功为( )

A. 10 B.12 C.14 D.16

二.填空题

13.若对 个向量 … 存在 个不全为零的实数 …， ，使得 …，+ 成立，则称向量 … 为“线性相关”.依此规定，能说明 “线性相关”的实数 依次可以取 .（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）

14.若直线 按向量 平移后与圆 : 相切,则实数m的值等于 .

15.已知 中, ＜0, =

则 与 的夹角为 .

16.已知 ,则以 、 为边的平行四边形的两条高的长 .

三.解答题

17.在平行四边形ABCD中,A , ,点M是线段AB的中点,线段CM与BD交于点P.

⑴若 求点C的坐标;

⑵当| |=| |时，求点P的轨迹.

18.已知 且 与 之间满足关系: 其中k＞0.

⑴用k表示

⑵求 的最小值,并求此时 与 夹角 的大小. C A

19.如图，正方形 与等腰直角 G

分别是AB、BC的中点，G是 上的点. F E

⑴如果 试确定点 的位置； B

⑵在满足条件⑴的情况下，试求 ＜ ＞的值.

20.如图，已知三棱锥P-ABC在某个

空间直角坐标系中， P

⑴画出这个空间直角坐标系，并指 A C

出 与 轴的正方向的夹角.

⑵求证： ； B

⑶若M为BC的中点，

求直线AM与平面PBC所成角的大小.

选择题：

1.C; 2.C; 3.B; 4.B; 5.C; 6.B; 7.D; 8.C; 9.B; 10.D; 11.B; 12.C

填空题:

13.只要写出-4c,2c,c中一组即可. 14.3或13.

15. . 16. ;

解答题:

17.⑴设点C坐标为（ ），又 即 即点 .

⑵设 则

=3

ABCD为菱形.

⊥ 即

故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径去掉与直线y=1的两个交点.

18. ⑴ 两边平方，得 ，

即⑵ 从而 ,∴ 的最小值为 ,此时 , ,即 与 夹角为 .

19. ⑴易知

以C为坐标原点，建立空间直角坐标

G（0，a，x），E（ ）.

G为 的中点.

〈 〉=

20. ⑴以A为坐标原点O，以AC为Oy轴，以AP所在直线为Oz轴， 与Ox轴的正向夹角为30°；

⑵由 去证；

⑶连AM、PM,可证∠AMP为AM 与平面PBC所成角，又n=

故所成角为45°.

高中数学平面向量的数量积教案设计

则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b=|a||b|cosq，(0≤θ≤π).

讲授新课前，做一份完美的教案，能够更大程度的调动学生在上课时的积极性。接下来是我为大家整理的高中数学平面向量的数量积教案设计，希望大家喜欢!

高中数学平面向量的数量积教案设计一

《平面向量数量积》教学设计

案例名称 平面向量数量积的设计 主备人 组员 课时 3课时 一、教材内容分析 平面向量数量积是人教版高一下册第五章第六节内容，本节课是以解决某些几何问题、物理问题等的重要工具。学习本节要掌握好数量积的定义、公式和性质，它是考查数学能力的一个结合点，可以构建向量模型，解决函数、三角、数列、不等式、解析几何、立体几何中有关长度、角度、垂直、平行等问题，因此是高考命题中“在知识网络处设计命题”的重要载体。 二、教学目标(知识，技能，情感态度、价值观) (一)知识与技能目标

1、知道平面向量数量积的定义的产生过程，掌握其定义，了解其几何意义;

2、能够由定义探究平面向量数量积的重要性质;

3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直、共线关系

(二)过程与 方法 目标

(1)通过物理学中同学们已经学习过的功的概念学生探究出数量积的定义并由定义探究性质;

(2)由功的物理意义导出数量积的几何意义;

(三)情感、态度与价值观目标

通过本节的自主性学习，让学生尝试数学研究的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。

三、学习者特征分析 学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。 四、教学策略选择与设计 教法：观察法、讨论法、比较法、归纳法、启发法。

学法：自主探究、合作交流、归纳 总结 。

教师与学生互动：学生自主探究，教师点拨。 五、教学环境及资源准备 三角尺 六、教学过程 教学过程 教师活动 学生活动 设计意图及资源准备

创设情景引入新课

问题1 在物理学中，我们学过功的概念，如果给出力的大小和位移的大小能否求出功的大小? 师】：提出学生已学过的问题设置疑问，激发学生兴趣。

【生】：W=FS cos 让学生复习已学过的物理知识激发学生兴趣，并能够分析此公式的形式。 问题2 在上述公式中的 角是谁与谁的夹角?两向量的夹角是如何定义的? 【师】：提问 角从而引出两向量夹角的定义。

【生】：指出 角是力与所发生的位移的夹角 能够通过物理学中功的概念及公式中夹角的定义，从而给出两向量夹角的定义。

师生互动探索新知

1 引出两个向量的夹角的定义

(此概念可由老师用定义的方式向学生直接接示)

【师】：给出任意两个向量由学生作出夹角并通过作图学生归纳、总结出两向量夹角的特征及各种特殊情况。

【生】：学生作图，任意两向量的夹角包括垂直，同向及反向的情况。

注：(1)当非零向量a与b同方向时，θ=00

(2)当a与b反方向时θ=1800 (共线或平行时)

(3)0与 其它 非零向量不谈夹角问题

(4)a⊥b时θ=900

(5)求两向量夹角须将两个向量平移至公共起点

实际应用巩固新知

1 实际问题我能行

例1 在三角形ABC中，∠ABC=450，BA 与 BC 夹角是多少?BA 与 CB 夹角呢? 【生】：以四人为小组合作、交流。

高中数学平面向量的数量积教案设计二

一、总体设想：

本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义;二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念;二是几何意义和运算律;三是两个向量的模与夹角的计算。

二、教学目标：

1.了解向量的数量积的抽象根源。

2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角

3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义

4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算

三、重、难点：

【重点】1.平面向量数量积的概念和性质

2.平面向量数量积的运算律的探究和应用

【难点】平面向量数量积的应用

课时安排：

2课时

1.平面向量数量积的物理背景

平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F的所做的功为W ，这里的(是矢量F和s的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢?以此为基础引出了两非零向量a， b的数量积的概念。

平面向量数量积(内积)的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos(叫a与b的数量积，记作a(b，即有a(b = |a||b|cos(，(0≤θ≤π).

并规定0与任何向量的数量积为0.

零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a(b = |a||b|cos(无法得到，因此另外进行了规定。

3. 两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作 =a， =b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.

， 是记法， 是定义的实质――它是一个实数。按照推理，当 时，数量积为正数;当 时，数量积为零;当 时，数量积为负。

4.“投影”的概念

定义：|b|cos(叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一个数量，它的符号取决于角(的大小。当(为锐角时投影为正值;当(为钝角时投影为负值;当(为直角时投影为0;当( = 0(时投影为 |b|;当( = 180(时投影为 (|b|. 因此投影可正、可负，还可为零。

根据数量积的定义，向量b在a方向上的投影也可以写成

注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分。

5.向量的数量积的几何意义：

数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos(的乘积.

向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何意义实质上是将乘积拆成两部分： 。此概念也以物体做功为基础给出。 是向量b在a的方向上的投影。

6.两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，则

(1) a(b ( a(b = 0;

(4) ，其中 为非零向量a和b的夹角。

例1. (1) 已知向量a ，b，满足 ，a与b的夹角为 ，则b在a上的投影为______

(2)若 ， ，则a在b方向上投影为 _______

例2. 已知 ， ，按下列条件求

高中数学平面向量的数量积教案设计三

教材分析：

教科书以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念，功是一个标量，它用力和位移两个向量来定义，反应在数学上就是向量的数量积。

向量的数量积是过去学习中没有遇到过的一种新的乘法，与数的乘法既有区别又有联系。教科书通过“探究”，要求学生自己利用向量的数量积定义推导有关结论。这些结论可以看成是定义的直接推论。

教材例一是对数量积含义的直接应用。

学情分析：

前面已经学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量的数量积，教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到数量积与向量模的大小有及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。

三维目标：

(一)知识与技能

1、学生通过物理中“功”等实例，认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量数量积与向量投影的关系。

2、学生通过平面向量数量积的3个重要性质的探究，体会类比与归纳、对比与辨析等数学方法，正确熟练的应用平面向量数量积的定义、性质进行运算。

(二)过程与方法

1、学生经历由实例到抽象到抽象的的数学定义的形成过程，性质的发现过程，进一步感悟数学的本质。

(三)情感态度价值观

1、学生通过本课学习体会特殊到一般，一般到特殊的数学研究思想。

2、通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.

四、教学重难点：

1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证;

2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解;

五、教具准备：多媒体、三角板

六、课时安排：1课时

七、教学过程：

(一)创设问题情景，引出新课

问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么?

新课引入：本节课我们来研究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的物理背景及其含义

新课：

1、探究一：数量积的概念

展示物理背景：视频“力士拉车”，从视频中抽象出下面的物理模型

背景的次分析：

问题：真正使汽车前进的力是什么?它的大小是多少?

答：实际上是力 在位移方向上的分力，即 ，在数学中我们给它一个名字叫投影。

“投影”的概念：作图

定义：| |cos(叫做向量 在 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量;

2、背景的第二次分析：

问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

分析： 用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积;功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢?

平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || | 叫 与 的数量积，记作 · ，即有 · = | || | (0≤θ≤π).并规定 与任何向量的数量积为0.

注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定.

3、向量的数量积的几何意义：

数量积 · 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos(的乘积.

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向量积的几何意义是什么?不是数量积.

的左右手定则。若

向量积的几何意义是平行四边形的有向面积

它的大小等于这两个向量为边构成的平行四边形的面积定义：向量夹角的定义：设两个非零向量a=OA与b=OB，称∠AOB= 为向量a与b的夹角， (00≤θ≤1800)。

它的方向遵守右手法则。

既然学过向量积，就应该知道右手法则吧。