平方数列求和公式(平方数列求和公式推导过程)

奇数平方和公式

=3(n-1)^2+3(n-1)+1

1、奇数平方和：1^2+3^2+...（2n-1）^2=[1^2+2^2+...+（2n）^2]-[2^2+4^2+...+（2n）^2]=n（2n+1）（4n+1）/3-2n（n+1）（2n+1）/3=n（2n+1）（2n-1）/3=（1/3）n(4n^2-1)=n(2n+1）（2n-1)/3。

平方数列求和公式(平方数列求和公式推导过程)

平方数列求和公式(平方数列求和公式推导过程)

所以S=

数列n^2求和

=(1/6)n(n+1)(2n+1)

设S=1^2+2^2+....+n^2

(n+1)^3-n^3

=3n^2+3n+1

n^3-(n-1)^3

.等数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d..

..

...

2^3-1^3

=31^2+31+1

把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1

=3

[1^2+2^2+...+n^2]

+3[1+2+....+n]

+n

(1/3)[(n+1)^3-1-n-(1/2)n(n+1)]

急需数列{ n的平方}的前n项和的求法

将右边的式子进行化简，得到：k（k+1）（2k+1）/6+（k+1）^2=（k+1）（k+2）（2k+3）/6。我们发现这个式子正是我们需要证明的，所以该公式在n=k+1时也成立。由数学归纳法，该公式对所有的自然数n都成立。

1^n+2^n+3^n+4^n+…+n^n=1/6n(n+1)(2n+1)

=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2

方法：

利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1得：

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

……

2^3-1^3=31^2+31+1

相加得:

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+…+n^2)+3(1+2+…+n)+n

整理得：

n(n+1)(2n+1)/6

后项是前项的平方的数列的求和

各式相加有

a1q^(n-1)

----------

q-1

1/2+1/4+1/16+1/16^2+1/(16^2)^2+……+1/(2^k)

=[1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+……+1/(2^k)]+1/(2^k)-1/(2^k)

=[1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+……+1/(2^k)+1/(2^k)]-1/(2^k)

=[1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+……+1/2^(k-1)]-1/2^k

......

=1-1/2^=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3（n+（n-1）+......+2+1）+nk

比如从1/2一直加到1/16，我先给你加上一个1/16，再减去一个1/16，巴新加上的1/16与原来的1/16相加，得到1/8，再把这个1/8与原来的1/8相加得到1/4。依此类推得到1，再减去一开始的1/16，结果就是1-1/16。

利用等比数列求和公式Sn=a1（1-q^n）/(1-q)，

其中a1是首项，q是公比，n是项数

Sn=1/2(1-1/2^n)/(1-1/2)

=1-1/2^n

如果此题求极限 n→∞

lim Sn =lim （1-1/2^n）

=1

求数列1平方，2平方，3平方……n平方的前n项和

平方和相关公式：

设S=1^2+2^2+.+n^2

(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1

n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1

...

..

...

2^3-1^3 = 31^2+31+1

所以S= (1/3)[(n+1)^3-1-n-(1/2)n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+......+n^2

=n(n+1)(2n+11^n+2^n+…+n^n=1/6n(n+1)(2n+1))/6

1平方+2平方+3平方+....N平方=n(n+1)(2n+1)/6

通项是an=n的平方的数列，怎么求和啊

把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3 [1^2+2^2+...+n^2] +3[1+2+.+n] +n

Sn=1^2+2^2+3^2+……+n^2

3^3-2^3=32^2+32+1

利用立方公式

n^3-(n-1)^3=1[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

=n^2+(n-1)^2+n^2-n

=2n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=22^2+1^2-2

3^3-2^3=23^2+2^2-3

4^3-3^3=24^2+3^2-4

......

n^3-(n-1)^3=2n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加

n^3-1^3=2(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)

=(n/2)(n+1)(2n+1)

所以Sn=1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

2.同理

Sn=1^3+2^3+3^3+……+n^3

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]

=(2n^2+2n+1)(2n+1)

=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=41^3+61^2+41+1

3^4-2^4=42^3+62^2+42+1

......

(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1

(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n

4(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6[n(n+1)(2n+1)/6]+4[(1+n)n/2]+n

=[n(n+1)]^2

所以Sn=1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

如果使用算术方法可以推导出来：

我们知道

(k

+1)^3

-k^3

=3k^2

+3k

+1

(1

+1)^3

=31^2

+31

+1

(2

+1)^3

-2^3

=32^2

+32

+1

(3

+1)^3

-3^3

=33^2

+33

+1

.............

(n

+1)^3

-n^3

=3n^2

+3n

+1

以上相加得到：

(n

+1)^3

-1

=3sn

+3n(n

+1)/2

+n

...

此处引用：1

+2

+3

+....

+n

=n(n

+1)/2

整理化简即可得到：

sn

=1^2

+2^2

+3^2

+n^2

=n(n

+1)(2n

+1)/6

用归纳法。

1）当n=1时，1^2=123/6=1，等式成立。

2）设n=k时，1^2+2^2+3^2......+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立。

那么：

1^2+2^2+3^2......+k^2+(k+1)^2

=(k+1)/6[k(2k+1)+6(k+1)]

=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6

等式也成立。

3）因为n=1等式成立，所以

1^2+2^2+3^2......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

恒成立

S=a1+a2+a3+……+an=1+2+3+……+n 这是个等数列公式

n的三次方那个也是公式

平方和求和公式推导

平方和求和公式的推导过程如下：

考虑使用数学归纳法来证明该公式。当n=1时，公式显然成立。设当n=k时，公式成立，即：1^2+2^2+3^2+...+k^2=k（k+1）（2k+1）/6。

当n=k+1时，我们需要证明：1^2+2^2+3^2+...+k^2+（k+1）^2=（k+1）（k+2）（2k+3）/6。

为了证明这一点，我们将上面的设式两边同时加上（k+1）^2，得到：1^2+2^2+3^2+...+k^2+（k+1）^2=k（k+1）（2k+1）/6+（k+1）^2。

这个公式的推导过程使用了数学归纳法，它是一种非常重要的数学证明方法。通过这个例子，我们可以看到数学归纳法在证明一些与自然数有关的命题时的强大作用。

平方和求和公式的优势：

1、简洁性：平方和求和公式能够用一个简单的数学表达式来表示连续自然数的平方和，这使得它能够方便地进行计算和推导。相比之下，如果使用其他方法来计算平方和，可能需要更复杂的数学知识和技巧。

2、通用性：平方和求和公式适用于所有的自然数，无论数字大小如何，都可以用这个公式来计算平方和。这使得它平方和可以利用等比数列求和公式求解：在数学中成为了+...一个通用的工具，可以用来解决各种问题。

4、可扩展性：平方和求和公式可以很容易地扩展到其他数学问题中。例如，可以使用类似的方法来计算立方和、四次方和等更高次的数列和。

自然数的平方和公式的推导

对于本题来说

自然数的平方和公式的推导可以用数学归纳法，在证明之前，可以先把之前的公式稍作改变。

自然数的平方和其实本质上来说是数列求和，关于这个数列，常规采用归纳法证明，下面采用一种运用累加和构造的思想来证明。先考虑自然数的和，这个公式可以由等数列求和得到。自然数的平方和，也叫特殊等数列前n项和，是数学中经常用到的一种求和公式。

它是指两两相邻的自然数的平方之和。它被广泛的应用于很多领域，比如建筑物的图形推导、数学建模等。本文将以自然数的平方和公式推导为标题，主要介绍它的推导过程及运用。

首先，自然数的乎方和公式是指两两相邻的自然数的乎方之和，即n(n+1)(2n+1)/6。其中n为自然数，即1、2、3、4、5等等。由此可见，它是一种特殊的等数列前n项和。

总之，自然数的平方和公式是数学中重要的一种公式，它的推导和应用都很广泛，而且它极大地提高了建筑物推导、数学建模以及计算机程序设计等领域工作的准确性和效率。

3、对称性：平方和求和公式具有一定的对称性，这表现在公式中n、n+1和2n+1的关系上。这种对称性使得公式更加美观和易于记忆。归纳法：

所谓归纳法或称归旧纳推理（Inductive reasoning），是在认识事物过程中所使用的思维方法。有时叫做归纳逻辑是指人们以一系列经验事物或知识素材为依据，寻找出其服从的基本规律或共同规律，并设同类事物中的其他事物也服从这些规律。

从而将这些规律作为预测同类事物的其他事物的基本原理的一种认知方法。它基于对特殊的代表（token）的有限观察，把性质或关系归结到类型；或基于对反复再现的现象的模式（pattern）的有限观察，公式表达规律。

完全归纳法是从一类事物中每个事物都具有某种属性，推出这类事物全都具有这种属性的推理方法。不完全归纳法包括简单枚举法和科学归纳法两类。

简单枚举法是根据某类事物的部分对象具有某种属性，从而推出这类事物的所有对象都具有这种属性的推理方法。科学归纳法是依据某类事物的部分对象都具有某种属性，并分析出制约着这种情况的原因，从而推出这类事物普遍具有这种属性的推理方法。

数列{N~2}求和公式?就是1的平方+2的平方+3的平方+…+N的平方=N（N+...

4^4-3^4=43^3+63^2+43+1

方法非常多,我知道的就不下10种,下面提供简单的几种

sum=n(n+1)(2n+1)/6。

一是利用归纳法,这个具体过程略.

二是利用立方公式：

n^3-(n-1)^3=1[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

=n^2+(n-1)^2+n^2-n

=2n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=22^2+1^2-2

3^3-2^3=23^2+2^2-3

4^3-3^3=24^2+3^2-4

.n^3-(n-1)^3=2n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加

n^3-1^3=2(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)

=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

同理利用4次方公式可以得到立方和公式

这个需要画图,比较麻烦.我就简单说明一下大概意思：

画一条射线,在坐标中顶点为原点,然后再横坐标为1的位置放一个质量为1的质点,在横坐标为2的位置放2个质量为1的质点,这样继续下去,构成一个正三角形的质点分布图.然后这些质点的对于原点的力矩之和就正好是平方和公式左边；同时根据正三角形的质心和动力臂可以计算所有质点的等价力矩,这就得到等式右边.

如何利用等等比数列求和公式计算平方和？

则：sum=1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2；

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。解题过程如下：

=(k+1)/6(k+2)(2k+3)

解：因为（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1

则（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1

n^3-（n-1）^3=3（n-1）^2+3（n-1）+1

............

3^3-2^3=32^3+32+1

2^3-1^3=31^3+31+1

把等式两边同时求和得，

（n+1）^3-1^3

=（3n^2+3（n-1）^2+......+32^2+31^2）+（3n+3（n-1）+......+32+31）+n

=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3n（n+1）/2+n

即，n^3+3n^2+3n=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3n（n+1）/2+n

整理得，n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2=n(n+1)(2n+1)/6

即，1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

扩展资料：

数列求和的方法

1、公式法

（1）等数列求和公式：Sn=1/2n（a1+an）=d/2n+（a1-d/2）n

（2）等比数列求和公式：Sn=na1（q=1）、Sn=a1（1-q^n）/（1-q）（q≠1）

（3）自然数求和公式：（1+2+3+...+n）=n(n+1)/2

2、错位相减法

3、倒序相加法

4、分组法

5、裂项相消法

（1）1/（n（n+1））=1/n-1/（n+1）

（2）1/（（2n-1）（2n+1））=1/2（1/（2n-1）-1/（2n+1））

参考资料来源：

参考资料来源：

设：自然数1的平方和为：sum=1^2；

若自然数n的平方和sum=n(n+1)(2n+1)/6；

如何求数列的前n项和的平方和？

前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (n属于自然数）。

a1为首项，an为末项，n为项数,d为等数列的公。

等比数列 an=a1×q^(n-1)；

求和：Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×-1^2q)/(1-q) (q≠1)

推导等数列的前n项和公式三是利用物理学原理：时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+...... +an

Sn =an+ an-1+an-2...... +a1

上下相加得Sn=(a1+an)n/2

扩展资料：

（1）1+2+3+.+n=n(n+1)/2

（2）1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

（3）1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n(n＋1)

＝(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+2)+...+(n^2+n)

=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+.+n)

=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=n(n+1)(n+2)