arctanx的求导

arctanx的求导

arctanx的求导

arctanx，又称反正切x，是三角函数的反函数。它的导数在微积分中非常有用。

求导公式

arctanx的导数公式为：

``` d/dx arctanx = 1/(1+x^2) ```

证明

arctanx的导数可以通过复合微分法求得：

``` d/dx arctanx = d/dx (tan^(-1)x) ```

令 u = x，则 tanu = x。

``` d/dx tan^(-1)x = d/du tan^(-1)u du/dx ```

tan^(-1)u的导数为 1/(1+u^2)，而 du/dx 等于 1。

``` d/dx tan^(-1)x = 1/(1+u^2) 1 = 1/(1+x^2) ```

因此，arctanx的导数为：

``` d/dx arctanx = 1/(1+x^2) ```

应用

arctanx的导数在微积分中有很多应用，包括：

求曲线的切线方程 求积分 求微分方程的解

例子

求导：

``` d/dx arctan(2x) ```

解法：

``` d/dx arctan(2x) = 1/(1+(2x)^2) d/dx (2x) = 2/(1+4x^2) ```

结论