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怎样用琴生不等式证明√3+√7

琴生不等式

琴生不等式证明（琴生不等式证明均值不等式）琴生不等式证明（琴生不等式证明均值不等式）


琴生不等式证明（琴生不等式证明均值不等式）


琴生不等式：（注意前提、等号成立条件）

设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：

f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2(x2)+……+anf(xn),其中

ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.

凸函数的概念：

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2=f((x1+x2+...+xn)/n)

对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2

>=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)

=f((x1+x2+...+xn)/n)

所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。

现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n

然后我们设

x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n

代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。

现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式

(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2

显然，我们可以查看函数f(x)=x^2

由于

(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2

所以f(x)=x^2是凹函数

所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn,

有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)

也就是n阶平方平均不等式。

从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。

不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)>=0,那么f(x)是凹函数

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)n

(√3+√7)^2

=3+7+2√21

=10+2√21

≤10+2(5)

=20

=>

(√3+√7)^2 ≤20

√3+√7 ≤√20

凸函数的f(x),是否有（f(x1)+f(x2)+f(x3))/3

琴生不等式

琴生不等式：（注意前提、等号成立条件）

设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：

f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2(x2)+……+anf(xn),其中

ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.

凸函数的概念：

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2=f((x1+x2+...+xn)/n)

对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2

>=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)

=f((x1+x2+...+xn)/n)

所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。

现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n

然后我们设

x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n

代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。

现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式

(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2

显然，我们可以查看函数f(x)=x^2

由于

(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2

所以f(x)=x^2是凹函数

所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn,

有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)

也就是n阶平方平均不等式。

从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。

不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)>=0,那么f(x)是凹函数

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)

谁能给个Jensen不等式证明

琴生不等式

琴生不等式：（注意前提、等号成立条件）

设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：

f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2(x2)+……+anf(xn),其中

ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.

凸函数的概念：

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2=f((x1+x2+...+xn)/n)

对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2

>=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)

=f((x1+x2+...+xn)/n)

所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。

现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n

然后我们设

x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n

代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。

现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式

(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2

显然，我们可以查看函数f(x)=x^2

由于

(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2

所以f(x)=x^2是凹函数

所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn,

有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)

也就是n阶平方平均不等式。

从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。

不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)>=0,那么f(x)是凹函数

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)n

(√3+√7)^2

=3+7+2√21

=10+2√21

≤10+2(5)

=20

=>

(√3+√7)^2 ≤20

√3+√7 ≤√20

琴生在1905年给出了一个定义:

设函数 的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数 ，都有

(1)

则称 为[a,b]上的凸函数。

若把(1)式的不等号反向，则称这样的 为[a,b]上的凹函数。

凸函数的几何意义是:过 曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。

其推广形式是:若函数 的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数 ，都有

(2)

当且仅当 时等号成立。一般称(2)式为琴生不等式。

更为一般的情况是:设 是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点 ，有

其中 ，则称 是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有 则称 是[a,b]上的凹函数。

其推广形式 ，设 ， 是[a,b]上的凸函数，则对任意 有 ，

当且仅当 时等号成立。

若 是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生(Jensen)不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多不等式。

关于琴生不等式推论，Holder's等不等式的证明

琴生不等式

琴生不等式：（注意前提、等号成立条件）

设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：

f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2(x2)+……+anf(xn),其中

ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.

凸函数的概念：

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2=f((x1+x2+...+xn)/n)

对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2

>=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)

=f((x1+x2+...+xn)/n)

所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。

现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n

然后我们设

x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n

代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。

现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式

(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2

显然，我们可以查看函数f(x)=x^2

由于

(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2

所以f(x)=x^2是凹函数

所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn,

有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)

也就是n阶平方平均不等式。

从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。

不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)>=0,那么f(x)是凹函数

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)n

请大家证明不等式

琴生不等式

琴生不等式：（注意前提、等号成立条件）

设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：

f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2(x2)+……+anf(xn),其中

ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.

凸函数的概念：

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2=f((x1+x2+...+xn)/n)

对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2

>=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)

=f((x1+x2+...+xn)/n)

所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。

现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n

然后我们设

x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n

代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。

现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式

(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2

显然，我们可以查看函数f(x)=x^2

由于

(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2

所以f(x)=x^2是凹函数

所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn,

有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)

也就是n阶平方平均不等式。

从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。

不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)>=0,那么f(x)是凹函数

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)

什么是琴生不等式

琴生不等式

琴生不等式：（注意前提、等号成立条件）

设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：

f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2(x2)+……+anf(xn),其中

ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.

凸函数的概念：

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2=f((x1+x2+...+xn)/n)

对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2

>=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)

=f((x1+x2+...+xn)/n)

所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。

现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n

然后我们设

x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n

代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。

现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式

(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2

显然，我们可以查看函数f(x)=x^2

由于

(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2

所以f(x)=x^2是凹函数

所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn,

有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)

也就是n阶平方平均不等式。

从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。

不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)>=0,那么f(x)是凹函数

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)n

(√3+√7)^2

=3+7+2√21

=10+2√21

≤10+2(5)

=20

=>

(√3+√7)^2 ≤20

√3+√7 ≤√20

琴生在1905年给出了一个定义:

设函数 的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数 ，都有

(1)

则称 为[a,b]上的凸函数。

若把(1)式的不等号反向，则称这样的 为[a,b]上的凹函数。

凸函数的几何意义是:过 曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。

其推广形式是:若函数 的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数 ，都有

(2)

当且仅当 时等号成立。一般称(2)式为琴生不等式。

更为一般的情况是:设 是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点 ，有

其中 ，则称 是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有 则称 是[a,b]上的凹函数。

其推广形式 ，设 ， 是[a,b]上的凸函数，则对任意 有 ，

当且仅当 时等号成立。

若 是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生(Jensen)不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多不等式。

哇，是大学学得函数哇！

看到头就晕呢