抽象函数题型及解题方法 抽象函数题型及解题方法视频

我是高一的学生，现求数学解题方法（抽象函数）。

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点.因为抽象，学生难以理解，接受困难；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序.其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路，本文就上述问题作一些探讨.

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1. 正比例函数型的抽象函数

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；后脱去函数符号.

2. 幂函数型的抽象函数

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].

（1） 判断f（x）的奇偶性；

（2） 判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；

（3） 若a≥0且f（a＋1）≤ ，求a的取值范围.

分析：（1）令y＝－1；

（2）利用f（x1）＝f（ ·x2）＝f（ ）f（x2）；

（3）0≤a≤2.

3. 指数函数型的抽象函数

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：

（1） f（0）；

（2） 对任意值x，判断f（x）值的符号.

分析：（1）令y＝0；（2）令y＝x≠0.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明

4. 对数函数型的抽象函数

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：

（1） f（1）；

（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.

分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.

分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，

进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….

5. 三角函数型的抽象函数

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

① x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝ ；

② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0.

试问：

（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；

（2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.

分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；

（3） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.

对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.

例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），

（1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0；

（2） 求证：f（x）为偶函数；

（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－ ）≤0.

分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）

（1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；

（2） 令y＝ －1；

（3） 由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：

（1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1；

（2） f（x）在x∈R上是减函数.

分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；

（3） 受指数函数单调性的启发：

由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝ ，

进而由x1＜x2，有 ＝f（x1－x2）＞1.

总之，因为抽象函数与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，加上本身的抽象性、多变性，所以问题类型众多，解题方法复杂多变.尽管如此，以特殊模型代替抽象函数帮助解题或理解题意，是一种行之有效的教学方法，它能解决中学数学中大多数抽象函数问题.这样做符合学生的年龄特征和认知水平，学生不仅便于理解和接受，感到实在可靠，而且能使学生展开丰富的想象，以解决另外的抽象函数问题.

抽象函数单调性证明方法, 有例题与详细解答....谢谢!

例题：已知函数f(x)对任意x,y∈R均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x<0时，f(x)<0，

求：当-3≤x≤3时，求f(x)的值与小值。

解：在方程f(x+y)=f(x)+f(y)中取x=0,y=0，可得f(0)=0，

取y=-x，可得f(x)=-f(-x)，即函数f(x)是奇函数，

在f(x)的定义域R内任取x1，x2，使x1

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抽象函数常见题型及解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，函数性质则通过代数表述给出.抽象函数的相关题目往往是在相关知识点的交汇处设计的，高考对抽象函数这一考点主要考查的是函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能.为了扩大读者的视野，现就抽象函数常见题型归纳如下. 一、函数的基本概念

2.抽象函数的求值问题

3.抽象函数的值域问题

4.抽象函数的解析式问题

二、寻觅特殊函数的模型

1.指数函数模型

2.对数函数模型

3.幂函数模型

三、研究函数的性质

1.抽象函数的单调性问题

2.抽象函数的奇偶性问题

3.抽象函数的周期性问题

4.抽象函数的对称性问题

四、抽象函数的综合

（祥见《高中生》杂志05年10期上半月刊学习辅导版）

如何学好高中数学抽象函数有关的问题？

抽象函数，就是一类没有具体函数解析式的函数，一般只会给到函数的一些性质，而同学们要根据自己所学函数知识和函数性质角解决相应的问题。高中阶段抽象函数一般结合函数的单调性、奇偶性、对称性等性质考查下面我们举几个例子来说明如何解决这类函数题型：

此题没有具体的解析式，但有三条性质，这三条性质是解决下面两个问题的关键，同学们要充分使用，在解决过程中，一般要用到我们所学的基础知识，例如证明函数的单调性，没有具体解析式，只能根据定义法来证明了；再者就是赋值法，函数性质中的x、y是任意的，可以任意赋值，当然要根据题目的需要来赋值。请问题以下解答：

同学们要注意红色部分的步骤，这才是解题的关键，一定要思考哦！

这类题型一般结合导数的单调性一起考查，常见于选择填空；这类题型同学们要有一定的逆向思维，也就是要了解常见函数的求导方法及求导结果，根据题目已知条件还原相应的函数，请看以下具体题目：

解答时，同学们要必备的知识是还原未求导的函数，判断函数的奇偶性，根据函数的性质画出相应的草图，终解答题目。当然，这类题型的关键一步还在于还原函数。同学们要注意以下种类型的函数求导结果：

我是学霸数学，欢迎关注！

求关于抽象函数的解题方法

你的问题也很抽象。

这种函数主要利用各种函数函数的基本性质。和题目中给出的相关性质，特别是指数函数和对数函数。等等给你函数名称你要知道相关性质，给你一个性质，你要知道他是什么函数，并推出其他性质。对函数性质的熟练性，确定你的解题速度和准确性。

这类题的切入口往往与特殊值有关，然后再对所给的式子进行变形，一般都要进行换元。

买本《五年高考.三年模拟》自己从里面找题，多做几道就会了。

不要有心理障碍，抽象函数其实不难

你多做题目就会有思路了。

方法不多，我觉得可以在题干下面钩钩画画，抓住重点，比如解析式。然后试着画图看看。数形结合咯~

做过一道要总结一道。~

抽象函数怎么解

一．特殊值法:在处理选择题时有意想不到的效果。

例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，y∈R)，当x<0时，, f (x)>0，则函数f (x)在[a,b]上 ( )

A 有小值f (a) B有值f (b) C有小值f (b) D有值f ( )

分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数f (x)= kx(k≠0)， , , ，可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y)，与此类似的还有

特殊函数 抽象函数

f (x)= x f (xy) =f (x) f (y)

f (x)=

f (x+y)= f (x) f (y)

f (x)=

f (xy) = f (x)+f (y)

f (x)= tanx f(x+y)=

此题作为选择题可采用特殊值函数f (x)= kx(k≠0)

∵当x <0时f (x) > 0即kx > 0。.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上单调递减，从而在[a,b]上有小值f(b)。

二．赋值法．根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而来解决问题。

例2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法

解:令y = -x，则由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①,

再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。

得 f (x)是一个奇函数，再令 ，且 。

∵x <0，f (x) >0，而 ∴ ，则得 ，

即f (x)在R上是一个减函数，可得f (x)在[a,b]上有小值f(b)。

例3 已知函数y = f (x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数 ， ，恒有f( )=f( )+f( ),

试判断f(x)的奇偶性。

解：令 = -1， =x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值，令 =1， =-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令 = =-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得

f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。

三．利用函数的图象性质来解题：

抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的性质图象直接来解题。

抽象函数解题时常要用到以下结论：

定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x= 对称。

定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则函数y=f(x)是一个周期函数，周期为a-b。

例4 f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=f(2-x)，证明f(x)是周期函数。

分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的图象关于x=1对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称，根据上述条件，可先画出符合条件的一个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为具体。从图上直观地判断，然后再作证明。

由图可直观得T=2,要证其为周期函数，只需证f (x) = f (2 + x)。

证明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ T=2。

∴f (x)是一个周期函数。

例5 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)

分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。

解：∵f (x)是偶函数， f (1-m)