定义

√2是有理数还是无理数？√2是有理数还是无理数？


√2是有理数还是无理数？


在数论中，有理数可以用两个整数 a 和 b 的比值表示：a / b（其中 b 不能为 0）。无理数不能用有理数表示。

√2无理性的证明

设 √2 是有理数，即它可以表示为两个整数 a 和 b 的比值，且 a 和 b 互质（没有公因子）。

令 a/b = √2。则 a^2 / b^2 = 2。

两边同时乘以 b^2，得到 a^2 = 2b^2。

这表明 a^2 是偶数，因此 a 也是偶数。可以写成 a = 2k，其中 k 是整数。

将 a = 2k 代入 a^2 = 2b^2，得到 (2k)^2 = 2b^2。

化简后得到 2k^2 = b^2。

这表明 b^2 是偶数，因此 b 也是偶数。

因此，a 和 b 都偶，这与 a 和 b 互质的设相矛盾。

结论

由于我们设 √2 是有理数导致矛盾，因此 √2 不可能是有理数。因此，它是无理数。

证明的意义

√2 无理性的证明是数学史上的一个里程碑。它表明存在这样的数，它们无法用分数表示。这个证明有助于我们对数字的理解，展示了数字系统的复杂性。它还开启了对无理数更深入的研究。

应用