不同坐标系之间的转换（不同坐标系之间的转换计算例题）

本文目录一览：

• 1、坐标系换算
• 2、坐标系和坐标系是如何转换的 如苏坐标系中X（x,y,z）对应坐标系应该是什么？
• 3、坐标变换(2)—不同坐标系下的变换
• 4、坐标转换与坐标系转换
• 5、坐标转换
• 6、不同坐标系之间的坐标转换

坐标系换算

如果你指的是飞机坐标系的话，系x轴向前，y轴向上，z轴向右；系x向前，y向右，z向下；都是右手系

不同坐标系之间的转换（不同坐标系之间的转换计算例题）

不同坐标系之间的转换（不同坐标系之间的转换计算例题）

坐标转换是空间实体的位置描述，是从一种坐标系统变换到另一种坐标系统的过程。通过建立两个坐标系统之间一一对应关系来实现。是各种比例尺地图测量和编绘中建立地图数学基础必不可少的步骤。两个及以上的坐标转换时由极坐标相对参照确定维数空间。

在许多工程测量中，其测量结果往往需要提供地方坐标系的坐标，这时就需要我们把GPS测量的处理结果从WGS84坐标系转换到地方坐标系中。坐标转换从方法上讲有格网法、多参数法、多元回归法等。参数法转换模型一般有布尔莎模型、莫洛金斯基模型、维斯模型、范氏模型等，但常用的是布尔莎模型。从精度上讲，格网法精度，但这种方法受已知条件限制，它需要测区内有足够多的重合点并且分布均匀。在许多工程测量中，如道路、桥梁、建筑、大坝、隧道测量等，他们需要的是当地坐标系，一般没有足够的重复点，所以在工程测量的坐标转换中，一般很少采用格网法。采用比较多的还是参数法。

在许多GPS数据处理软件中，如LGO、TGO、Pinncle等后处理软件，都有坐标系转换功能，有些功能比较齐全，如在TGO软件中包含了七参数法、格网法、多元回归法；LGO软件中有格网法、七参数法、三参数法、格网与参法结合法，有三维转换也有二维转换。在实际应用中，可以结合测区内重合点的数量与分布情况决定采用哪一种方法。

坐标系和坐标系是如何转换的 如苏坐标系中X（x,y,z）对应坐标系应该是什么？

如果你指的是飞机坐标系的话，系x轴向前，y轴向上，z轴向右；系x向前，y向右，z向下；都是右手系

坐标变换(2)—不同坐标系下的变换

如果你指的是飞机坐标系的话，系x轴向前，y轴向上，z轴向右；系x向前，y向右，z向下；都是右手系

坐标转换是空间实体的位置描述，是从一种坐标系统变换到另一种坐标系统的过程。通过建立两个坐标系统之间一一对应关系来实现。是各种比例尺地图测量和编绘中建立地图数学基础必不可少的步骤。两个及以上的坐标转换时由极坐标相对参照确定维数空间。

在许多工程测量中，其测量结果往往需要提供地方坐标系的坐标，这时就需要我们把GPS测量的处理结果从WGS84坐标系转换到地方坐标系中。坐标转换从方法上讲有格网法、多参数法、多元回归法等。参数法转换模型一般有布尔莎模型、莫洛金斯基模型、维斯模型、范氏模型等，但常用的是布尔莎模型。从精度上讲，格网法精度，但这种方法受已知条件限制，它需要测区内有足够多的重合点并且分布均匀。在许多工程测量中，如道路、桥梁、建筑、大坝、隧道测量等，他们需要的是当地坐标系，一般没有足够的重复点，所以在工程测量的坐标转换中，一般很少采用格网法。采用比较多的还是参数法。

在许多GPS数据处理软件中，如LGO、TGO、Pinncle等后处理软件，都有坐标系转换功能，有些功能比较齐全，如在TGO软件中包含了七参数法、格网法、多元回归法；LGO软件中有格网法、七参数法、三参数法、格网与参法结合法，有三维转换也有二维转换。在实际应用中，可以结合测区内重合点的数量与分布情况决定采用哪一种方法。

如下图所示，在自动驾驶车辆上会存在大量冗余的传感器，例如轮速传感器、激光雷达，毫米波雷达，摄像头，雷达，GPS，IMU等。不同传感器对同一物体的测量原始结果都是在自身坐标下，所以首先我们需要对多传感器就行标定( 即获得不同坐标系之间的变换关系，多传感器的标定是个非常复杂且困难的问题，这里先不介绍 )，将所有传感器的输出统一到一个坐标系下。

本文主要介绍不同坐标系之间变换的原理，在这里我们采用一个体系，即存在一个 世界坐标系，我们定义的位置或者姿态都是参考世界坐标系或者世界坐标系定义的笛卡尔坐标系，且讨论的维度为3维。

一旦我们定义了一个坐标系，对于空间中某一点的位置我们就能用一个 的列向量来表示。如图1所示，我们在世界坐标系下还定义了很多坐标系，所以在定义位置向量时，必须附加一个条件，表明是哪个坐标系下的。

在本文中，我们用左上标来描述具体的坐标系，例如 表明列向量 在坐标系 下定义的。

为了描述物体的姿态，我们将在物体上固定一个坐标系，并且给出此坐标系相对于参考坐标系的表达。所以位置用列向量描述，姿态可以用固定在物体上的坐标系描述。

这里我们定义参考坐标系 ，用 表示坐标系 的三个主轴的单位向量，而 为坐标系 的三个主轴的单位向量(相对于参考坐标系 )，并利用 顺序排列，组成了一个 的矩阵，称为旋转矩阵，用符号 表示，

其中，标量 也可以利用坐标系 对应主轴在参考坐标系 中各主轴的投影来表示(利用 内积求每个坐标轴的投影值 )，

在上式右边矩阵中省略了上标，事实上只要点积的各对向量是在同一坐标系中描述的，那么坐标系的选择可以是任意的 。由于上式右边矩阵中的向量均为单位向量，所以通过内积计算的结果是两者之间夹角的余弦，所以上述矩阵也称为 方向余弦矩阵 。

由上式可以看出，矩阵的行是单位向量 在 中的描述( 即 )，即，

进而，可以得到，

而，

从而还得到旋转矩阵是一个 正交矩阵 。

在自动驾驶中，位置和姿态总是成对出现的，我们将此组合称为 坐标系 。一个坐标系可以等价的用一个位置向量和一个旋转矩阵来描述。

例如，我们用 和 来描述坐标系 ，而参考坐标系为 。其中 是坐标系 在参考坐标系 中的原点的位置向量，而 是坐标系 的姿态。

这里的坐标变换指的是 将一个坐标系中的向量在其他坐标系中进行变换(描述)，向量本身并没有变换，只不过对它的描述变换了 。

如下图3所示，

在坐标系 中，我们用向量 描述了其中一个位置，现在要将该向量变换到坐标系 中，也就是将该向量在 中进行描述，这里设 和 的姿态相同，易得，

如下图所示，

我们用 表示坐标系 在参考坐标系 中的描述，现在已知参考系 中的位置向量 ，求其在参考坐标系 中的描述？

我们知道，一个位置向量在其参考坐标系中的三个轴的分量都是该向量在对应三个轴上的投影，而投影的大小可以利用向量的点积进行计算。因此我们可以将 的分量计算如下，

上面式中，我们首先将坐标系 在坐标系 中去描述， 前面介绍过，只要点积的各对向量是在同一坐标系中描述的，那么坐标系的选择可以是任意的。这里 和 都是在坐标系 下描述，所以可以利用点积直接计算出 在 轴方向的投影。将上面三式写成矩阵形式，由前面可知， 的行就是 , , 。

有个便于记忆的小技巧，前面的矩阵的下标 消去了后面矩阵的上标 。

考虑下面的情况，既有平移，又有旋转，如何求 ？

首先，我们将 变换到一个中间的过渡坐标系，这个坐标系和 的姿态相同，原点和 重合。然后再利用简单的向量加法将向量进行平移，即

但是上述公式不是 线性 的，利用一点数学变换，可以得到一个更简单的公式，

所以可以变换成下式统一的格式，

其中，称 为 其次变换矩阵 。

坐标转换与坐标系转换

如果你指的是飞机坐标系的话，系x轴向前，y轴向上，z轴向右；系x向前，y向右，z向下；都是右手系

坐标转换是空间实体的位置描述，是从一种坐标系统变换到另一种坐标系统的过程。通过建立两个坐标系统之间一一对应关系来实现。是各种比例尺地图测量和编绘中建立地图数学基础必不可少的步骤。两个及以上的坐标转换时由极坐标相对参照确定维数空间。

在许多工程测量中，其测量结果往往需要提供地方坐标系的坐标，这时就需要我们把GPS测量的处理结果从WGS84坐标系转换到地方坐标系中。坐标转换从方法上讲有格网法、多参数法、多元回归法等。参数法转换模型一般有布尔莎模型、莫洛金斯基模型、维斯模型、范氏模型等，但常用的是布尔莎模型。从精度上讲，格网法精度，但这种方法受已知条件限制，它需要测区内有足够多的重合点并且分布均匀。在许多工程测量中，如道路、桥梁、建筑、大坝、隧道测量等，他们需要的是当地坐标系，一般没有足够的重复点，所以在工程测量的坐标转换中，一般很少采用格网法。采用比较多的还是参数法。

在许多GPS数据处理软件中，如LGO、TGO、Pinncle等后处理软件，都有坐标系转换功能，有些功能比较齐全，如在TGO软件中包含了七参数法、格网法、多元回归法；LGO软件中有格网法、七参数法、三参数法、格网与参法结合法，有三维转换也有二维转换。在实际应用中，可以结合测区内重合点的数量与分布情况决定采用哪一种方法。

如下图所示，在自动驾驶车辆上会存在大量冗余的传感器，例如轮速传感器、激光雷达，毫米波雷达，摄像头，雷达，GPS，IMU等。不同传感器对同一物体的测量原始结果都是在自身坐标下，所以首先我们需要对多传感器就行标定( 即获得不同坐标系之间的变换关系，多传感器的标定是个非常复杂且困难的问题，这里先不介绍 )，将所有传感器的输出统一到一个坐标系下。

本文主要介绍不同坐标系之间变换的原理，在这里我们采用一个体系，即存在一个 世界坐标系，我们定义的位置或者姿态都是参考世界坐标系或者世界坐标系定义的笛卡尔坐标系，且讨论的维度为3维。

一旦我们定义了一个坐标系，对于空间中某一点的位置我们就能用一个 的列向量来表示。如图1所示，我们在世界坐标系下还定义了很多坐标系，所以在定义位置向量时，必须附加一个条件，表明是哪个坐标系下的。

在本文中，我们用左上标来描述具体的坐标系，例如 表明列向量 在坐标系 下定义的。

为了描述物体的姿态，我们将在物体上固定一个坐标系，并且给出此坐标系相对于参考坐标系的表达。所以位置用列向量描述，姿态可以用固定在物体上的坐标系描述。

这里我们定义参考坐标系 ，用 表示坐标系 的三个主轴的单位向量，而 为坐标系 的三个主轴的单位向量(相对于参考坐标系 )，并利用 顺序排列，组成了一个 的矩阵，称为旋转矩阵，用符号 表示，

其中，标量 也可以利用坐标系 对应主轴在参考坐标系 中各主轴的投影来表示(利用 内积求每个坐标轴的投影值 )，

在上式右边矩阵中省略了上标，事实上只要点积的各对向量是在同一坐标系中描述的，那么坐标系的选择可以是任意的 。由于上式右边矩阵中的向量均为单位向量，所以通过内积计算的结果是两者之间夹角的余弦，所以上述矩阵也称为 方向余弦矩阵 。

由上式可以看出，矩阵的行是单位向量 在 中的描述( 即 )，即，

进而，可以得到，

而，

从而还得到旋转矩阵是一个 正交矩阵 。

在自动驾驶中，位置和姿态总是成对出现的，我们将此组合称为 坐标系 。一个坐标系可以等价的用一个位置向量和一个旋转矩阵来描述。

例如，我们用 和 来描述坐标系 ，而参考坐标系为 。其中 是坐标系 在参考坐标系 中的原点的位置向量，而 是坐标系 的姿态。

这里的坐标变换指的是 将一个坐标系中的向量在其他坐标系中进行变换(描述)，向量本身并没有变换，只不过对它的描述变换了 。

如下图3所示，

在坐标系 中，我们用向量 描述了其中一个位置，现在要将该向量变换到坐标系 中，也就是将该向量在 中进行描述，这里设 和 的姿态相同，易得，

如下图所示，

我们用 表示坐标系 在参考坐标系 中的描述，现在已知参考系 中的位置向量 ，求其在参考坐标系 中的描述？

我们知道，一个位置向量在其参考坐标系中的三个轴的分量都是该向量在对应三个轴上的投影，而投影的大小可以利用向量的点积进行计算。因此我们可以将 的分量计算如下，

上面式中，我们首先将坐标系 在坐标系 中去描述， 前面介绍过，只要点积的各对向量是在同一坐标系中描述的，那么坐标系的选择可以是任意的。这里 和 都是在坐标系 下描述，所以可以利用点积直接计算出 在 轴方向的投影。将上面三式写成矩阵形式，由前面可知， 的行就是 , , 。

有个便于记忆的小技巧，前面的矩阵的下标 消去了后面矩阵的上标 。

考虑下面的情况，既有平移，又有旋转，如何求 ？

首先，我们将 变换到一个中间的过渡坐标系，这个坐标系和 的姿态相同，原点和 重合。然后再利用简单的向量加法将向量进行平移，即

但是上述公式不是 线性 的，利用一点数学变换，可以得到一个更简单的公式，

所以可以变换成下式统一的格式，

其中，称 为 其次变换矩阵 。

一般而言坐标转换及坐标系的转换都是对应一个变换矩阵。以二维平面坐标为例，这里我们定义的坐标转换是指，在一个固定的坐标系，一个点 经由一个变换变到另一个点 ；坐标系转换是指，A坐标系通过一个旋转平移变换变成B坐标系后，对于一个在A坐标系的点 ，其在B坐标将变成 。设我们知道这个变换对应的旋转为逆时针 角旋转外加平移向量 ，以下讨论上述两种情形下对于坐标点对应的转换矩阵的形式。

对于坐标转换，使用齐次坐标，变换矩阵的形式可以很容易给出

对于坐标系转换情形，我们分两步来说明。

设A坐标系 到B坐标系 只有逆时针 角度的旋转，如图所示，那么我们有

即

变换一下得到，

设B坐标系 到C坐标系 只有一个平移 ，那么

综合在一起，我们可以得到

坐标转换

如果你指的是飞机坐标系的话，系x轴向前，y轴向上，z轴向右；系x向前，y向右，z向下；都是右手系

坐标转换是空间实体的位置描述，是从一种坐标系统变换到另一种坐标系统的过程。通过建立两个坐标系统之间一一对应关系来实现。是各种比例尺地图测量和编绘中建立地图数学基础必不可少的步骤。两个及以上的坐标转换时由极坐标相对参照确定维数空间。

在许多工程测量中，其测量结果往往需要提供地方坐标系的坐标，这时就需要我们把GPS测量的处理结果从WGS84坐标系转换到地方坐标系中。坐标转换从方法上讲有格网法、多参数法、多元回归法等。参数法转换模型一般有布尔莎模型、莫洛金斯基模型、维斯模型、范氏模型等，但常用的是布尔莎模型。从精度上讲，格网法精度，但这种方法受已知条件限制，它需要测区内有足够多的重合点并且分布均匀。在许多工程测量中，如道路、桥梁、建筑、大坝、隧道测量等，他们需要的是当地坐标系，一般没有足够的重复点，所以在工程测量的坐标转换中，一般很少采用格网法。采用比较多的还是参数法。

在许多GPS数据处理软件中，如LGO、TGO、Pinncle等后处理软件，都有坐标系转换功能，有些功能比较齐全，如在TGO软件中包含了七参数法、格网法、多元回归法；LGO软件中有格网法、七参数法、三参数法、格网与参法结合法，有三维转换也有二维转换。在实际应用中，可以结合测区内重合点的数量与分布情况决定采用哪一种方法。

如下图所示，在自动驾驶车辆上会存在大量冗余的传感器，例如轮速传感器、激光雷达，毫米波雷达，摄像头，雷达，GPS，IMU等。不同传感器对同一物体的测量原始结果都是在自身坐标下，所以首先我们需要对多传感器就行标定( 即获得不同坐标系之间的变换关系，多传感器的标定是个非常复杂且困难的问题，这里先不介绍 )，将所有传感器的输出统一到一个坐标系下。

本文主要介绍不同坐标系之间变换的原理，在这里我们采用一个体系，即存在一个 世界坐标系，我们定义的位置或者姿态都是参考世界坐标系或者世界坐标系定义的笛卡尔坐标系，且讨论的维度为3维。

一旦我们定义了一个坐标系，对于空间中某一点的位置我们就能用一个 的列向量来表示。如图1所示，我们在世界坐标系下还定义了很多坐标系，所以在定义位置向量时，必须附加一个条件，表明是哪个坐标系下的。

在本文中，我们用左上标来描述具体的坐标系，例如 表明列向量 在坐标系 下定义的。

为了描述物体的姿态，我们将在物体上固定一个坐标系，并且给出此坐标系相对于参考坐标系的表达。所以位置用列向量描述，姿态可以用固定在物体上的坐标系描述。

这里我们定义参考坐标系 ，用 表示坐标系 的三个主轴的单位向量，而 为坐标系 的三个主轴的单位向量(相对于参考坐标系 )，并利用 顺序排列，组成了一个 的矩阵，称为旋转矩阵，用符号 表示，

其中，标量 也可以利用坐标系 对应主轴在参考坐标系 中各主轴的投影来表示(利用 内积求每个坐标轴的投影值 )，

在上式右边矩阵中省略了上标，事实上只要点积的各对向量是在同一坐标系中描述的，那么坐标系的选择可以是任意的 。由于上式右边矩阵中的向量均为单位向量，所以通过内积计算的结果是两者之间夹角的余弦，所以上述矩阵也称为 方向余弦矩阵 。

由上式可以看出，矩阵的行是单位向量 在 中的描述( 即 )，即，

进而，可以得到，

而，

从而还得到旋转矩阵是一个 正交矩阵 。

在自动驾驶中，位置和姿态总是成对出现的，我们将此组合称为 坐标系 。一个坐标系可以等价的用一个位置向量和一个旋转矩阵来描述。

例如，我们用 和 来描述坐标系 ，而参考坐标系为 。其中 是坐标系 在参考坐标系 中的原点的位置向量，而 是坐标系 的姿态。

这里的坐标变换指的是 将一个坐标系中的向量在其他坐标系中进行变换(描述)，向量本身并没有变换，只不过对它的描述变换了 。

如下图3所示，

在坐标系 中，我们用向量 描述了其中一个位置，现在要将该向量变换到坐标系 中，也就是将该向量在 中进行描述，这里设 和 的姿态相同，易得，

如下图所示，

我们用 表示坐标系 在参考坐标系 中的描述，现在已知参考系 中的位置向量 ，求其在参考坐标系 中的描述？

我们知道，一个位置向量在其参考坐标系中的三个轴的分量都是该向量在对应三个轴上的投影，而投影的大小可以利用向量的点积进行计算。因此我们可以将 的分量计算如下，

上面式中，我们首先将坐标系 在坐标系 中去描述， 前面介绍过，只要点积的各对向量是在同一坐标系中描述的，那么坐标系的选择可以是任意的。这里 和 都是在坐标系 下描述，所以可以利用点积直接计算出 在 轴方向的投影。将上面三式写成矩阵形式，由前面可知， 的行就是 , , 。

有个便于记忆的小技巧，前面的矩阵的下标 消去了后面矩阵的上标 。

考虑下面的情况，既有平移，又有旋转，如何求 ？

首先，我们将 变换到一个中间的过渡坐标系，这个坐标系和 的姿态相同，原点和 重合。然后再利用简单的向量加法将向量进行平移，即

但是上述公式不是 线性 的，利用一点数学变换，可以得到一个更简单的公式，

所以可以变换成下式统一的格式，

其中，称 为 其次变换矩阵 。

一般而言坐标转换及坐标系的转换都是对应一个变换矩阵。以二维平面坐标为例，这里我们定义的坐标转换是指，在一个固定的坐标系，一个点 经由一个变换变到另一个点 ；坐标系转换是指，A坐标系通过一个旋转平移变换变成B坐标系后，对于一个在A坐标系的点 ，其在B坐标将变成 。设我们知道这个变换对应的旋转为逆时针 角旋转外加平移向量 ，以下讨论上述两种情形下对于坐标点对应的转换矩阵的形式。

对于坐标转换，使用齐次坐标，变换矩阵的形式可以很容易给出

对于坐标系转换情形，我们分两步来说明。

设A坐标系 到B坐标系 只有逆时针 角度的旋转，如图所示，那么我们有

即

变换一下得到，

设B坐标系 到C坐标系 只有一个平移 ，那么

综合在一起，我们可以得到

首先从你给出的坐标上看，两个图的坐标系应该是直角坐标系，直角坐标系的转换至少需要两个公共点才能进行，一般需要3个公共点效果要比两个好的多，这时可以用仿射变换进行坐标转换参数的求取，即平移，缩放，旋转等参数。

坐标变换就是两种坐标类型、不同参照体系之间的变换

坐标变换因不同的坐标类型、体系变换方法不一样，没有固定的公式

比方说测量地球，就有多种坐标体系：

1。以地心为原点的空间直角坐标

2。经纬度坐标

3。把地球表面分成很多格子，对于一个小格子区，球面接近平面，在这个平面上设一个平面直角坐标系，就是54坐标等坐标形式

这些坐标来回转换，比较复杂，甚至是学术性的问题，一般根据不同的观点和精度，有一些小程序，做转换工作

不同坐标系之间的坐标转换

如果你指的是飞机坐标系的话，系x轴向前，y轴向上，z轴向右；系x向前，y向右，z向下；都是右手系

坐标转换是空间实体的位置描述，是从一种坐标系统变换到另一种坐标系统的过程。通过建立两个坐标系统之间一一对应关系来实现。是各种比例尺地图测量和编绘中建立地图数学基础必不可少的步骤。两个及以上的坐标转换时由极坐标相对参照确定维数空间。

在许多工程测量中，其测量结果往往需要提供地方坐标系的坐标，这时就需要我们把GPS测量的处理结果从WGS84坐标系转换到地方坐标系中。坐标转换从方法上讲有格网法、多参数法、多元回归法等。参数法转换模型一般有布尔莎模型、莫洛金斯基模型、维斯模型、范氏模型等，但常用的是布尔莎模型。从精度上讲，格网法精度，但这种方法受已知条件限制，它需要测区内有足够多的重合点并且分布均匀。在许多工程测量中，如道路、桥梁、建筑、大坝、隧道测量等，他们需要的是当地坐标系，一般没有足够的重复点，所以在工程测量的坐标转换中，一般很少采用格网法。采用比较多的还是参数法。

在许多GPS数据处理软件中，如LGO、TGO、Pinncle等后处理软件，都有坐标系转换功能，有些功能比较齐全，如在TGO软件中包含了七参数法、格网法、多元回归法；LGO软件中有格网法、七参数法、三参数法、格网与参法结合法，有三维转换也有二维转换。在实际应用中，可以结合测区内重合点的数量与分布情况决定采用哪一种方法。

如下图所示，在自动驾驶车辆上会存在大量冗余的传感器，例如轮速传感器、激光雷达，毫米波雷达，摄像头，雷达，GPS，IMU等。不同传感器对同一物体的测量原始结果都是在自身坐标下，所以首先我们需要对多传感器就行标定( 即获得不同坐标系之间的变换关系，多传感器的标定是个非常复杂且困难的问题，这里先不介绍 )，将所有传感器的输出统一到一个坐标系下。

本文主要介绍不同坐标系之间变换的原理，在这里我们采用一个体系，即存在一个 世界坐标系，我们定义的位置或者姿态都是参考世界坐标系或者世界坐标系定义的笛卡尔坐标系，且讨论的维度为3维。

一旦我们定义了一个坐标系，对于空间中某一点的位置我们就能用一个 的列向量来表示。如图1所示，我们在世界坐标系下还定义了很多坐标系，所以在定义位置向量时，必须附加一个条件，表明是哪个坐标系下的。

在本文中，我们用左上标来描述具体的坐标系，例如 表明列向量 在坐标系 下定义的。

为了描述物体的姿态，我们将在物体上固定一个坐标系，并且给出此坐标系相对于参考坐标系的表达。所以位置用列向量描述，姿态可以用固定在物体上的坐标系描述。

这里我们定义参考坐标系 ，用 表示坐标系 的三个主轴的单位向量，而 为坐标系 的三个主轴的单位向量(相对于参考坐标系 )，并利用 顺序排列，组成了一个 的矩阵，称为旋转矩阵，用符号 表示，

其中，标量 也可以利用坐标系 对应主轴在参考坐标系 中各主轴的投影来表示(利用 内积求每个坐标轴的投影值 )，

在上式右边矩阵中省略了上标，事实上只要点积的各对向量是在同一坐标系中描述的，那么坐标系的选择可以是任意的 。由于上式右边矩阵中的向量均为单位向量，所以通过内积计算的结果是两者之间夹角的余弦，所以上述矩阵也称为 方向余弦矩阵 。

由上式可以看出，矩阵的行是单位向量 在 中的描述( 即 )，即，

进而，可以得到，

而，

从而还得到旋转矩阵是一个 正交矩阵 。

在自动驾驶中，位置和姿态总是成对出现的，我们将此组合称为 坐标系 。一个坐标系可以等价的用一个位置向量和一个旋转矩阵来描述。

例如，我们用 和 来描述坐标系 ，而参考坐标系为 。其中 是坐标系 在参考坐标系 中的原点的位置向量，而 是坐标系 的姿态。

这里的坐标变换指的是 将一个坐标系中的向量在其他坐标系中进行变换(描述)，向量本身并没有变换，只不过对它的描述变换了 。

如下图3所示，

在坐标系 中，我们用向量 描述了其中一个位置，现在要将该向量变换到坐标系 中，也就是将该向量在 中进行描述，这里设 和 的姿态相同，易得，

如下图所示，

我们用 表示坐标系 在参考坐标系 中的描述，现在已知参考系 中的位置向量 ，求其在参考坐标系 中的描述？

我们知道，一个位置向量在其参考坐标系中的三个轴的分量都是该向量在对应三个轴上的投影，而投影的大小可以利用向量的点积进行计算。因此我们可以将 的分量计算如下，

上面式中，我们首先将坐标系 在坐标系 中去描述， 前面介绍过，只要点积的各对向量是在同一坐标系中描述的，那么坐标系的选择可以是任意的。这里 和 都是在坐标系 下描述，所以可以利用点积直接计算出 在 轴方向的投影。将上面三式写成矩阵形式，由前面可知， 的行就是 , , 。

有个便于记忆的小技巧，前面的矩阵的下标 消去了后面矩阵的上标 。

考虑下面的情况，既有平移，又有旋转，如何求 ？

首先，我们将 变换到一个中间的过渡坐标系，这个坐标系和 的姿态相同，原点和 重合。然后再利用简单的向量加法将向量进行平移，即

但是上述公式不是 线性 的，利用一点数学变换，可以得到一个更简单的公式，

所以可以变换成下式统一的格式，

其中，称 为 其次变换矩阵 。

一般而言坐标转换及坐标系的转换都是对应一个变换矩阵。以二维平面坐标为例，这里我们定义的坐标转换是指，在一个固定的坐标系，一个点 经由一个变换变到另一个点 ；坐标系转换是指，A坐标系通过一个旋转平移变换变成B坐标系后，对于一个在A坐标系的点 ，其在B坐标将变成 。设我们知道这个变换对应的旋转为逆时针 角旋转外加平移向量 ，以下讨论上述两种情形下对于坐标点对应的转换矩阵的形式。

对于坐标转换，使用齐次坐标，变换矩阵的形式可以很容易给出

对于坐标系转换情形，我们分两步来说明。

设A坐标系 到B坐标系 只有逆时针 角度的旋转，如图所示，那么我们有

即

变换一下得到，

设B坐标系 到C坐标系 只有一个平移 ，那么

综合在一起，我们可以得到

首先从你给出的坐标上看，两个图的坐标系应该是直角坐标系，直角坐标系的转换至少需要两个公共点才能进行，一般需要3个公共点效果要比两个好的多，这时可以用仿射变换进行坐标转换参数的求取，即平移，缩放，旋转等参数。