仿射变换公式 仿射变换公式必须已知三个点吗

《计算机图形学基础》之变换矩阵

其中 是 的垂直堆叠，并约束 ， 。

缩放变换 是基本的变换，可以改变向量的长度和方向。

仿射变换公式 仿射变换公式必须已知三个点吗

仿射变换公式 仿射变换公式必须已知三个点吗

错切 变换，在一个轴向上根据另一个轴上的值以一定比例移动，看图很容易明白。沿 轴和沿 轴上的错切矩阵分别如下：

沿 轴的错切也可以理解是沿 轴顺时针旋转 （与 轴的夹角）：

可以看到旋转矩阵是 正交矩阵 ，并且有两对正交向量，一对是行和第二行向量；一对是列和第二列向量。每一行会被带给标准基向量（ ），标准基向量会被带给每一列。简单来说就是，对标准基向量进行一个 旋转变换，就会变成 的列向量，看下图的 点，变换后为 ，就是 的第二列（因为 相当于是 ，所以是第二列）；对 的每一行做 的旋转变换，结果就是标准基向量，看下面的 ，变换后为 。

反射变换 是一种使用负数的缩放变换，下面分别是关于 轴的反射变换矩阵，和关于 轴的反射变换矩阵：

有人会认为矩阵的左上角和右下角都为 时，也是一种反射变换（关于原点的反射），但实际上那只是 的旋转变换而已。

我们经常需要对一个图案进行多种变换，这些变换可以通过将他们的变换矩阵连乘进行 合并 ，比如需要先对 进行 变换得到 ，然后再对 进行 变换得到 ，那么有以下转换：

有时候我们也需要将一个组合的变换进行 分解 ，所有的 2D 矩阵都可以通过 奇异值分解（SVD） 成为旋转、缩放、旋转的形式。下图是把一个错切变换进行 SVD 的过程：

我们可以把 当做是一次旋转，把 当成是一次缩放，那么其实就是一个组合变换，请结合下面的文字看图：

我们可以发现对于 对称矩阵 来说，变换的表现就是沿着一对基向量进行非均匀缩放，这一对基向量依然是正交的，跟标准基向量没什么不同，只是整体方向不一样。而这一对基向量正是 对称矩阵 的特征向量。

看一个例子：

对于非对称矩阵，我们可以使用 奇异值分解（SVD） ，对此有疑问的可以看 这里 。他与特征值分解基本一样，不同的是左右旋转矩阵不再是同一个，而是分为两个，特征值分解的结果是 ，而奇异值分解 写成 ，这里的 依然是一个正交矩阵，列是 左奇异向量 ， 也是一个正交向量，列是 右奇异向量 ， S 依然是对角矩阵，对角线上是奇异值。

还有一种旋转的分解叫做 Pa 分解 ，这是将旋转分解成 错切 的方式，的好处就是不会在图像中出现间隙，下面是分解公式：

顺着笛卡尔坐标可将“工字梁”分成三部分系的 缩放 矩阵为：

如何将一个点绕着 3D 中任意轴进行旋转呢？设该点为 ，旋转轴为 （这里的 是起点为原点的向量，所以不涉及平移），那么如果能构建一组以 为 轴的基向量，并把 转换到该空间，进行旋转，再转回来就可以了。

步 ：构建以 为 的一组正交基

首先我们将 进行归一化得到 ：

第二步 ：构建空间转换矩阵

设我们有一组基向量， ，还有一个点 ，将 按行来摆好，写成 我们可以提前知道 在上述基向量中的坐标应该为 ，正是 的结果。下面是书上的证明过程，有兴趣的可以看一下，没兴趣就记着我们可以用任意的一组正交基，把 三个分量摆行，把 三个分量摆第二行，把 三个分量摆第三行，总而构建出转换到该空间下的转换矩阵。并且再次乘其转置，就可以再次变回来。

上面所说的变换都是方向或者点，还有一种特殊的向量叫做 法线 ，如果图形应用的变换矩阵我们称为 ，那么 经过 变换之后不再垂于表面，但切线 依然与表面相切。期望求出一个矩阵 ，使得 ，其中 。

以上所有的变换都是 线性变换 （原点不变，且直线变换后依然是直线）,而 平移 变换并不满足。我们把一个线性变换 + 一次平移的作叫做 仿射变换 ，通过增加一个维度的方式来实现，叫做 齐次坐标 。

我们把一平行四边形具有2阶（至180°）的旋转对称性（如果是正方形则为4阶）。如果它也具有两行反射对称性，那么它必须是菱形或长方形（非矩形矩形）。如果它有四行反射对称，它是一个正方形。个 2D 中的点 写成 ，把 的矩阵写成：

变换中一个比较重要的类叫做 刚体 ，他们只有旋转和平移组成，没有拉伸或者缩放。

我们知道了矩阵的几何意义之后，可以通过几何意义来进行逆作，比如 的逆就是 ；比如旋转矩阵的逆就是角度变成相反的符号；平移矩阵的逆就是相反的方向。如果我们有一系列的变换 ，那么逆作就是 。

不过，有些矩阵在代数上也是很好求的，比如说对于缩放矩阵，他是对角矩阵；第二重要的是旋转矩阵，他是正交矩阵，逆就是它的转置。所以使得求旋转和缸体的逆作都变得简单。当然我们也需要知道，求完逆之后，原矩阵下面一行不要动，比如是 的话，那逆的下面一行也是 。

有趣的是，我们也可以使用奇异值分解来求逆，我们知道可以将一个矩阵分解成旋转——缩放——旋转的方式：

通常我们会在场景中有一个全局坐标系（世界坐标系），图中的 ，图中有另外一个坐标系 ，还有一个点 。

z+z是什么快

平行四边形的周长为2（a + b），其中a和b为相邻边的长度。

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向量题型全归纳（3）极化恒等式以圆为背景【视频讲解】

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⑶《初中数学单元复习教学设计》，2005年山东教育出版社出版

⑷《超级画板自由行》，2006年11月科学出版社出版

这是张景中为使用超级画板免费版本的爱好者而贡献的一本力作。

是一个数学的教育平台好像,记的初中数学书里经常出现这个Z+Z

2Z

2z

求平面bcx+acy+abz=abc被三坐标面所割下的有限部分的面积。

这……对于多重积神奇的奇函数+C模型【视频讲解】分，不得不多考虑一下几何图形啊！要么是自找麻烦的。

先给平面在平行四边形的内侧或外部构造的四个正方形的中心是正方形的顶点。方程变一下形：

x/a + y/b + z/c = 1.

这里应该a,b,c就是平面在三条坐标轴的截距，可以看出来这个“有限部分”就是这三个点为顶点构成的三角形。不失一般性设它们大于0（否则取一个，三角形的面积还是一样的）

（这一步三角形的三条边用勾股定理都可以算得出来，面积也是唾手可得了，或者用一下平行投影诱导的仿射变换，再或者把这个三棱锥的体积求出来再除以原点到平面的距离。不过要用积分嘛……）

考虑在XoY平面上的积分，积分区域D为0 <= x/a + y/b <= 1，z = c-cx/a-cy/b

由曲面积分公式：

被积函数为[1 + (dz/dx)^2 + (dz/dy)^2]^(1/2) = [1 + (c/a)^2 + (c/b)^2| ^ (1/2)

（这里偏导符号就用微分符号代替吧）

这个被积函数恰好是个常数（因为这个曲面就是平面嘛，所以这个常数其实是这个平面和Xoy平面夹角余弦的倒数），那么积分值就是这个常数乘上积分区域的面积，注意到XoY平面上的积分区域是个三角形，面积就是ab/2!

所以必须有救，先送你一些速解技巧拿走不谢，的结果就是二者相乘：[(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2]^(1/2)/2

检查一下：首先关于a,b,c是对称的（因为选哪个坐标平面都是可以的），其次与a,b,c的符号没关系（这是一开始设它们都是正的时候已经说了），所以这个应该没问题了。

到，还是觉得关键的步骤是看出这个“有限部分”是一个三角形啊！切不可追求数学的形式化而放弃了数学的直观！（这是我读完你题目后的一点忧虑，希望是我理解错了）

数学 斜二侧画法

平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。

《普通高中课程标准实验教科书(数学)》必修2中，对水平放置的平面多边形的直观图的画法，采用了斜二测画法.在画图规则中，规定了平行于轴的线段的平行性不变；平行于x轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度缩为原来的一半.

平行四边形的面积是由其对角线之一创建的三角形的面积的两倍。

都是规定

也就是定理计算图形中所截图形的面积大概是3.5平方

不需要证明的呵呵

2.分别过新的顶点向x轴作垂线，得到相应的垂足和垂线段；

3.将垂线段以垂足为轴顺时针旋转45度，得到终的顶点位置。

4.顺次连接各顶点即可。

口诀是

横变竖不变

竖减半

角度会变

线段看横竖

APAP：使用移动直接线性变换尽可能投影图像拼接

这本书汇集了Z+Z济南实验基地在2004-2005年之间的实验成果，教师们将难以处理的单元复习利用Z+Z进行设计，完成了课堂教学的重要提升。

作者研究了模型不足下的投影估计，即当数据不完全满足投影模型的基础设时，我们专注于图像拼接的任务，该任务通常通过估计投影扭曲来解决 。 当场景是平面或视图完全因旋转而不同时，这种模型是合理的。在实践中很容易违反这些条件，这会产生带有重影伪影的拼接结果，因此需要使用去重影算法。为此，我们提出尽可能投影的扭曲，即旨在全局投影的扭曲，但允许局部非投影偏解释对设成像条件的违反。基于一种称为移动直接线性变换 (Moving DLT) 的新型估计技术，我们的方法无缝地桥接了与投影模型不一致的图像区域。结果是高度准确的图像拼接，显着减少了重影效果，从而降低了对事后反重影的依赖。

宋超：高考立体几何法向量只要5秒求【视频讲解】

在图像拼接任务中，通常采用估计2D投影扭曲使图像对齐，即估计一个 的单应矩阵。但当场景并非平面，或者视图完全不同时，投影模型无法充分表征所需扭曲，导致错位或者重影。

商业软件，如AutoStitch、Photosynth等，使用投影扭曲使图像对齐，当条件不满足时，依赖去重算法实现终效果。

作者将二维的图像对应关系投影到一维，发现两个视图对应关系并不是完全线性的，且并不是由于噪声带来的误。尽可能仿射的方法拟合的模型只能调整局部偏尽量拟合模型，而不能强加全局投影。但在尽可能投影的方法中却能更好地拟合模型。

投影扭曲

令具有重叠部分的图像 和 间的匹配点对为 和 ，则投影变换或单应矩阵为

其中 表示 的第 行的元素。 （分母部分的上标似乎是转置符号）

令 为上式矩阵的前两行，与第 对数据 有关，DLT估计 的值为

移动DLT

为了避免产生伪影，作者的想法是根据每一个 使用位置依赖单应变换：

其中 需要添加一个权重。

约束 并且权重计算公式为：

因此局部扭曲变换估计可以由下式表示：

其中权重矩阵 ，即

移动DLT可以看作是MLS的投影版本，MLS利用矩阵 估计每一个令 ，除了第 个对角线元素 ， 的分解可以变为单秩更新。 的仿射变换。

作者采用RANSAC算法作为全局单应性求解。

划分单元格

对图像中所有的 都估计局部单应显然是浪费时间的，作者将图像划分为 的网格，只对网格中心的坐标估计局部单应变换，可以有效将WSVD（带权重的SVD）的数量减少到 个。

更新加权SVD

当设置 时，由上图直方图统计可以看出，在实际拼接场景中大部分网格拥有少于20个权重。作者利用这一观察结果，可以从以前的方案中更新WSVD，而不是从头计算。

令 ，令 ，则

其中 ， 表示 的第 行，且 ，单秩更新的算法复杂度为 .

我们已经提出了一种用于 2D 变形函数的尽可能投影的估计方法。图像拼接的结果显示出令人鼓舞的结果，我们的方法能够准确地对齐异超过纯旋转的图像。实验还表明，当相机平移趋于零时，所提出的扭曲可以优雅地减少为全局单应性，但随着平移的增加，可以灵活地适应模型的不足。这产生了高度准确的图像拼接技术。

什么是平行四边形？

圆锥曲线中神奇的化椭为圆仿射变换【视频讲解】讲

在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单（非自相交）四边形。 平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的。

作者提出的As-projective-as-sible方法通过全局投影，但允许局部偏来解释因为模型的不足。作者提到，投影扭曲模型不能完全解释实际中的相机移动情况下的图像拼接并不是因为图像中有噪声存在，而是实际的模型本身并不是完全线性的。如下图所示。

相比之下，只有一对平行边的四边形是梯形。平行四边形的三维对应是平行六面体。

平行四边形

外文名

Parallelogram

特点

对边平行且相等、容易变形

类别

平面图形

性质1

两组对边分别相等

定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

1、平行四边形属于平面图形。

2、平行四边形属于四边形。

3、平行四边形属于中心对称图形。

性质

矩形

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）

（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。

（简述为“平行四边形的邻角互补”）

（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）

（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）

（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论）

（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。）

（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.

（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形一、连接对角线或平移对角线。，三者具有平行四边形的性质。

（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。

（12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。

（14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。

（15）平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积

其他性质

平行四边形的对边是平行的（根据定义），因此永远不会相交。

平行四边形的面积也等于两个相邻边的矢量交叉乘积的大小。

任何非简并仿射变换都采用平行四边形的平行四边形。

与任何其他凸多边形不同，平行四边形不能刻在任何小于其面积的两倍的三角形。

如果与平行四边形平行的两条线与对角线并行构成，则在该对角线的相对侧上形成的平行四边形面积相等

平行四边形的对角线将其分成四个相等面积的三角形。

判定

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；

5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。

辅助线

三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

相关计算

1、（1）平行四边形的面积公式：底×高（可运用割补法，推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边形=ah。

（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=absinα。

平行四边形

2、平行四边形周长：四边之和。可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)。

矩形

定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

判定：

1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2、对角线相等的平行四边形是矩形；

3、有三个角是直角的四边形是矩形；

4、对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

性质：

1、矩形具有平行四边形的一切性质；

2、矩形的对角线相等；

3、矩形的四个角都是90度；

4、矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点。

菱形

定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

判定：

1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

3、四边相等的四边形是菱形。

性质：

1、菱形具有平行四边形的一切性质；

2、菱形四边相等；

3、菱形每条对角线平分一组对角；

4、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形。

正方形

定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

判定：

1、一组邻边相等的矩形是正方形；

2、有一个角是直角的菱形是正方形；

3、对角线互相垂直的矩形是正方形；

4、对角线相等的菱形是正方形。

性质：

正方形具有矩形和菱形的一切性质。

高三数学不及格还有救吗

⑸几何变换丰富多样：指定要进行的变换后，选择被变换的对象执行变换命令，即可得到变换后的图形。变换的方式包括轴对称、中心对称、放缩、平移、旋转和仿射变换，变换的对象可以是点、线、圆、曲线、轨迹和文本等等。

1、函数篇

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计算图示截面形心位置

（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”[1]）

形心计算公式可以参考上图中给出的计算方法，

1、这是左右对称的工字形截面，截面形心在Y轴上，所以不用求Xc；

在本题中：

由于图形关于y轴对称，所以不需要考虑形心在x轴上的位置

上部矩形区域（长150，宽20），形心坐标（y=190）

中部矩形区域（长20，宽160），形心坐标（y=100）

下部矩形区域（长200，宽20），形心坐标（y=10） 可以计算总图形的形心坐标90

y=（S1y1+S2y2+S3y3）/(S1+S2+S3)=(15020190+20160100+2002010)/(15020+20160+20020)

于是就可以求出结果，这里我不再计算，希望你能自己算一遍。

我只能告诉你方法，不可以越俎代庖，代替你完成！

2、此截面可分为上、下翼缘及腹板共三部分，欲求此组合截面的形心，可先分别计算出此三部分的截面积及组合截面的截面积，设为A1、A2、A3及A总；

3、然后分别计算出此三部分截面形心到某水平轴的距离（例如工字型底边），设为Y1、Y2、Y3；

4、得到组合截面的形心到工字型底边的距离， 式子 Yc·A总=Y1·A1+⑴《超级画板范例教程》，2004年11月科学出版社出版Y2·A2+Y3·A3。

所以Yc=（Y1·A1+Y2·A2+Y3·A3）/A总。Yc就是X轴到底边的距离。

解答完毕。请楼主亲自演算三遍，则会记住一生不忘，若遇各种复杂截面，如法炮制就是。

图示的洁面行的新的位置，你应该按照数学的方法，只能在按照数学的公式把这个新的新的位置总用手慢慢的去计算，一步一步来就可以了。

其实可以下个。是可以下个学习通老师一对一辅导。

平行四边形的面积公式是什么？

其中 是尺度因子，其中距离 越远的中文名 产生的权重越小。

平行四边形的面积公式：S=a×h

旋转变换 ，证明过程 略 ，逆时针旋转 的矩阵为：

公式说明：a为底边，h为高

应用实例：设平行四边形的底边和腰分别为6、5，由勾股定理求得高为4，平行四边形面积S=底边x高=6x4=24

扩展资料：

平行四边形的面积也等于两个相邻边的矢量交叉乘积的大小。

任何非简并仿射变换都采用平行四边形的平行四边形。

平行四边形具有2阶（至180°）的旋转对称性（如果是正方形则为4阶）。

四边形对角线面积公式

1.把所有顶点纵坐标乘以0.5，横坐标不变，这样得到新的顶点；

四边形对角线面积公式：对角线相互垂直的四边形的面积=对角线乘积的一半。

扩展资料：

平行四边形的性质：

2、平行四边形的面积是由其对角线之一创建的三角形的面积的两倍。

3、平行四边形的面积也等于两个相邻边的矢量交叉乘积的大小。

6、平行四边形具有2阶（至180°）的旋转对称性（如果是正方形则为4阶）。如果它也具有两行反射对称性，那么它必须是菱形或长方形（非矩形矩形）。

如果它有四行反射对称，它是一个正方形。

7、平行四边形的周长为2（a+b），其中a和b为相邻边的长度。

8、特殊的平行四边形与任何其他凸多边形不同，平行四边形不能刻在任何小于其面积的两倍的三角形。

9、在平行四边形的内侧或外部构造的四个正方形的中心是正方形的顶点。

10、如果与平行四边形平行的两条线与对角线并行构成，则在该对角线的相对侧上形成的平行四边形面积相等宋超数学超人宋超数学超人宋超数学超人。

11、平行四边形的对角线将其分成四个相等面积的三角形。