lnx的泰勒展开式_lnx的泰勒展开式推导

求函数f(x)=lnx按（x-2)的幂展开带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

可以考虑泰勒公式，如图所示

lnx的泰勒展开式_lnx的泰勒展开式推导

lnx的泰勒展开式_lnx的泰勒展开式推导

f(x)=f(2)+f'(2)(x-2)+f''(2)(x-2)^2/2!+......+fn阶倒数(2)(x-2)^n/n!+o(x^n)=ln2+1/a2=f2(x-2)-1/8(x-2)^2+......+(-1)^(n-1)/(n2^n)(x-2)^n+o(x^n)

为什么对数函数的泰勒展开式要用ln（x+1）而不用lnx？

讨论函数在一点处的幂级数展开首先需要在该点存在幂级数展开。必要条件是在该点有定义且任意阶可导。ln(x)在x = 0处没有定义。而x^α在x = 0处任意阶可导当且仅当α为非负整数, 理由如下：此时的幂数展开就是x^α本身。所以转而研究x = 1处的幂级数展开。换元后也就是ln(1+x)与(1+x)^α在x = 0处的幂级数展开。

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

发展史：

因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的度。式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

求f（x）=lnx 在x=2处的泰勒级数

f(x)=lnx=ln(2+(x-2))=ln{2[1+(x-2)/2]}=ln2+ln[1+(x-2)/2];

然后把ln1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限分理论，使任何单变量函数都可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限分理论的奠基者 。(1+x)的展开式中的x用(x-2)/2替换即可，这个书上可以找到的。

ln(1+x)的级数展开收敛域为(-1,1],因此新的级数为(x-2)/2∈(-1,1];

x∈(0,4f(x)=f(2)+f'(2)(x-2)+f''(2)(x-2)^2/2!+.+fn阶倒数(2)(x-2)^n/n!+o(x^n)=ln2+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+.+(-1)^(n-1)/(n2^n)(x-2)^n+o(x^n)]

ln(x+1)的泰勒展开公式

ln(x+1)的泰勒展开公式如图：

扩展资泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具 。料：

在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的泰勒公式，应用于数学、物理领域，作为一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话。邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏。

lnx= x-1/ x是什么意思？

y''= 1/x^2 + 1/x =>y''(1)/2! =2

在数学中，对于小于1的数 x，近似地有 ln(x) ≈ x - 1。这是因为 ln(x) 是自然对数（以 e 为底的对数），而 x - 1 是 x 在 x = 1 处的一阶泰勒展开式。泰勒展开是一种将函数在某一点附近用多项式逼近的方法，对于很小的 x 值，这个近似是相当准确的。

由于 ln(1) = 0，所以简参考资料来源：化为：

总结来说，ln(x) ≈ x - 1 是一个在 x 接近 1 时的近似式，对于小于1的 x 值，这个近似是相当准确的，但在 x 趋近于0时会失效，应该使用准确的自然对数计算方法

为什么对数函数的泰勒展开式要用ln（x+1）而不用lnx？

ln(x) ≈ x - 1

讨论函数在一点处的幂级数展开首先需要在该点存在幂级数展开。必要条件是在该点有定义且任意阶可导。ln(x)在x = 0处没有定义。而x^α在x = 0处任意阶可导当且仅当α为非负整数, 此时的幂数ln(x) ≈ ln(1) + 1(x - 1)展开就是x^α本身。所以转而研究x = 1处的幂级数展开。换元后也就是ln(1+x)与(1+x)^α在x = 0处的幂级数展开。

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

发展史：

因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

十个常用的泰勒展开公式是什么?

十个常用的泰勒展1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿插值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。开式分别包括：

1、x^a=x0^a+ax0^(a-1)(x-x0)+a(a-1)x0^(a-2)(x-x0)^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。

2、(1+x)^a=(1+x0)^a+a(1+x0)^(a-1)(x-x0)+a(a-1)(1+x0)^(a-2)(x-x0)^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。

4、1/(1-x)=1/(1-x0)+(x-x0)/(1-x0)^2+(x-x0)^2/(1-x0)^3+(x-x0)^3/(1-x0)^4+…+(x-x0)^n/(1-x0)^(n+1)+o((x-x0)^n)。

5、e^x=e^x0+e^x0(x-x0)+e^x0(x-x0)^2/2+…+e^x0(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。

6、lnx=lnx0+(x-x0)/x0-(x-x0)^2/(2x0^2)+(x-x0)^3/(3x0^3)+…+(-1)^(n+1)(x-x0)^n/(nx0^n)+o((x-x0)^n)。

7、ln(1+x)=ln(1+x0)+(x-x0)/(1+x0)-(x-x0)^2/(2(1+x0)^2)+(x-x0)^3/(3(1+x0)^3)+…+(-1)^(n+1)(x-x0)^n/(n(1+x0)^n)+o((x-x0)^n)。

8、sinx=sinx0+(x-x0)sin(x0+π/2)+(x-x0)^2sin(x0+π)/2+…+(x-x0)^nsin(x0+nπ/2)/n!+o((x-x0)^n)。

9、cosx=cosx0+(x-x0)cos(x0+π/2)+(要理解为什么 ln(x) ≈ x - 1，在数学上我们可以使用泰勒展开来推导。对于函数 f(x) 在 x = a 处的泰勒展开式为：x-x0)^2cos(x0+π)/2+…+(x-x0)^ncos(x0+nπ/2)/n!+o((x-x0)^n)。

10、Tn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-x0)^2/2!+…+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!

相关信息：

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

函数f(x)=inx在x=1处的泰勒级数为

其中 f'(a) 是 f(x) 在 x = a 3、1/x=1/x0-(x-x0)/x0^2+(x-x0)^2/x0^3-(x-x0)^3/x0^4+…+(-1)^n(x-x0)^n/x0^(n+1)+o((x-x0)^n)。处的导数。对于 ln(x)，它的导数是 1/x，所以在 x = 1 处的泰勒展开式为：

f(x)=lnx=ln[1+(x-1)]

=(x-1)-1/2(x-1)^2+1/3(x-1)^3-1/5(x-1)^5+……+(-1)^(n+1)1/n(x-1)^n+……

求函数f(x)=lnx按（x-2)的幂展开带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式

f(x) 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。≈ f(a) + f'(a)(x - a)