小学奥数裂项公式大全 裂项题目30道简单

五年级奥数分数计算中的技巧,.....

1/(1+2+3+…+n)

就应用公式及裂项

小学奥数裂项公式大全 裂项题目30道简单

小学奥数裂项公式大全 裂项题目30道简单

1又1/11+3又2/11+5又3/11+7又4/11+……+19又10/11

=(1+3+5+7+......+19)+(1/11+2/11+3/11+4/11+......+10/11)

=(1+19)10/2+(1/11+10/11)10/2

=100+5

=105八：浓度问题

3.裂项法

1/23+1/34+1/45.....+1/900

1/23+1/34+1/45.....+1/900

=1/2-1/3+1/3-1/4+……＋1/99－1/100

=49/100

1/123+1/234+......+1/98900

=（1/12-1/13）+（1/23-1/24）+......+(1/9899-1/98100)（这里就是把1/n(n+1)(n+2)转变为1/n(n+1)-1/n(n+2)的形式，1/n(n+1)-1/n(n+2)=n+2-(n-1)/n(n+1)(n+2)=1/n(n+1)(n+2)成立！）

=(1/12+1/23+1/34+......+1/9899)-(1/13+1/24+1/35+......+1/98100)（这里把加的放一起，减的放一起，方便计算）

=（1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+......1/98-1/99)-1/2(2/13+2/24+2/35+......+2/98100)(这里把前面加起来的都拆开来，变成都可以消掉的，后面减的提出2，也是为了方面消）

=（1/1-1/99）-1/2(1/1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+......+98/1-1/100)(前面消光后只剩1/1-1/99了，后面全部拆开来，可以消了）

=98/99-1/2（1/1+1/2-1/99-1/100）（这里注意，后面消完以后剩的是4项，而不是两项，因为这里相的是2，前后2项都是无法抵消的，想一下应该就会明白了）

裂项。还有应用公式。

求常见裂项相消公式

所以 B<1/2(1/7-1/9+1/8-1/10+...1/63-1/65)=1/2(1/7+1/8-1/64-1/65)

1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

n·n!=(n+1)!-n!

扩展资料：

【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]（裂项）

则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）- [1/(n+1)]（裂项求和）

= 1-1/(n+1)

= n/(n+1)

【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.

解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）

则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(＝1/2－1/100n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）

= [n(n+1)(n+2)]/3

2/n（n+1）=2/n-2/n+1

1＋1/（1+2）＋1/（1+2+3）＋…+1/(1+2+3+…+n)

1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

1＋1/（1+2）＋1/（1+2+3）＋…+1/(1+2+3+…+n)

1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

=1/12/2+1/23/2+....+1/n(n+1)/2

=2/12+2/23+......+2/n(n+1)

=2[1-1/2+1/2-1/3+.....+1/n-1/(n+1)]

=2[1-1/(n+1)]

=2n/(n+1)

因为 1+2+3+…+n=(n+1)n/2

所以 1/(1+2+3+…+n) =2/[(n+1)n] =2[1/n-1/(n+1)]

那么1＋1/（1+2）＋1/（1+2+3）＋…+1/(1+2+3+…+n)=2[1-1/(n+1)] =2n/(n+1)

=2/[(n+1)n]

1＋1/（1+2）＋1/（1+2+3）＋…+1/(1+2+3+…+n)

=2[1-1/(n+1)]

=2n/(n+1)

=2/[(n+1)n]

1＋1/（1+2）＋1/（1+2+3）＋…+1/(1+2+3+…+n)

=2[1-1/(n+1)]

=2n/(n+1)

分数裂项小学奥数难题

=2[1/n-1/(n+1)]

1×3)分之1+(3×5)分之1+……+(99×101)分之1

参考资料：

=2分之1×(1-3分之1)+2分之1×(3分之1-5分之1)+……+2分之1×(99分之1-101分之1)

=2分之1×(1-101分之1)

=2分之1×101分之100

=101分之50

望采纳

小学数学奥数知识点总结

基本公式为：

五年级：一：分数单位

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

二：分数的运算技巧

三：性指令下的运算及应用

四：估算与数感

五：分数、百分数

六：比和比例

七：工程问题

九：商业中的数学

十：圆的周长与面积

十一：圆柱与圆锥

十二：时钟问题

十三：行程问题

十四：不定方程（组）及应用

十五：观察、猜想与归纳

十六：判断与推测

十七：离散值

十八：设计与方案

十九：变换域作

二十：统计与概率

小学水平的裂项题目

利用加法交换律和结合力计算，将父母是倍数关系的放在一起，容易通分。

1/3+2/5+3/7+7/12+9/20+11/28+17/30+25/42

=（1/3+7/12）+（2/5+9/20+17/30）+（3/7+11/28+25/42）

=（4/12+7/12）+（24/60+27/60+34/60）+（36/84+33/84+50/84）

=11/12+17/1=1+1/11+3+2/11+5+3/11+7+4/11+......+19+10/112+119/84

=77/84+119/84+119/84

原式=1/3+2/5+3/7+(1/3+1/4)+(1/4+1/5)+(1/4+1/7)+(1/6+2/5)+(3/7+1/6)

=(1/3+1/3+1/6+1/6)+(1/4+1/4+1/4)+(2/5+12、1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/5+2/5)+(3/7+1/7+3/7)

裂项相消法中常见的拆项公式

裂项相消

如An=1/n(n+1) 这样An=（(n+1)-n)/n(n+1) =1/n -1/(n+1)

An=1/n(n+k) k为常数

给分子分母同乘k 即An=k/kn(n+k)=(1/k)(n+k -n)/(n(n+k))

=(1/k)(1/n - 1/(n+k) )

An=1/n(n+k)(n+2k)

k为常数

给分子分母同乘2k

即An=2k/2kn(n+k)(n+2k)

=(1/2k)(n+2k - n)/n(n+k)(n+2k)

=(1/2k)(1/n(n+k) - 1/(n+k)(n+2k)

往后4项5项的见得就少了

对于其他裂项

如出现（An+1 - An)/AnAn+1 也可以考虑将他变成1/An+1 -1/An 然后将1/An看成一个新数列

还有一种就是强行的裂项

An=n(2^n)

设An=Bn+1 - Bn 那么Sn=A1+A2+...+An=(B2-B1）+（B3-B2)+....(Bn+1 - Bn )

=Bn+1 - Bn

观察An后面有个2^n 那么可以肯定Bn 后面也有2^n

直接设Bn=（Kn+T)2^n 那么Bn+1 = (K(n+1)+T)2^(n+1)

把2^(n+1)写成22^n 再把2乘进去就是

Bn+1 = (2K(n+1)+2T)2^n=（2Kn+2K+2T)2^n

An=Bn+1 - Bn =(2Kn+2K+2T -Kn - T)2^n=(Kn+2K+T)2^n

与An对比得

K=1 2K+T=0 所以T=-2

Bn=(n-2)2^n

Sn=Bn+1 - B1 =(=315/84n-1)2^（n+1）+2

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)。

求解：一道方程奥数——包含裂项。原题详见补充！

1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

这个不太好打字额，，

3285/2668乘以[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.....+=2分之1×(1-3分之1+3分之1-5分之1+……+99分之1-101分之1)1/x-1/(x+1)]

=3285/2668乘以[1-1/(x+1)] （这个看得懂吧，里面的消掉了）

=3285/2668乘以x/(x+1)

只能到这里了，条件不全，如果题里给出了x的值，带到式子里算就可以了

你是指3285/2668该是1/x(x+1)么，，，

那就是化简为1/(x+1)^2,,,,还是算不出来的，，

（1-1/(1+x))=4/5

X=4

这个裂项是基本的，一般是老师讲的个例题。

小学六年级奥数分数裂项

2余下的项前后的正负性是相反的。

6题的解题过程：

因为 1/8^21/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)<1/(79),1/9^2<1/(810),... 1/64^<1/(6365)

=(1/2)(1/8+1/56+1/8-1/64-1/65)=1/8+(1/2)(1/56-1/64-1/65)<1/8+1/2(1/56-2/65)<1/8=A

一道奥数计算，求解答！！！谢谢！！

1+2+3+…+n=(n+1)n/2

503/12=503/1-503/2

=3又3/4

503/23=503/2-503/3

...

=503/1-503/2012

=503-1/4

=503-0.25

=502.75

先把503作为公因式提出来，就是先不管，

裂项公式是:

1/[n(n+1)=1/n-1-(n+1)

所以1/12+1/23+...+1/20112012

=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/2011-1/2012

=1/1-1/2012

=2011/2012

然后再把之前的503乘上5032011/2012=502.75

公式：1/(A(A+1)=1/A-1/(A+1)

原式=503(1-1/2+1/2-1/3+1/3-......-1/2011+1/2011-1/2012)=503(1-1/2012)=2011/4

小学奥数列项题求助 4/1×2×3+5/2×3×4+6/3×4×5+......+11/8×9×10=?

另外还有很多例子，比如分母是连续奇数或连续偶数相乘，或是阶乘，份子是个常数（常常是1）的，都可以采取裂项相消法求解Sn。裂项相消法能到达化繁为简的效果。求Sn前先视察通项公式，如果符合这样特点的就能够用裂项相消法了。

4/2(1/12-1/23)+5/22.约分法(1/23-1/34)=1+1/2(1/23-5/34)

后面会有6/34项，以此类推，所以就成了1+1/2{1/23+1/34+……+1/89｝-（11/2)(1/0)