a的右矢乘以b的左矢为什么是一个算符而不是波函数

定义

另外a和b的内积结果也不是波函数，而是概率幅。对两个波函数进行作，得出结果是波函数的，这种作对应的是克罗不知这样说楼主能理解否。内克积，亦即是张量积，和外积，内积是不同的。

克罗内克积运算法则(克罗内克积的转置)克罗内克积运算法则(克罗内克积的转置)


克罗内克积运算法则(克罗内克积的转置)


人们知道有理数之后，发现腰为1的等腰三角形斜边是根号2，它不是有理数，导致了一次数学危机。

fomula是配方还是配料的意思？

随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。全国的工科院校已普遍把“矩阵论”作为研究生的必修课。为此，我们根据教委制定的工科研究生学习“矩阵论”课程的基本要求编写了这本教材，并于1993年和1999年由河海大学出版社正式出版，在部分高校讲授过多年。为使本书适应新世纪的要求，这次又对本书进行了充实更新，并对内容作了精心的处理。

formula可以做“配方”讲，但不应解释为“配料”。

自然数：通过最简单的计数需求就能想到，无论是用手指对应，还是用石头对应，1,2,3..这种最基本的数都能自然发明出来，这种基本数也是人脑天生就有的功能。

我们所熟知的“formula”通常做“公式, 规则”规则讲，由“公式, 规则”可以衍生出一系列词义如：

笛卡儿积、向量空间的直积、群子集的乘积、群的自由积、拓扑空间的积

方程式——含有含有未知数的等“式”。

配方——由配料变成产品（或试剂）的“公式”。

显然，配方是一种公式，而配料是（资源）材料，其区别是明显的。

张量(物理中力学名称)详细资料大全

张量（tensor）理论是数学的一个分支学科，在力学中有重要套用。张量这一术语起源于力学，它最初是用来表示弹性介质中各点应力状态的，后来张量理论发展成为力学和物理学的一个有力的数学工具。张量之所以重要，在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。张量概念是矢量概念的推广，矢量是乘积（拼音chéngjī），英语称作 product。在初等算术中的基本定义为，由两个或两个以上的数或量相乘所得出的数或量。有时简称为积。一阶张量。张量是一个可用来表示在一些矢量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函式。

基本介绍 中文名 ：张量 外文名 ：Tensor 提出者 ：威廉·罗恩·哈密顿 提出时间 ：1846年 套用学科 ：力学，数学 适用领域范围 ：连续介质力学 物理名称,背景知识,规定,定义,基本运算,特殊张量,协变导数与算符,例子,张量密度,张量相关, 物理名称 张量 （Tensor）是一个定义在一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多重线性映射，其坐标是| n |维空间内，有| n |个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函式， 而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。r 称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。 在同构的意义下，第零阶张量 （r = 0） 为标量 （Scalar），阶张量 （r = 1） 为向量 （Vector）， 第二阶张量 （r = 2） 则成为矩阵 （Matrix）。例如，对于3维空间，r=1时的张量为此向量：（x,y,z）。由于变换方式的不同，张量分成协变张量 （Covariant Tensor，指标在下者）、逆变张量 （Contrariant Tensor，指标在上者）、 混合张量 （指标在上和指标在下两者都有） 三类。 在数学里，张量是一种几何实体，或者说广义上的“数量”。张量概念包括标量、向量和线性运算元。张量可以用坐标系统来表达，记作标量的数组，但它是定义为“不依赖于参照系的选择的”。张量在物理和工程学中很重要。例如在扩散张量成像中，表达器官对于水的在各个方向的微分透性的张量可以用来产生大脑的扫描图。可能最重要的工程上的例子就是应力张量和应变张量了，它们都是二阶张量，对于一般线性材料他们之间的关系由一个四阶弹性张量来决定。 虽然张量可以用分量的数组来表示，张量理论存在的意义在于进一步说明把一个数量称为张量的涵义，而不仅仅是说它需要一定数量的有指标索引的分量。特别是，在坐标转换时，张量的分量值遵守一定的变换法则。张量的抽象理论是线性代数分支，现在叫做多重线性代数。 背景知识 “张量”一词最初由威廉·罗恩·哈密顿在1846年引入，但他把这个词用于指代现在称为模的对象。该词的现代意义是沃尔德马尔·福格特在1899年开始使用的。 这个概念由格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯特罗在1890年在《微分几何》的标题下发展出来，随着1900年列维-奇维塔的经典文章《微分》（义大利文，随后出版了其他译本）的出版而为许多数学家所知。随着15年左右爱因斯坦的广义相对论的引入，张量微积分获得了更广泛的承认。广义相对论完全由张量语言表述，爱因斯坦从列维-奇维塔本人那里学了很多张量语言（其实是Marcel Grosan,他是爱因斯坦在苏黎世联邦理工学院的同学，一个几何学家，也是爱因斯坦在张量语言方面的良师益友 - 参看Abraham Pais所著《上帝是微妙的（Subtle is the Lord）》），并学得很艰苦。但张量也用于其它领域，例如连续力学，譬如应变张量（参看线性弹性）。 注意“张量”一词经常用作张量场的简写，而张量场是对流形的每一点给定一个张量值。要更好的理解张量场，必须首先理解张量的基本思想。 规定 1.求和约定 指在给定的项中凡有一上和一下两个相同的指标就表示对该指标从1到空间维数 N 求和。例如，在三维空间中， 2.张量指标 包括哑指标和自由指标。哑指标是指各项中一上和一下成对的相同指标。例如，上式中的指标 i 就是哑指标。自由指标是指在方程的所有项中只出现一次的指标。 定义 有两种定义张量的方法： 1. 按变换规律定义 若一坐标系 中 个量 与另一坐标系 中 个量 间满换规律 则 称为 r 阶逆变和 s 阶协变混合张量的分量。若 s =0，则 称为 r 阶逆变张量的分量。若 r =0，则 称为 s 阶协变张量的分量。上述这种张量记法称为分量记法。 2.按不变性定义 凡可以在任何坐标系中写成下列不变性形式的量定义为 r + s 阶张量： 式中 和 分别为坐标系 和 中的协（逆）变基矢量。上述这种张量记法称为不变性记法或并矢记法。 基本运算 1． 加减法 两个或多个同阶同型张量之和（）仍是与它们同阶同型的张量。 2． 并积 两个张量的并积是一个阶数等于原来两个张量阶数之和的新张量。 3． 缩并 使张量的一个上标和一个下标相同的运算，其结果是一个比原来张量低二阶的新张量。 4． 点积 两个张量之间并积和缩并的联合运算。例如，在极分解定理中，三个二阶张量 R 、 U 和 V 中一次点积 R · U 和 V · R 的结果是二阶张量 F 。 5． 对称化和反称化 对已给张量的 n 个指标进行 n 1不同置换并取所得的 n 1个新张量的算术平均值的运算称为对称化。把指标经过奇次置换的新张量取反符号后再求算术平均值的运算称为反称化。 6． 加法分解 任意二阶张量可以地分解为对称部分和反称部分之和。例如，速度梯度 可以分解为 ，其中 和 分别为 的对称和反称部分，即 和 。 1． 商法则 肯定某些量的张量性的法则。 特殊张量 特殊张量主要有四种： ①度量张量 两个基矢量点积的结果。 和 分别称为协变和逆变度量张量，而混合度量张量 ，这里 （或写为 ）为克罗内克符号，它定义为： ②交错张量或爱丁顿张量 可定义为 ，这里 表示元素 为行列式，而置换符号 表示 （ 是(1,2,3)的偶次置换），-1（ 是(1,2,3)的奇次置换），0（其余情形） ③转置张量 对任意二阶张量 的分量指标置换的结果，记为 。 ④正交张量 保持映象长度不变的二阶张量。 克里斯机费尔符号 类和第二类克里斯托费尔符号分别定义为： 和 。 协变导数与算符 1.协变导数 协变矢量 和逆变矢量 关于 的协变导数分别定义为： 和 。上列结果可以推广到高阶张量的协变导数。 2.不变性微分算符 推广矢量分析概念，对于任意张量场 T 有四种不变性微分算符，即梯度▽ T ，散度▽· T ，旋度▽× T 和拉普拉斯算符▽ 2 T 。 在直角坐标系下，协变和逆变间的别消失，故可规定所有指标均写成下标，另外，由于克里斯托费尔符号为零，所以协变导数变成为普通偏导数。 例子 张量可以表述为一个值的序列，用一个向量值的定义域和一个标量值的值域的函式表示。这些定义域中的向量是自然数的向量，而这些数字称为指标。例如，3阶张量可以有尺寸2、5和7。这里，指标的范围是从<1,1,1,>到<2,5,7>。张量可以有理数：希腊文或英文都是指比例数，能用整数和整数比表示的数即为有理数，整数相除，要么为有限小数，要么为循环小数（可理解为两个固定整数相除余数一定是有规律的，所以会循环）。是不是所有的自然界中的数量都能用有理数表示？似乎是可以的，因为任何无限接近的两有理数之间都可以找到个 (x + y)/2的有理数与两数更接近。但自然界中的量为什么一定可以用整数比表示呢？为什么一定用有限或无限循环数表示呢？这个没任何理由。恰好相反更多的数应该是无限不循环的数。在指标为<1,1,1>有一般约定，相乘的对象只有一个的时候，乘积是对象本身；没有相乘的对象时也可以约定所谓的“空积”为1。一个值，在指标为<1,1,2>有另一个值，等等一共70个值。（类似的，向量可以表示为一个值的序列，用一个标量值的定义域和一个标量值的值域的函式表示，定义域中的数字是自然数，称为指标，不同的指标的个数有时称为向量的维度。） 一个张量场是在欧几里得空间中的每一点都给定一个张量值。这样不是像上面的例子中简单的有70个值，对于一个3阶张量，维度为<2,5,7>，空间中的每一个点有70个值和它相关。换句话说，张量场表示某个张量值的函式，其定义域为欧几里得空间。不是所有的函式都行 -- 更多关于这些要求的细节参看张量场。 不是所有自然中的关系都是线性的，但是很多是可微的因而可以局部的用多线性映射来局部的逼近。这样多数物理学中的量都可以用张量表示。 作为一个简单的例子，考虑水中的船。我们要描述它对受力的反应。力是一个向量，而船的反应是一个加速度，它也是一个向量。通常加速度不是和受力的方向相同，因为船体的特定形状。但是，这个力和加速之间的关系实际上是线性的。这样一个关系可以用一个（1,1）类型（也就是说，它把一个向量变成另一个向量）的张量表示。这个张量可以用矩阵表示，当它乘以一个向量时就得到另一个作为结果。坐标系改变的时候，表示一个向量的数字会改变，同样，表示这个张量的矩阵中的数字也会改变。 工程上，刚体或流体内的应力也用一个张量表示；"张量"一词的拉丁语就表示引起张力的某种拉伸。如果材料内的一个特定的表面元素被选出来，在表面一侧的材料会对另一侧的施加一个力。通常，该力不和表面正交，但是它将线性的依赖于表面的朝向。这可以用（2,0）类型的张量的描述，或者更地说，是用一个类型为（2,0）的张量 场 来表示，因为张量可能在每一个不同。 另外一些的几何中张量的例子有二次型，以及曲率张量。物理张量的例子有能动张量，惯量和极化张量。 几何和物理的量可以通过考虑它们的表述内在的自由度来分类。标量是那些可以用一个数表示的 --- 速率,质量,温度,等等。有一些向量类型的量，例如力，它需要一个数字的列表来表述。，象二次型这样的量需要用数组来表示。后面这些量只能视为张量。 实际上，张量的概念相当广泛，可以用于上面所有的例子；标量和向量是张量的特殊情况。区别标量和向量以及区别这两者和更一般的张量的特征是表示它们的数组的指标的个数。这个数称为张量的 阶 。这样，标量是0阶张量（不需要任何指标），而向量是一阶张量。 张量的另外一个例子是广义相对论中的黎曼曲率张量，它是维度为<4,4,4,4>（3个空间维度 + 时间维度 = 4个维度）的4阶张量。它可以当作256个分量（256 = 4 × 4 × 4 × 4）的矩阵（或者向量，其实是个4维数组）。只有20个分量是互相的，这个事实可以大大简化它的实际表达。 张量密度 张量场也可有一个“密度”。密度为 r 的张量和普通张量一样坐标变换，但是它还要乘以雅可比矩阵的行列式值的第 r 次幂。这个的解释可能是使用向量丛：其中，切丛的行列式丛是一个线丛，可以用来'扭转'其它丛 r 次。 张量相关 1.张量的理论来源。 亚瑟·凯莱( Arthur Cayley)着力研究的不变数理论( invariant theory)导致了矩阵理论的建立，引进了现代意义上的行列式的代数表达,这成为射影几何的重要工具。凯莱的不变数理论产生于19世纪前半叶的英国着重对代数及代数在几何方面的套用研究这样的背景下。矩阵理论对线性变换的研究引进了向量的代数定义，而这是张量概念的先导。 另一方面,格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼( Georg Friedrich Bernhard Riemann)提出的n维流形的概念，这在客观上提出了深入研究代数形式的课题。黎曼的几何思想在拓展几何学的同时,提高了代数在表达几何对象方面的抽象程度。黎曼之后，在克里斯托弗、里奇和列维-契维塔等人的努力下,形成了张量分析这样的数学方法，黎曼几何学也因此而建立起来了。 2.张量的定义、性质与套用价值 从代数角度讲， 它是向量的推广。我们知道，向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排），矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。张量的严格定义是利用线性映射来描述的。与矢量相类似，定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的为张量。 从几何角度讲， 它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。 标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作1阶张量。张量中有许多特殊的形式， 比如对称张量、反对称张量等等。 有时候，人们直接在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示张量，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则（参见协变规律，反变规律），如矩阵、多变数线性形式等都满足这些规律。一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量、动量等都需用张量来表示。在微分几何的发展中，C.F.高斯、B.黎曼、E.B.克里斯托费尔等人在19世纪就导入了张量的概念，随后由G.里奇及其学生T.列维齐维塔发展成张量分析，A.爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。 黎曼几何作为非欧几何的一种,它与罗巴切夫斯基几何相比，有着实质性的不同。罗氏几何主要工作是建立了一整套区别于欧几里得的《几何原本》的逻辑体系； 而黎曼几何的核心问题是以微分几何为基础,建立曲线坐标系中的微分方法。罗氏几何是个被提出的非欧几何学，它的基本观点是： ,第五公设不能被证明; 第二，可以在新的公理体系中展开一连串推理,得到一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，形成新的理论。罗氏几何学的公理系统区别于欧式几何学之处,仅仅是把欧式几何平行公理改为: 从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。黎曼几何与罗氏几何的平行公理相反： 过直线外一点,不能做直线和已知直线平行。也就是说，黎曼几何规定: 在同一平面内任何两条直线都有公共点,黎曼几何学不承认存在平行线。很自然就有另一条公设： 直线可以延长至任意长度，但长度是有限的,这可以类比为一个球面。黎曼几何是通过微分几何的途径建立起来的，因此与罗氏几何根本不同。 黎曼几何学的公理体系引进了一种弯曲的几何空间(它可以通过拉梅引进的曲线坐标系描述),黎曼在构想这种几何学的时候，就想设法建立起相应的代数结构。这个目标黎曼本人没有实现,但沿着他开辟的道路，克里斯托夫和里奇完成了新几何学的构建。换句话说,张量分析构成了黎曼几何学的核心内容。这表现在若干方面: 1.黎曼空间中的曲率是一个张量，其有关运算需采用微分法； 2. 黎曼空间的度量以度量张量表达; 3. 黎曼空间的平行定义为标积保持不变(即与曲线的夹角保持不变),依赖克里斯托夫符号； 4. 黎曼空间的直线(短程线)方程的建立依赖协变微分。正因为有了张量分析这个工具，黎曼几何才获得了类似于微积分一样的计算功能,从而摆脱了停留在逻辑构造层面上的束缚，从根本上与微分几何实现了传承,并实现了微分几何从直线坐标系到曲线坐标系的进步，使得几何学与代数学更紧密地联系起来。 要而言之,张量分析的产生一方面是向量分析的推广，另一方面是微分几何的发展推动。张量分析与黎曼几何在相互交织中发展,互相促进。

判断一个复数是多少值的方法？

代数对象的积

复数集包含实数集，只在其实数集内才能比较大小，即只有两个复数都是实数时如果两个代数结构的元素个数都是有限个，那么它们的积的元素个数将会是它们分别元素个数的乘积。这也是这种新代数结构被称为积的原因之一。才能比较负数还有实际的物理意义。例如物体高度的计量，人们必须首先定义某参考物为0高度，上面的就为正的高度多少，下面的就为负的高度多少。再例如温度计数，人们首先把冰点定义为0度，那高于冰点就是正多少度，低的就是负多少度。这样才能把这些物理属性统一量化。大小，只要含有一个虚数，则不能比较大小。我们把形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。扩展资料整数的大小比较：1、先看位数，位数多的数大。比如：100大于20，因为100有3位数，而20只有2位数。2、位数相同，从位看起，相同数位上的数大那个数就大。比如：320大于310，位数相同，位百位都是3，所以接着看下一位十位，320的十位是2，310的十位是1，2＞1，因此320大于310。小数的大小比较：先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同时，看它们的小数部分，从高位看起，依数位比较，相同数位上的数大的那个数就大。分数的大小比较：分母相同的分数，分子大的分数大；分子相同的分数，分母小的分数大；分母不同的分数，先通分在比较。

数学史上数系的扩充过程

大小和多少是人类认识外界的一个基本需求，如土地大小，家畜多少等。这种基本需求从计数开始，各民族都发明了各自的计数方法，通过交流和比较，数字的十进制最简便（如果再考虑计算机的使用，8进制才是最方便的，不过已经无法更改了），在十进制的基础上，自然就会想出加减乘除的运算方法，大大方便计数。发现使用数的好处后，人们就把各种概念转化为大小和多少的描述，从而实现量化描述，先定义单克罗内克符号是勒让德符号以及雅可比符号的推广，将底数由正奇数推广至一切整数。位，然后用单位的数量描述大小，这样就可以用数量描述某个属性。随着数的使用越来越多，必然发现新种类的数，同时为了统一的计算法则，就不断地定义了这些新种类的数，这样整个数系就逐渐建立起来。下面分别简述：

负数：引入负数的概念一是为了计算的统一和方便，二是负数也有实际的物理意义。举例说明：某公司1月份赚了100万，2月份亏了10万，那1，2月总共赚了多少？我们可以计数为： 1月份赚了+100万，（1）去掉定理：上方同余值相同。二月份赚了-10万，两个月总共赚了 +100 + （-10） = +90 。这样财务做账就统一计数为赚多少钱，亏的就计为赚 –x，总共赚的都用加法。这就是使得计数和计算都统一起来。

分数和小数：计数稍微进一步就会涉及到不是整数的问题，1头羊两个人分，2个苹果3个人分，测量土地不是整步数，这些问题就自然使人们发展出分数和小数的概念。分数是将一份或几份的物体平分成若干份，即两数相除，标记为 n/m。小数是把某数平分成10份，100份，1000份等，即1/10, 1/100, 1/1000，12/100，标记为0.1， 0.01，0.001，0.12，所以1/10 =0.1, 1/100 = 0.01。根据分数和小数的定义，自然就能推理出它们间的转化方法。

实数：有限数，无限循环数，无限不循环数一起构成实数，他们一个比一个更多，共同反应现实中的所有量，现实中所有量也都可以用实数表示。所以就取名为实数。它们，要么是整数，要么是比例数，要么是无限不循环数，没有其他可能，所以实数是连续的，这个结论可以用反证法证明。实数连续的属性决定了可微和可积，从而为微积分奠定了基础。

我只知道一点儿！综合上面各种数的发明历史可以看出，数首先是人们针对现实事物抽象出的数量概念，接着十进制的发明大大简化计数和运算，然后是发明自然数，之后为了运算的统一又发明0，负数，实际的应用中进一步发现小数和无理数。虚数的定义是为了方程的求解发明出来的。这样整个数系就完整建立起来了。

在空格里填相应的积

乘积是数学中多个不同概念的称呼。算术中，两个数或多个数相乘得数轴：为形象地表示实数，引入数轴概念，，规定一个原点为0，经过该点画直线，0的一方为正实数，另一方为负实数，取适当长度为单位长度，直线上每个点代表一个实数，所有实数也是直线上的某点，一一对应。到的结果称为它们的积或乘积。当相乘的数是实数或复数的时候，相乘的顺序对积没有影响，这称为交换性。

试题：n七了×了=少n3了，n了七×了=少5了七，少8七×了=少七8七，n七7×了=少nn7．填表如下：×n七了n了七少8七n七7了少n3了少5了七少七8七少nn7

下面给你简单分析一下：

矩阵论的前言

向量空间中两个向量的内积、矩虚数和复数：虚数的发明来源于解方程，没有实际物理意义，仅仅是为了计算统一整数：人们把自然数，零和负整数定义成整数，这个没什么特别意义，仅仅是定义。和方便，有些方程运算过程中出现负数根的问题，但最终可以互相抵消或相乘而得出实数解，于是就引入了定义：-1的平分根i。 进而引入复数的概念 a + bi，实数是复数的子集，复数运算也使用实数的运算法则，运算结果也一定是 a + bi的形式。后来高斯又用直角坐标系来形象表示复数，而物理学中的矢量也可用坐标系表示，进而很容易发现矢量运算时用复数来表示矢量，然后按四则规则运算符合物理结果。从而确定了复数的价值。但在量子力学中，复数超出了工具的属性，似乎具有了物理意义，用复数定义，运算和描述量子现象，复数把量子力学变成了纯粹的数学世界，客观世界和心智世界在量子世界已经分不清楚区别。阵中矩阵的乘积、矩阵的阿达马乘积、矩阵的克罗内克乘积、张量的外积、张量的张量积、两个函数的逐点乘积

矩阵论的介绍

当相乘的是四元数或者矩阵，或者某些代数结构里的元素的时候，顺序会对作为结果的乘积造成影响。这说明这些对象的乘法没有交换性。

《矩阵论》是2013年清华大学出版社出版图书。本书比较全面、系统地介绍了矩阵的基本理论、方分子式——分子的构成“公式”。法及其应用。全书分上、下两篇，共10章，分别介绍了线性空间与线性算子，内积空间与等积变换，λ矩陈与若尔当标准形，赋范线性空间与矩阵范数，矩阵的微积分运算及其应用，广义逆矩阵及其应用，矩阵的分解，矩阵的克罗内克积、阿达马积与反积，几类特殊矩阵（如：非负矩阵与正矩阵、循环矩阵与素矩阵、随机矩阵和双随机矩阵、单调矩阵、M矩阵与H矩阵、T矩阵与汉大象尔矩阵等），辛空间与辛矩阵等内容。各章均配有一定数量的习题。附录中还给出了几套模拟自测试题。为了方便读者学习和参考，本书备有一张光盘，其中包含各章习题详解和模拟考试自测试题的解答提这不是一个普通的算符，这个是投影算符，物理意义是将b投影到a上，这种表示形式是和狄拉克符号的规定有关的，不要生硬的把右矢和左矢的运算都认为是求内积运算，在矩阵力学里面，两个矢量的内积是数，两个矢量的外积外积则是矩阵，a的右矢乘以b的左矢相当于a和b的外积运算，出来的结果正是矩阵，对应的自然就是算符了。示等，供读者选用。

克罗内克符号是什么?

扩展

（2）当下方为－1时，取值由上方正负决定：当上方非负，取值为1；当上方为负，取值为－1；当下方为2时，取值等同于上下方互换，即对应上方为2的情形；之后根据完全积性的性质，就可以将下方的定义域推广至一切整数。

代数结构的积

克罗内克函数的值一般简写为δij。克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号，但是克罗内克δ用的时候带两个下标，而狄拉克δ函数则只有一个变量。

另一种标记方法是使用艾佛森括号（得名于肯尼斯·艾佛森）：

同时，当一个变量为0时，常常会被略去，记号变为实数的运算：加减乘除的法则，按实际的物理意义去理解，很容易想到，有点绕弯的是两负数相乘，两个负数相乘为什么变成了正数呢？可以用具有物理意义的例子去理解，例如衰变物质，每年的的质量增加为负值，求解1万年前的质量增加了多少，就可以把1万年前也记为负值，这样就可统一为物质负1万年后，质量增加了多少，两个负值相乘即变成了正。交换律，分配率，结合律也要按现实中的物理意义去理解。指数，幂，根，对数等就是一些特定的数字运算，记住他们的定义和标注方法自然就知道怎么运算。δi。

三位数乘两位数的积是几位数

常见的代数结构的积有：

三位数乘两位数的积是几位数：四位数或五位数

对于二次克罗内克符号，定义首先从二次雅可比符号开始：

最小的三位数和两位数是100和10,相乘积为1000,四位数;的三位数和两位数是999和99,相乘积为98901,五位数;所以结果是:积可能是四位数,也可能是五位数。

当相乘的对象多于两个的时候，常常使用连乘号∏（大写的π）表无理数：通过勾股定理算三角形斜边长度时就发现现实中的有些量无法用有理数表示，这就引出了无理数。无理数是指无限不循环数，绝不是仅仅某数的平方根。只有极少部分无理数可以表示为某数的某次根，更多的无限不循环数是无法用根表示的。示。就如同多个对象的加法使用∑作为符号一样。

各种代数结构中的对象可以通过定义不同的二元运算得到不同的积。比如说，平面向量可以定义点积，三维向量可以定义叉积和混合积。常见的积还包括：

在研究抽象代数中的代数结构时，常常会用到代数结构的积的概念。两个代数结构的积，一般定义为将两个代数结构里的元素通过一个二元映射对应为一个新的元素，然后将新的元素通过适当的规则组成的新的代数结构。