三角形内角平分线定理的证明

角平分线性质定理

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角平分线的性质：

1、角平分线可以得到两个相等的角。

2、角平分线上的点到角两边的距离相等。

3、三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

证明：

三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例．

即 在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC.

证明：AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF.

S△ABD：S△ACD=BD/CD

又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×DF]=AB：AC

所以BD/CD=AB/AC.

内角平分线定理的证明

内角平分线定理：在三角形中，一条线段如果从某个角的顶点出发，将这个角分成两个大小相等的角，那么这条线段所在的直线称为这个角的内角平分线。

证明过程如下：

设在三角形ABC中，BD是∠ABC的内角平分线，相应的得到四个三角形，即ABD、EBD、BDC、CBD。

由内角和定理可知，∠ABD + ∠EBD = ∠ABC，而 ∠ABD = ∠CBD（BD是∠ABC的角平分线），所以有∠CBD + ∠EBD = ∠ABC（式1）。

同理，由内角和定理又有∠BDC + ∠CBD = ∠BCA，而 ∠BDC = ∠EBD（BD是∠ABC的角平分线），所以有∠EBD + ∠CBD = ∠BCA（式2）。

将式1 和式2 的两个等式相加可得∠CBD + ∠EBD + ∠EBD + ∠CBD = ∠ABC + ∠BCA，即2∠CBD + 2∠EBD = 180°，简化为∠EBD + ∠CBD = 90°。

因此，EB是∠ABC的内角平分线。

三角形内角平分线定理

三角形内角平分线性质定理是:在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则BD/DC=AB/AC

应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例

三角形内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.

三角形外角平分线的性质定理：

三角形外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例.

均可以用相似△证明.

一分为二

内角平分线定理

定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理2：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

逆定理：如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。

相关应用：

三角形内角平分线性质定理：在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则BD/DC=AB/AC。

应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例。

三角形内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。

三角形外角平分线的性质定理：三角形外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例。

三角形内角平分线定理是什么？

三角形内角平分线定理:

性质1:

角平分线上的点到这个角的两边距离相等

。性质2:

到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上

。角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的

。三角形内角平分线性质定理：

三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边对应成比例

。

三角形ABC中,

如果BD平分角ABC,

D在AC上

那么AD/DC=AB/BC

还有一个"三角形三条内角平分线交于一点"

==!

过d做三角形adb;s三角形adc

=(abde)/ac

又adb;(acdf)=ab/s三角形adc

=bd/dc

故bd/、dac的高de八爪居士的回答正确

但有好方法、dac等高

则s三角形abd/cd=ab/、df

由ad是bac的角平分线，得de=df

则s三角形abd/

角的平分线的定理有哪些？

角平分线的三个定理？

角平分线定理：

1、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

2、性质定理逆定理：在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

3、第二性质定理：三角形内角平分线分对边所成的两条线段,与夹这个角的两边对应成比例。

从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。

三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。

内角平分线定理

内角平分线定理如下：

内角角平分线定理指的是在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等， 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上，角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的。

性质定理

三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例．

即 在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC.

证明：

如图1，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF.

S△ABD：S△ACD=BD/CD。

又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×DF]=AB：AC所以BD/CD=AB/AC.

一、 内角平分线定理：三角形的内角平分线内分对边成两条线段，这两条线段与夹这角的两边对应成比例。

若AD是三角形ABC中角A的平分线，交对边于点D，则BD/DC=AB/AC。

二、 外角平分线定理：三角形的外角平分线外分对边成两条线段，这两条线段与夹这角的两边对应成比例。

如图二：若AD是三角形ABC中角A的外角的平分线，交对边BC的延长线于点D，则BD/DC=AB/AC。