快递小哥两周证明欧拉常数公式(欧拉常数的证明)

欧拉公式推导全过程如下：

欧拉公式三种形式分别是：分式里的欧拉公式=a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)，复变函数论里的欧拉公式为e^ix=cosx+isinx，三角形中的欧拉公式为d＾2=R＾2-2Rr。

一、把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。

1、当R=2时，由说明这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即R=2，V=2，E=2，于是R+V-E=2，欧拉定理成立。

2、设R=m(m≥2)时欧拉定理成立，下面证明R=m+1时欧拉定理也成立。由说明我们在R=m+1的地图上任选一个区域X，则X必有与它如此相邻的区域Y，使得在去掉X和Y之间的一条边界后多面体，地图上只有m个区域了。

3、在去掉X和Y之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点，则该顶点保留，同时其他的边界数不变；若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点，则去掉该顶点，该顶点两边的两条边界便成为一条边界。

欧拉公式具体是什么.

（1）分式：

a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=3时值为a+b+c

（2）复数

由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：

sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。

当θ=π时，成为e＾iπ+1=0 它把数学中最重要的e、i、π、1、0联系起来了。

（3）三角形

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面体

设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则

v-e+f=2-2p

p为亏格，2-2p为欧拉示性数，例如

p=0 的多面体叫第零类多面体

p=1 的多面体叫类多面体

等等

欧拉

欧拉公式

的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法国度过.他17岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是数学史上产的作家.在世发表论文700多篇,后还留下100多篇待发表.其论著几乎涉及所有数学分支.他首先使用f(x)表示函数,首先用∑表示连加,首先用i表示虚数单位.在立体几何中多面体研究中,首先发现并证明欧拉公式.

多面体的定义

若干个平面多边形围成的几何体

(2)

( 4 )

( 5 )

多面体的有关概念

多面体的面

棱顶点

凸多面体

把多面体的任何一个面延伸为平面,如果所有其他各面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做凸多面体

多面体的分类

四多面体

五多面体

每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体,叫正多面体.

(2)

正六面体

正八面体

正十二面体

正二十面体

( 7 )

( 8 )

简单多面体

( 5 )

讨下面是一个使用垫子论

问题1: (1)数出下列四个多面体的顶点数V,面数F,棱数E 并填表

(2)

图形编号

顶点数V

棱数E

(2)

(4)

46

48

612

12

20

12

30

(4)

( 6 )

( 5 )

问题1: (2)数出下列多面体的顶点数V,面数F,棱数E 并填表

58

57

812

图形编号

顶点数V

棱数E

简单多面体

讨论

问题2:如何证明欧拉公式

D1

D1

讨论

思考2:设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形,各个面的内角总和是多少

(n1-2) ·1800+ (n2-2) ·1800+···+ (nF-2) ·1800=(n1+n2+···+nF-2F)· 1800

思考3: n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系

n1+n2+···+nF =2E

F,V,E.

问题2:如何证明欧拉公式

讨论

D1

D1

多边形内角和=(E-F)·3600

思考4:设平面图形中多边形(即多边形ABCDE)是m边形,则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少

2(m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600

∴(E-F)·3600= (V-2) ·3600

问题2:如何证明欧拉公式

讨论

D1

D1

欧拉公式

问题3:欧拉公式的应用

例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是有60 个C原子组成的分子,它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点,从每个顶点都引出3条棱,各面的形状分别为五边星或六边形两种.计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少

解:设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个.

由题意有顶点数V=60,面数=x+y,棱数E= (3×60)

(5x+6y)= (3×60)

由以上两个方程可解出 x=12,y=20

答:C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20个.

例2,有没有棱数是7 的简单多面体

因为多面体的顶点数V≥4,面数F≥4,所以只有两种情形:

V=4,F=5 或 V=5,F=4.

但是,有4 个顶点的多面体只有4个面,而四面体也只有四个顶点.所以设不成立,没有棱数是7 的简单多面体

数学家欧拉在证明“欧拉公式”V+F–E=2（其中V是

“简单多面体”的顶点数，E是“棱数”F是“面数”）采用了逐步“去线”“去面”“去点”的方法，而本文采用的是先“添线”然后再逐步“去点”与“去线”…反复进行，最终完成了证明。这两种方法虽然不完全相同但却有相似之处。

欧拉公式

就是黄金比例

欧拉定理如何证明

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。面数、棱数特有的规律。 方法1：（利用几何画板） 逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。 （2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。 以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。 方法2：计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α 一方面，在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为： ∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800] = (n1+n2+…+nF -2F) ·1800 =(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1） 另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。 设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和C1为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。 所以，多面体各面的内角总和： ∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（V-2）·3600. （2） 由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600 所以 V+F-E=2. （1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 （3）三角形 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面体 设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则 v-e+f=2-2p p为欧拉示性数，例如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫类多面体 (5) 多边形 设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有： V+Ar-B=1 (如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8) (6). 欧拉定理 在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Grity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。 其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。

请问欧拉常数R有通项公式吗？？

这是调和级数，没有通项公式，有近似公式

1+1/2+1/3+……+1/n=lnn

ln是自然对数，

当n 趋于无穷时，

1+1/2+1/3+……+1/n=lnn+R

R为欧拉常数，约为0.5772.

推理查看百科上有，不知道你能不能看懂

1665年牛顿在他的著作《流数法》中推导出个幂级数：

ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ...

Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。结果是：

1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)

他的证明是这样的：

根据Newton的幂级数有：

ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...

于是：

1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...

代入x=1,2,...,n，就给出：

1/2 = ln(3/2) + 1/24 - 1/38 + 1/416 - ...

1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...

相加，就得到：

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......

后面那一串和都是收敛的，我们可以定义

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r

Euler近似地计算了r的值，约为0.577218。这个数字就是后来称作的欧拉常数。

欧拉定理公式的证明

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系

这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

方法1：（利用几何画板）

逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E

先以简单的四面体ABCD为例分析证法。

去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1

（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。

以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。

方法2：计算多面体各面内角和

设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和表面经过连续变形能变成一个球面的多面体∑α

一方面，在原图中利用各面求内角总和。

设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：

∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]

= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800

=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）

另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。

所以，多面体各面的内角总和：

∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800

=（V-2）·3600. （2）

由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600

所以 V+F-E=2.

设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：（1）分式：

a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=3时值为a+b+c

（2）复数

由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：

sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

（3）三角形

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面体

设ve^ix = (1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...) + i(x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...)为顶点数，e为棱数，f是面数，则

v-e+f=2-2p

p为欧拉示性数，例如

p=0 的多面体叫第零类多面体

p=1 的多面体叫类多面体

(5) 多边形

V+Ar-B=1

(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)

(6). 欧拉定理

在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Grity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。

其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。

欧拉公式的推导过程

e^(ix)=cosx+isinx

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

也欧拉公式的历史可以展开为级数形式：

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+

扩展资料( 1)当 R= 2时 ，由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面 ，赤道上有两个“顶点” 将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。

( 2)设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立 ，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立 。

参考资料来源：

初一数学欧拉公式是什么？

R+ V- E= 2。

在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉）于1752年又地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

欧拉公式是欧哈德·欧拉在十八世纪创造的，是数学界最、最美丽的公式之一。之所以如此，是因为它涉及到各种显然非常不同的元素，比如无理数e、虚数和三角函数。

1714年，英国物理学家和数学家罗杰·柯茨在一个公式中建立了对数、三角函数和虚数之间的关系。

二十年后，莱昂哈德·欧拉用指数函数代替对数得到了同样的公式。

以上内容参考：

欧拉公式

分式里的欧拉公式

a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1

当r=3时值为a+b+c

e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

e^ix=cosx+isinx的证明：

因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……

cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!e^(iπ) = -1……

sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-……

在e＾x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=〒i, (±i)^4=1 ……（注意：其中”〒”表示”减加”）

e^±ix=1±x/1！-x^2/2！+x^3/3!〒x^4/4!……

=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)

所以e^±ix=cosx±isinx

将公式里的x换成-x，得到：

e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

三角形中的欧拉公式

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr

拓扑B1学里的欧拉公式

V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

在多面体中的运用:

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系

这个公式叫欧拉公式

初等数论里的欧拉公式

欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。

如果n的标准素因子分解式是p1^a1p2^a2……pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有

φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

利用容斥原理可以证明它。

此外还有很多定理都以欧拉的名字命名。

(6) 立体图形里的欧拉公式：

面数+顶点数—2=棱数