什么是正定矩阵？ 什么是正定矩阵和半正定矩阵

如何证明矩阵正定

(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k；

问题一：怎样证明矩阵A为正定矩阵 正定矩阵的性质：设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n) ，都有 XMX′>0，就称M正定(Positive Definite)。 因为A正定，因此，对任何非零向量X=(x_1,...x_n) ,XAX′>0.设X′X=k，显然k>0(X′X每个元素都是平方项)则XAAX′=(XAX′)(XAX′)/k>0那么A^2是正定矩阵

什么是正定矩阵？ 什么是正定矩阵和半正定矩阵

什么是正定矩阵？ 什么是正定矩阵和半正定矩阵

0都有f(x)>0(

这个问题怎样证明矩阵A为正定矩阵,好难啊，辛辛苦苦回答了，给我个满意把

问题二：怎么判断一个矩阵是正定矩阵？其证明的步骤是什么？ 5分 有个定理

A 的顺序主子式都大于0

问题三：如何证明正定矩阵的逆也是正定矩阵 若A是正定的，则由1.4可知：存在实可逆矩阵C使A=CTC

∴A-1 = (CTC) -1 = C-1 (C-1) T

∵C可逆 ∴C-1也是实可逆矩阵

怎么判断是否为正定矩阵

等价条件

关于怎么判断是否为正定矩阵相关如下：

∴A正定。

在数学和工程领域中，正定矩阵有着重要的应用。例如，在控制理论中，正定矩阵可以用来分析系统的稳定性。在统计学中，正定矩阵可以用来表示协方或方矩阵。因此，判断一个矩阵是否为正定矩阵是一个重要的问题。

定义：一个n×n的实对称矩阵A是正定的，如果对任意的非零向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有xTAx＞0。

判断矩阵的方法

1.特征值方法，一个实对称矩阵A是正定的，当且仅当它的所有特征值都大于零。因此，我们可以计算矩阵A的特征值，并判断它们是否都大于零。

2.Gram矩阵方法，如果一个矩阵A的Gram矩阵G=AAT是正定的，则矩阵A是正定的。因为G=AAT，所以G的特征值就是A的特征值的平方。因此，如果A的所有特征值都大于零，则G的所有特征值都大于零。

3.迹方法，如果一个矩阵A的迹tr(A)大于零，则矩阵A是正定的。因为tr(A)=λ1+λ2+...+λn，其中λ1,λ2,...,λn是A的特征值。因此，如果tr(A)大于零，则A的所有特征值都大于零。

矩阵的要点

1.在判断一个矩阵是否为正定矩阵时，要注意非零向量的问题。如果一个向量是零向量，那么它与任何矩阵相乘都得到零向量。因此，在判断一个矩阵是否为正定矩阵时，必须考虑非零向量的情况。

2.如果一个矩阵是正定的，那么它不一定是的。例如，对于一个n×n的正定矩阵A，所有非零常数倍的矩阵CA(C≠0)也是正定的。但是，这些矩阵被称为A的正定性等价类。在判断一个矩阵是否为正定矩阵时，我们只关心它的正定性等价类。

3.在实际应用中，我们可能需要对一个矩阵的近似正定性进行判断。例如，在统计学中，我们可能需要对一个协方或方矩阵的正定性进行判断。在这种情况下，我们可以使用上述方法的近似版本，例如近似特征值方法和近似迹方法。

总结：判断一个矩阵是否为正定矩阵是一个重要的问题，有多种方法可以实现。在实际应用中，我们需要考虑非零向量、正定性等价类和近似正定性等问题。

正定矩阵什么意思

即有

至于那个偏导，直接按定义求不就行了。

看上去你在看 x^TAx/2+b^Tx 的最值问题和方程 Ax=b 的联系，不过你的基本功看起来缺失了不少盯如果不把基本功补好的话搭空中楼阁是没有多大意义的。

问题二：什么是正定矩阵？ 正定矩阵有多种等价定义：如实矩阵A正定，如果对任意向量x,二次型xAx'>0.

问题三：什么叫半正定矩阵 具有对称矩阵A的二次型f=x’Ax，如果对任何非零向量x，都有x’Ax≥0（或x’Ax≤0）成立，且有非零向量x0，使x0'Ax0福0，则称f为半正定（半负定）二次型，矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）。即有定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX≥0，就称A为半正定矩阵。判定A是半正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于或等于零。

问题四：正定矩阵的基本定义 设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M正定矩阵。 例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵） 一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

问题五：正定矩阵定3.正交变换下，标准形前的系数全＞0义 对一般的矩阵来说，要把矩阵化成标准型才可以这样说。

一个矩阵是正定的是指该矩阵对应的实二次型f(x1,x2,...,xn)对任意的一组不全为零的实数c1,c2,...,都有f(c1,c2,...,)>0

问题六：怎么判断一个矩阵是否为正定矩阵？ 5分 正定矩阵的定义是从正定二次型来的

正定二次型的矩阵称为正定矩阵，

对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。

所以计算得到矩阵的特征值，全部为正数就是正定矩阵

问题七：正定矩阵的定义 设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量,X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵

正定矩阵

主子

首先要限定是实矩阵, 否则例如A =

i 0

0 i

与其转置之积为负定矩阵.

对实矩阵A, 可以证明A'A至少是半正定的.

对任意实向量X, X'(A'A)X = (AX)'(AX) ≥ 0.

而A'A正定当且仅当A可逆(此时A'A可逆半正定故正定).

初等矩阵都是可逆矩阵, 其乘积仍可逆.

故此时可以保证正定.

c好像不对吧，任意的A的顺序主子式全大于零，c

不符合

因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:

设有二次型

,如果对任何x

0)

，则称f(x)

为正定（半正定）二次型。

令A为

阶对称矩阵，若对任意n

维向量

x0都有

＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n

n维向量

x≠0

,都有

＜0（≤

0），

则称A负定（半负定）矩阵。

例如，单位矩阵E

就是正定矩阵。

二．

正定矩阵的一些判别方法

由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：

1.n阶对称矩正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。阵A正定的充分必要条件是A的

n个特征值全是正数。

证明：若

，则有

∴λ＞0

反之，必存在U使

这就证明了A正定。

由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。

2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

证明：A正定

二次型

正定

A的正惯性指数为n

3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在

n阶可逆矩阵U使

；进一步有

（B为正定（半正定）矩阵）。

令则

令则

反之，

同理可证A为半正定时的情况。

4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素

∴是正定二次型

的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有

∴∴A正定

∴存在可逆矩阵C

，使

5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的

n个顺序主子式全大于零。

证明：必要性：

设二次型

是正定的

对每个k,k=1,2,…,n,令

，现证

是一个k元二次型。

∵对任意k个不全为零的实数

，有

∴是正定的

∴的矩阵

是正定矩阵

即即A的顺序主子式全大于零。

充分性：

对n作数学归纳法

当n=1时，

∵，

显然

是正定的。

设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。

令，

∵A的顺序主子式全大于零

∴的顺序主子式也全大于零

由归纳设，

是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使

令∴

再令

，有

令，

就有

两边取行列式，则

由条件

得a＞0

显然

即A合同于E

，∴A是正定的。

矩阵正定是什么意思？

证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使

正定矩阵是一个定义在数学领域的重要概念，通俗的说，矩阵正定是指它所对应的二次型在某些条件下为正，这些条件通常是矩阵的各个特征值均为正数。为简化解释，我们以一个二阶矩阵为例，若其行列式大于零且主对角线上的元素也都大于零则该矩阵就是正定的。

正定矩阵的定义和性质也为数学理论的发展提供了重要的支持。研究正定矩阵的结构和性质可以帮助我们深入理解实际问题中的线性代数和优化问题，也为未来数学理论的发展提供了可能性。

正定矩阵在各个领域都有着广泛的应用。在计算机科学中，正定矩阵常常被用来作为搜索算法、优化算法中的约束条件。在统计分析中，正定矩阵则被用来描述样本的协方矩阵，进而推导出很多和方分析有关的理论。此外，在量子力学和能量场理论等领域，正定矩阵也经常作为显著的工具被广泛应用。

正定矩阵有许多值得注意的性质。首先，正定矩阵一定可以通过相似变换被对角化，而且对角化后的对角矩阵中的元素均为正数。其次，在此基础上可以证明正定矩阵具有的平方根矩阵，从而可以构建出的一组正交基。此外，正定矩阵也有一些与行列式和逆矩阵有关的性质，比如说正定矩阵的行列式必须为正数，且正定矩阵存在的逆矩阵。

如何判断一个矩阵是正定、负定还是半正定？

。证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定

特征值全为正数的矩阵为正定矩阵。反之，特征值全为负数的矩阵为负定矩阵。

转置AX>0

任意给一个对称阵，做他的特征分解：，那么，。这里，由于是一个正交阵，则为的一个线性变换。考虑到定义中具有任意性，显然也具有任意性。令，即原定义等价于分析是否存在任意的，使得恒成立。

2.也就是说，【重要结论一】分析对称阵的正定性，等价于分析其特征值对角阵的正定性。

3.为了叙述方便，记。容易知道，特征值对角阵是正定阵必须要求所有特征值为正，半正定则要求所有特征值非负。关键在于正定性定义中具有任意性。

4.若存在某个特征值，显然可以构造（第i位是1），则，则违背了正定性定义。由反证法容易知道【结论二，也就是正定性和特征值关系】正定必须所有特征值为正，也就是特征值均为正。同理可以证出，半正定要求特征值必须非负。

什么是对称正定矩阵

对于任一个非零向量X，都有

问题一：对称正定矩阵的性质 若n阶矩阵A为对称正定矩阵，则有：det(A)>0，A^T=A，且A的顺序主子式det Ak>0，k=1,2,...,n（注：此处及以下的‘k’均为下标）

问题二：正定矩阵一定是对称矩阵吗？ 线性代数范围内是的

这是因为矩阵的正定来自于二次型的正定

而二次型的矩阵都是对称矩阵

丹以正定矩阵是对称矩阵

问题三：举个对称正定矩阵的例子 最简单的例子：单位矩阵

E＝

1 0 0

0 1 0

0 0 1

单位矩阵就是对称正定矩阵。证明也很简单，

X'EX=X'罚＝|X|^2>0，只有当X=0向量时，X'EX才等于0，

所以是正定矩阵。

如果你想找一个复杂点的，那你用任意一个3阶可逆矩阵A，让它与它的转置矩阵A'相乘，得到的矩阵就是一个3阶对称正定矩阵。

问题四：正定矩阵是否一定是对称阵 不要听别人胡扯了，书上先研究二次型，二次型矩阵是对称的，然后才有正定的概念。你去翻考研的真题，或者真题解析，里面有要证明是正定的，我记得很清楚，要先证其对称性。而且解析上还特意提了一句，当年N多人没证明其对称而失分。

问题五：正定矩阵是否必为实对称阵 是的。

你回去看书，正定矩阵的定义是建立在对称矩阵的基础上的：

对称矩阵A对任意非零见大学教材〈高等代揣〉线性代数向量x，满足x'Ax>0，则定义A正定。

然后对称矩阵是实矩阵的时候，满足上边定义我们叫他“正定矩阵”

A=A’是复矩阵的时候，满足x'Ax>0(这里的打撇代表共轭转置，共轭用电脑不好打)，叫做“正规矩阵”。

可见大学阶段提到正定阵，都是实对称的。

μ_min 问题七：什么叫正定矩阵 正定矩阵

设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

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矩阵正定性的性质和判别

一、正定矩阵有以下性质：

1、正定矩阵的行列式恒为正；

3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；

4、两个正定矩阵，且的和是正定矩阵；

5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

二、判定的方法：

根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的1、矩阵是一个表格，行数和列数可以不一样；而行列式是一个数，且行数必须等于列数。只有方阵才可以定义它的行列式，而对于长方阵不能定义它的行列式。正定性有两种方法：

2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

正定矩阵在相合变换下可化为规范型， 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米特矩阵）是正定矩阵，其等价条件是：

1、AA是半正定的；

2、AA的所有主子式均为非负的；

3、AA的特征值均为非负的；

5、存在秩为r的r×n实矩阵BB，使A=B'BA=B′B。

正定二次型是什么? 怎样判定一个二次型是正定的?

定义：设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)＞0,则称此二次型为正定二次型,并把其对称矩阵A称为正定矩阵.

正定二次型的判别方法:

a）：二次型标准形中n个系数都现取一组不全为0大于零,则其为正定；

b）：二次型的对称矩阵A的n个特征值大于零,则其为正定；

c）：对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于零,则其为正定.

注：设A为n阶方阵,则位于A的左上角的1阶,2阶,...,n阶子式,

即：称为A的各阶顺序主子式.

例1：判别二次型的正定性.

方法一：利用二次型的对称矩阵的特征值来判断.

先写出二次型的矩阵:

由于:

可得其全部特征值:＞0,＞0,＞0

故此二次型为正定二次型.

方法二：利用二次矩问题一：什么是正定矩阵 A是n阶实矩阵，x是n维实的列向量。如果对任何非零的x，x^TAx>0，那么称A是正定矩阵，注意这里x^TAx是一个实数(1x1矩阵)。阵的各阶顺序主子式来判定.

由于此二次型的矩阵为:

因为它的个阶顺序主子式:＞0,＞0,＞0

故此二次型为正定二次型.

除了正定二次型外,还有其他类型的二次型.

定义：设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)＜0,则称此二次型为负定二次型,对称矩阵A称为负定矩阵；如果都有f(x)≥0,则称此二次型为半正定二次型,并称其矩阵为半正定矩阵；如果都有f(x)≤0,则称此二次型为半负定二次型,并称其矩阵为半负定矩阵.

矩阵如何判断是正定，负定？

阶对称矩阵，若对任意

如果任一非零实向量X，都使二正定矩阵还可以用于解决线性方程组。通过将线性方程组的系数矩阵转化成正定矩阵，可以保证解的性和稳定性。这个方法在很多求解实际问题中都被广泛应用。次型f（X）=X的转置AX>0，则我们说f（X）为正定二次型，f（X）的矩阵A称为正定矩阵。

追问：

是什么意思

回答：

你要判定矩阵是正定或者负定只需要看您的矩阵是否（所有的顺序

式全大于零）就行了

希望您能采纳

采纳哦

什么是正定矩阵，正定矩阵一定可以对角化吗？

正定矩阵一定可以对角化

判断方阵是否可相似对角化的条件：

(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化；

扩展资料

实对称矩阵的主要性质：

1扩展资料：、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量；对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、若λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。