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什么是三线合一

三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适），但是，等边三角形也属于等腰三角形！

等边三角形三线合一（等边三角形三线合一指的是哪三条线）等边三角形三线合一（等边三角形三线合一指的是哪三条线）


等边三角形三线合一（等边三角形三线合一指的是哪三条线）


等边三角形三线合一（等边三角形三线合一指的是哪三条线）


等边三角形三线合一（等边三角形三线合一指的是哪三条线）


用）。

等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线相互重合

在△ABD和△ACD中：

{ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）

{ AB=AC（等腰三角形的性质)

｛ AD=AD（公共边）

∴△ADB≌△ADC（SSS）

可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC (全等三角形对应角相等）

∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180°（平角定义）

∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）

∴AD⊥BC

同理，若△ABC为等边三角形，结论同样成立。

得证

应用

1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC

∴AD⊥BD,AD平分∠BAC

2.∵AB=AC,AD⊥BC

∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC

3.∵AB=AC,AD平分∠BAC

∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC

逆命题

① 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

三线合一证明辅助线

② 如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

③ 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

①AD⊥BC于D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中线

（1）若以①②为条件，求证AB=AC。理由如下：

∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD(ASA)

∴AB=AC

（2）若以②③为条件，求证AB=AC。理由如下：

∵AD是BC中线，

∴S△ABD=S△ACD，

作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

又∵AD平分∠BAC，

∴DE=DF，

∴AB=AC（等底等高）

（3）若①③，求证AB=AC。理由如下：

∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD，

∴AB=AC

等边三角形三线合一几何语言？

三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适），但是，等边三角形也属于等腰三角形！

用）。

等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线相互重合

等边三角形的三个内角的角平线重合在一点，这三条线相等吗 理由

三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适），但是，等边三角形也属于等腰三角形！

用）。

等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线相互重合

在△ABD和△ACD中：

{ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）

{ AB=AC（等腰三角形的性质)

｛ AD=AD（公共边）

∴△ADB≌△ADC（SSS）

可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC (全等三角形对应角相等）

∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180°（平角定义）

∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）

∴AD⊥BC

同理，若△ABC为等边三角形，结论同样成立。

得证

应用

1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC

∴AD⊥BD,AD平分∠BAC

2.∵AB=AC,AD⊥BC

∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC

3.∵AB=AC,AD平分∠BAC

∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC

逆命题

① 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

三线合一证明辅助线

② 如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

③ 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

①AD⊥BC于D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中线

（1）若以①②为条件，求证AB=AC。理由如下：

∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD(ASA)

∴AB=AC

（2）若以②③为条件，求证AB=AC。理由如下：

∵AD是BC中线，

∴S△ABD=S△ACD，

作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

又∵AD平分∠BAC，

∴DE=DF，

∴AB=AC（等底等高）

（3）若①③，求证AB=AC。理由如下：

∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD，

∴AB=AC

证明

已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

等腰三角形ABC(AB=AC)

.

在△ABD和△ACD中：

{ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）

AB=AC(等腰三角形的性质)

AD=AD（公共边）

∴△ADB≌△ADC（SSS）

可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等）

∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180度（平角定义）

∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）

∴AD⊥BC

得证

“三线合一”能用在等边三角形上吗？

三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适），但是，等边三角形也属于等腰三角形！

用）。