理解垂心：直线和圆的交点的特殊点

垂心是什么？

理解垂心：直线和圆的交点的特殊点

理解垂心：直线和圆的交点的特殊点

垂心是一个几何概念，是指从一个三角形的顶点画到它的对边上的垂线的交点。因此，三角形有三个垂心，分别对应三个顶点。

垂心的性质

垂心的位置可以通过三角形的重心、中点和三边中点的连线来确定。具体来说，垂心具有以下性质：

垂心是三角形重心到任意一边的垂线与该边的中点的连线的中点。 垂心是三角形中点连线（中线）与从顶点到对边的中点的连线（中垂线）的交点。 三个垂心共线，这条直线称为欧拉线。

垂心的应用

垂心在几何学中具有广泛的应用，例如：

求三角形的面积：垂心距离三角形一边的长度等于三角形的面积乘以 1/3。 求三角形的周长：三个垂心到三角形一边的距离之和等于三角形的周长。 求三角形的内切圆半径：三角形的内切圆圆心就是垂心。 求三角形的旁心：三角形的旁心是三角形的垂心与三角形的三个顶点相连形成的圆的圆心。

例题

已知三角形 ABC 的 A 点坐标为 (2, 3)，B 点坐标为 (5, 1)，C 点坐标为 (7, 5)。求该三角形的垂心坐标。

解答：

求中点：中点 M 为 ((2+5)/2, (3+1)/2) = (3.5, 2) 求重心：重心 G 为 ((2+5+7)/3, (3+1+5)/3) = (4.67, 3) 重心到 AB 中点的垂线方程：y - 2 = -(3/2)(x - 3.5) 中垂线方程：y = (-3/2)x + 11/2 解方程组得垂心 H 为 (5, 4)