傅里叶变换的特性1 傅里叶变换具有的特性

傅里叶变换

当白色的光经过三菱镜的时候，就会分解成七色光。这就是一种傅里叶变换，将白色光分解成其中颜色的光，逆变换是七色光合成白色光。

傅里叶变换的特性1 傅里叶变换具有的特性

傅里叶变换的特性1 傅里叶变换具有的特性

傅里叶变换的特性1 傅里叶变换具有的特性

光是具有波粒二象性，所以我们可以认为光是波，那么，他的函数就是 , 其中 表示频率, 每一种颜色的光都是一个正弦波函数，所以白色光的函数表示就是:

我们看到的是7色光，而实际上是无穷多光，所以标准的表达式:

我们能够同时听到各种各样的声音，但是，我们的大脑弄将噪音剔除，而听清楚人的说话声音。这个过程与七色光是类似的。每一个声音都是一个波，那么，大脑将声音分解出来，将自己不想听的声波过滤掉，就是滤波，那么，就能够从混合的声音中听清楚想要的声音了。

前面所说的例子，都涉及到一个作，就是变换，这种变换就傅里叶变换，将一个函数分解成若干个函数的线性组合。

先从傅里叶级数入手。对于任意一个周期函数 其周期为 , 其可以分解成如下:

为什么是上面的公式？从几个方面来解释, 1. 周期 2. 函数分解 3. 函数的基

因为 的周期是 , 所以，我们选择的函数，需要也是周期是 , 在上面的式子中, 的最小周期是 ， 因为其最小周期是 ，所以 也是其周期。

例如

通过上面的解释，我们知道 和 都是满足周期是 的。

任何一个函数都能够分解成一个奇函数和一个偶函数的和。

因为

所以 是奇函数; 同理可以证明 是偶函数。

在介绍函数的基，先看看向量基，这是我们熟悉的事情。对于直角坐标系任意点

都可以通过两个基本向量来表示, 分别是 和 , 也就是:

三维的也同样,

在向量空间，我们将 , 称作基向量，而任何一个向量都可以通过基向量的线性组合来表示出来。

那么，函数能否有类似的这样一组基来表示成函数基的线性组合呢？如果能够表示成基的线性组合，那么函数的分解这个问题也就解决了？

看看向量基具备的特性，然后，我们在仿照来寻找函数基.

向量满足正交性。也就是

顺便说一下, 其实代表了两个向量的相似度，正交基是垂直的所以相似度为0.

根据向量的正交性，可以推断出函数的正交性是满足

现在来考察 , 为了简单起见，令 , 考察 区间, 这样就是看 与 .

所以与向量的正交性定义是一致的，所以认为 与 是正交的。

同样的方式，可以证明以下是正交的:

所以， 是正交的，这也就是我们看到的傅里叶表达式，可以通过 这三个正交基来线性组合表达的方式。

有了函数正交基的概念，求解系数就变得非常容易，因为相互正交的积分为0, 自己与自己正交为 。先求解

为了简单，我们设 , 对 两边同时乘以正交基 并积分。如下:

所以有

同理也可以推导出

对于 来说，乘以 后做积分即可。

可以看出每一个系数实际就是 乘以 其相应正交基的积分。

上面是设 ，那么，去掉这个限制，用 来表示，就是如下:

求 的傅里叶级数，当 .

依据公式，求得:

, ,

所以

令 , 有

所以有:

这么神奇的级数和。

欧拉公式:

通过欧拉公式，变换得到:

带入到傅里叶级数中有:

通过上面的等式，也可以得出:

现在复数域上傅里叶变换的表达式就是:

在这种变化下，正交基是 与 。也就是:

当 时,

当 时,

所以也是符合符合正交基的定义的。有了正交基，计算 就方便了，两边乘以 积分即可。所以有:

前面的计算是设 , 更通用的公式是:

傅里叶级数将函数从时域转换到频域。我们将傅里叶级数稍稍变化一下写法，以向量的形式写出来。就是:

我们将系数向量单独看，也就是说任何一个函数 , 如果，我们知道了系数向量也就知道了 , 因为函数基的向量都是一样的，每一个函数基又是周期函数，所以频率就代表了这个函数基，这样周期函数组成的函数基空间，就是频域。可以用下面的式子来表达:

是 的 傅里叶级数变换; 是 的逆变换。如果讲 以 为坐标系绘制成图像，就是频谱。

目前为止，我们使用了两种变换，分别是实数域变换和复数域变换，变幻出了不同的系数。那么，这些系数有什么含义？

在正弦函数基变化下，我们知道对于 其中, 是振幅，也就是代表了正弦波的能量。所以不论在哪种分解下，都是能量在不同的维度上的分解。

对于复数域上:

其中 表示 的共轭。

所以这些系数也可以看做是能量。上面的推导，也叫: 帕塞瓦。

前面的傅里叶级数是基于周期是 的周期函数变换而来。那么对于非周期函数如何解决呢？ 可以将其转化成 的函数来看待。为了方便，我们设周期 .

令

将以上带入 有:

令:

有:

这与傅里叶级数的形式是一样的（一个是积分一个是求和）, 是函数基。 的傅里叶变换就是 , 是 的傅里叶逆变换， 。 就是频率曲线。

绘制出来是频谱，那么 就是曲线。

这幅图很好的说明了这个过程:

, 那么 的傅里叶变换 是什么呢？直接计算:

所以 。这个性质在解微分方程的时候，非常方便。

帕塞瓦定理:

卷积的傅里叶变换。 卷积作的傅里叶变换推导:

所以 和 的卷积的傅里叶变换就是， 独自傅里叶变换的乘积。

在实际的情况中，我们很难获得连续的值，那么，就通过等间距采样来获得信号数据。那么，离散的采样回来的数据，如何进行傅里叶变换？这就是 离散傅里叶变换 D.F.T。

设采样了 个等间距的点, 获得数据是 ，令 , 离散傅里叶变换的表达式如下:

令 , 就有:

上面的的式子可以写成矩阵的形式:

这就是离散傅里叶变换。那么，离散傅里叶变换的逆变换如何计算呢？ 就是对变换矩阵 求逆矩阵即可。

到此已经将傅里叶级数，傅里叶变换，离散傅里叶变化 以及 傅里叶变换的卷积相关性质介绍完毕。

傅里叶变换的意义和理解

傅里叶变换的意义和理解如下：

意义：

傅里叶变换是数学中最深刻的见解之一，但不幸的是，它的意义深埋在一些枯燥的方程中。

我们都知道傅里叶级数是一种可以把任意周期函数分解成一堆正弦波的方法。和往常一样，这个名字来自一个生活在很久以前的人，他叫傅里叶。在数学术语中，傅里叶变换是一种将信号转换成频率的技术，即从时域到频域的变换方法。傅里叶变换不仅广泛应用于信号(电、声学等)处理，而且在图像分析中也有广泛的应用。如边缘检测，图像滤波，图像重建，图像压缩。为了更好地理解它，考虑一个信号x(t):

如果我们对另一个信号做同样的处理：在同一时刻测量它的振幅。考虑另一个信号y(t):

当我们同时触发这两种信号或者把它们加在一起时会发生什么？

当我们在同一时刻发出这两个信号时，我们会得到一个新的信号，它是这两个信号的振幅之和。因为这两个信号被叠加在一起了。对两个信号求和：z(t) = x(t) + y(t)

如果我们只有一个信号(x(t)和y(t)的叠加信号）我们能分离出x(t)和y(t)吗？

是的。这就是傅里叶变换的作用。它接收一个信号并将其分解成组成它的频率。在我们的例子中，傅里叶变换可以将信号z(t)分解成它的组成频率：信号x(t)和y(t)。

理解：

傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

阐述信号与系统中三大变换（即傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换）的关系！ 请高手解答 ！！

先说一下三个变换的定义，写一下公式（包括逆变换）

然后说关系：

傅立叶变换是最基本得变换，由傅里叶级数推导出。傅立叶级数只适用于周期信号，把非周期信号看成周期T趋于无穷的周期信号，就推导出傅里叶变换，能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须可积，因此适用范围不广。

拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换不适用于指数级增长的函数，而拉氏变换相当于是带有一个指数收敛因子的傅立叶变换，把频域推广到复频域，能分析的信号更广。然而缺点是从拉普拉斯变换的式子中，只能看到变量s，没有频率f的概念，要看幅频响应和相频响应，还得令s=j2πf

Z变换的本质是离散时间傅里叶变换（DTFT），如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号，那Z变换就是专门分析数字信号，Z变换可以把离散卷积变成多项式乘法，对离散数字系统能发挥很好的作用。Z变换看系统频率响应，就是令Z在复频域的单位圆上跑一圈，即Z=e^(j2πf)，即可得到频率响应。由于傅里叶变换的特性“时域离散，则频域周期”，因此离散信号的频谱必定是周期的，就是以这个单位圆为周期，Z在单位圆上不停的绕圈，就是周期重复。单位圆0°位置是实际频率0HZ，单位圆180度的实际频率就是采样频率的一般,fs/2.

考试题目看分数多少，压轴大题的话，就多写点，自己再展开细化一下，我上面也只是点到为止，但内容基本上就是这些。

傅里叶变换的频移特性

某信号在时域中乘以复指数e^jω0t，相当于频域中频谱右移ω0。

某信号在时域中乘以复指数e^-jω0t，相当于频域中频谱左移ω0。

可以这样理解，任意周期信号都是由无数的旋转角速度（ω）不同的旋转向量线性叠加。

时域上乘以复指数函数e^jω0t，相当于所有旋转向量的旋转速度都增加了ω0，旋转角速度变为ω+ω0。

傅里叶变换

1. 傅里叶变换的基本原理

遥感图像像元 DN 值随空间位置变化的特性可用频率来进行描述。DN 值的空间变化频率特征可看作为由具有不同频率、振幅和相位的许多正弦波或余弦波叠合而成的复杂波形。一般而言，短距离内的亮度变化 ( 线条或边缘) 相当于高频波，而长距离或大范围内的变化 ( 背景) 则相当于低频波。

图像的傅里叶 ( Fourier) 变换是空间频率的函数，构成一个描述组成该图像的所有正弦波的频率、振幅与相位关系的频谱 ( 傅里叶谱) 。图像的傅氏变换包含着原图像中的所有信息，不同的是量度的方式。通过傅氏变换，可对原图像数据从频率的角度进行频谱特征调整，并可通过傅氏反变换得到最终图像而实现预期目的。

2. 傅里叶变换的基本性质

傅里叶变换具有线性性质、比例变换性、位移性、周期性、共轭对称性，并服从卷积定理，同时，二维傅里叶变换具有可分离性，即二维傅里叶变换可先后分别沿 x 和 y ( μ和 ν) 两个方向进行运算。

傅氏变换后的傅氏频谱 ( 振幅) 图像是以 | F ( 0，0) | ( 零频相，常称 DC 项) 为中心呈辐射对称的，傅氏频谱图像中任意一点到原点的距离代表该点空间频率的高低，而该点与原点连线的方位角反映了原图像中线性特征信息的方向。

离散傅里叶变换的基本性质

1.线性性质

如果X1（n）和X2(N)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2，且Y(N)=AX1(N)+BX2(N)

式中A,B为常数，取N=max[N1,N2]，则Y(N）地N点DFT为

Y(K)=DFT[Y(N)]=AX1(K)+BX2(K), 0≤K≤N-1;

2.循环移位特性

设X(N)为有限长序列，长度为N，则X(N)地循环移位定义为

Y(N)=X((N+M))下标nR（N）

式中表明将X(N）以N为周期进行周期拓延得到新序列X'(N)=X((N))下标n，再将X'(N）左移M位，取主值序列得到循环移位序列Y(N)

周期信号的傅里叶分解有什么特点

周期信号的傅里叶分解特点：根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。

傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦(余弦)信号组合而成，是将函数向一组正交的正弦、余弦函数展开，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦(余弦)信号中振幅较大(能量较高)信号对应的频率。

应用

尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似。

1的傅里叶变换是什么？

1的傅里叶变换是2πδ（t）。

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合，在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换，最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

相关内容：

在数学领域，尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。

"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：

1、傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子。

2、傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似。

3、正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方。