三角形三边的关系 外接圆半径和三角形三边的关系

三角形的三边之间有怎样的关系

直角三角形如图所示：分为两种情况，有普通的直角三角形，还有等腰直角三角形（特殊情况)在直角三角形中，与直角相邻的两条边称为直角边，直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”。

在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之小于第三边。

三角形三边的关系 外接圆半径和三角形三边的关系

三角形三边的关系 外接圆半径和三角形三边的关系

(a+b+c)(a+b-c)=2(a+b+c)r

直角三角形中三边的关系是：

两条直角边的平方和等于斜边的平方。

锐角三角形中三边的关系是：

任意两条边的平方和大于第三边的平方。

夹钝角的两条边的平方和小于第三边的平方。

直角三角形重心与边的关系?

内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.

外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.

重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.

垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似.

旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.

（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；

（2）外心扫三顶点的距离相等；

（3）垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点构成的三角形的垂心；

（4）内心、旁心到三边距离相等；

（6）外心是中点三角形的垂心；

（7）中心也是中点三角形的重心；

（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.

三（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心,它是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等.角形的五心

重心定理：三角形的三条中线交于一点∴∠BCD>∠D,这点到顶点的

离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.

垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.

旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.

上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现,欧几里得除垂心定理外,均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里,但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多结论表明,遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽

三角形三条边的关系

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.

1、教材分析

(1)知识结构

(2)重点、难点分析

本节内容的重点是三角形三边关系定理及推论.这个定理与推论不仅给出了三角形的三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准；熟练灵活地运用三角形的两边之和大于第三边，是 数学 严谨性的一个体现；同时也有助于提高学生全面思考 数学 问题的能力；它还将在以后的 学习 中起着重要作用.

本节内容的难点一是三角形按边分类，很多学生常常把等腰三角形与等边三角形看成的两类，而在解题中产生错误.二是利用三角形三边之间的关系解题，在 学习 和应用这个定理时，“两边之和大于第三边”指的是“任何两边的和”都“大于第三边”而学生的错误就在于以偏概全；分类讨论在解题中也是学生感到困难的一个地方.

没有学生参与的教学是不成功的教学，教师为了充分调动主体参与，必须在为学生提供必要的背景知识的前提下，与学生一道探索定理在结构上、应用上留给我们的启示.具体说明如下：

(1)强化能力

新课引入，先让学生阅读教材部分，然后通过回答教师设计的几个问题，使学生明确对三角形按边分类，做到不重不漏，其中等腰三角形包括等边三角形，反过来等边三角形是等腰三角形的一种特例.

通过阅读，使学生初步认识 数学 概念的含义，发现疑难；理解领会 数学 语言（文字语言、符号语言、图形语言），促进 数学 语言内化，从而提高学生的 数学 语言水平、自学能力及交流能力

(2)主动获取

在得出三角形三条边关系定理过程中，针对基础比较好的学生，让学生考虑回忆第

一册章中学过的这条公理并给出证明，在这个基础上，让学生把定理的内容叙述出来.（3）激荡思维

由定理获得了：判断三条线段构成一个三角形的一种方法，除了这一种方法外，是否还有其它的判断方法呢？从而激荡起学生思维浪花：方法是什么呢？学生最初可能很快得到“推论”，此时瓜熟蒂落，顺理成章地引出教材中的推论.在此基础上，让学生通过讨论，简化上述两种方法，由此得到下面两种方法.这里，学生若感到困难，教师可适当做提示.方法3：已知线段 ， （ ）,若第三条线段c满足 - c则线段 , ,c可组成一个三角形.教学中采用这种教学方法可培养学生分析问题探索问题的能力，提高学生对 数学 知识结构完整性的认识.

（4）加深理解

进行必要的例题讲解和适当的解题练习，以达到熟练地运用定理及推论.从过程中让学生体味到 数学 造化之神奇.也可适当指出，此定理及推论不仅提供了判定三条线段是否构成三角形的根据，也为今后解决字母取值范围问题提供了有利的依据.

整个 教学过程 ，是学生主动参与，教师及时点拨，学生积极探索的过程， 教学过程 跌宕起伏，问题逐步深化，学生思维逐步扩展，使学生在愉快、主动中得到发展.

教学目标 ：

(1)掌握三角形三边关系定理及其推论，会根据三条线段的长度判断他们能否构成三角形；

(3)通过三角形的分类 学习 ，使学生知道分类的基本思想，提高学生归纳概括的能力；

(4)通过三角形三边关系定理的 学习 ，培养学生转化的能力；

(5)通过等边三角形是等腰三角形的特例，渗透一般与特殊的辩证关系.

教学重点 ：三角形三边关系定理及推论

教学难点 ：三角形按边分类及利用三角形三边关系解题

教学用具 ：直尺、微机

教学方法 ：谈话、探究式

教学过程 ：

1、阅读新课，回答问题

先让学生阅读教材的部分，然后回答下列问题：

(1)这一部分教材中的 数学 概念有哪些？（指出来并给予解释）

(2)等腰三角形与等边三角形有什么关系？

估计有的学生可能把等腰三角形和等边三角形看成的两类.

(3)写出三角形按边的相等关系分类的情况.

(要求学生之间可互相补充，从一开始就鼓励若时间宽裕，让学生经讨论后自由表述，其他同学补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构.双边交流与多边交流)

2、发现并推导出三边关系定理

问题1：用长度为4cm、 10cm 、16cm的线绳（课前准备好的）能否搭建一个三角形？（让学生动手作）

问题3：任何三条线段都能组成一个三角形吗？满足什么条件时，三条线段可组成一个三角形？

定理：三角形两边的和大于第三边

（发现过程采用小步子原则，让学生在不知不觉中发现 数学 中的真理）

3、导出三边关系定理的推论及其它两种方法

估计学生很容易得到推论，让学生用自己的语言叙述，教师稍加整理后给出规范叙述.

推论：三角形两边的小于第三边

能否简化上面定理及推论？从而得到如下两种判定方法：

(1)、已知线段 ， （ ）,若第三条线段c满足 - c则线段 , ,c可组成一个三角形.

4、三角形三边关系定理及推论的应用

例1 判断题：（出示投影）

(1)等边三角形是等腰三角形

(2)三角形可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形

(3)已知三线段 满足 ,那么 为边可构成三角形

(4)等腰三角形的腰比底长

（本例主要考察学生对概念、定理及推论的理解程度，不要求做在本上，只需口答即可）

（本例要求学生说出解题思路，教师点到为止）

例3 一个等腰三角形的周长为18 .

(1) 已知腰长是底边长的2倍，求各边长.

(2) 其中一边长4 ，求其他两边长.

这是一道有课堂练习性质的例题，允许学生有3分钟左右的思考，允许想出来的同学表达自己的想法，其它同学补充完善.

（ 数学 教师的课堂教学应该是敢于放手，尽可能多地给学生创造展示自己的思维空间和时间）

例4 草原上有4口油井，位于四边形abcd的4个顶点，

如图1现在要建一个维修站h，试问h建在何处，

才能使它到4口油井的距离ha+hb+hc+hd为最小，

说明理由.

本例有一定的难度，给出的方法是解决此类型问题常见的极为简捷的方法，略微构造就可以使用三角形三边关系定理得出.

5、小结

本节课我们 学习 了三角形三边关系的定理和推论，还知道了定理和推论的一系列灵活运用：

(1)判断三条已知线段能否组成三角形

采用一种较为简便的判法：若最短边与较长边的和大于最长边，则可构成三角形，否则不能.

(2)确定三角形第三边的取值范围

两边之＜第三边＜两边之和

6、布置作业

a. 书面作业 p41＃8、9

b. 思考题：1、在四边形abcd中，ac与bd相交于p，求证：

（ab+bc+cd+ad）＜ac+bd＜ab+bc+cd+ad

2、用15根等长的火柴棒摆成的三角形中，最长边最多可以由几根火柴棒组成？（提示：由上面方法2，a+b+c>2a 又a+b+c<3a得出a的范围，所以可知最多可以由7根火柴棒组成）

板书设计 ：

三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系

由前面得到了判断所给三条线段能否组成三角形的一个依据.那么是否还有其它方法呢？请同学们在定理的基础上来找：

设三边长分别为a,b,c,设p=(a+b+c)/2,三角形面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c),

外接圆半径R=abc/4S

内心连结各顶点，得三个角形，高为内切圆半径。其面积性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。之和等于大三角形面积，

S=r(a+b+c)/2,r=2S/(a+b+c)

内接圆：S（三角形）=0.5（a+b+c）r

三角形的三边之间有怎样的关系

三角形三边关系

在一个三角形中，已知：Rt△ABC中∠C=90°，内切圆⊙O分别切AB、BC、CA于D、E、F任意两边之和大于第三边，任意两边之小于第三边。

直角三角形

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

（1） AD^2=BD·DC，

（2） AB^2=BD·BC ， 射影定理图

（3） AC^2=CD·BC 。 等积式 （4）ABXAC=ADXBC (可用面积来证明） (5)直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC,

(6)直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.(公式一)；r=ABAC/(AB+BC+CA)(公式二)

在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之小于第三边。

直角三角形中三边的关系是：

两条直角边的平方和等于斜边的平方。

锐角三角形中三边的关系是：

任意两条边的平方和大于第三边的平方。

夹钝角的两条边的平方和小于第三边的平方。

三角形三边关系公式三角函数是什么？

（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心,或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

三角形三边关系公式三角函数为sinA=a/c；cosA=b/c；tanA=a/b，三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的与一个比值的的变量之间的映射。

一 定理

三角函数特点：

是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

三角形两边之与第三边的关系

2、教法建议

在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之小于第三边。设三角形三边为a,b,c，则a+b>c,a>c-b；b+c>a,b>a-c；a+c>b,c>b-a。

(2)弄清三角形按边的相等关系的分类；

证明过程如下：

如图，任意△ABC，求证AB+AC>BC。

证明：在BA的延长线上取AD=AC

则∠D=∠ACD（等边对等角）

∵∠BCD>∠ACD

∵BD=AB+AD=AB+AC

∴AB+AC>BC

特殊三角形的三边关系：

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

直角三角形的三边关系？

（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心.

直角三角形30度角三边关系介绍如下：

直角三角形三边关系有：

1、三角形两边之和大于第三边，两边之小∴BD>BC（大角对大边）于第三边。

2、在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

3、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

4、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

6、等底同高的三角形面积相等。

7、底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。

8、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

9、等腰直角三角形三边之比为1:1:根号二。

以30度做为基准,对边是斜边的一半,是邻边的三分之根号三。

直角三角形（right ）是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种。其符合勾股定理，具有一些特殊性质和判定方法。

判定定理

等腰直角三角形是一种特殊的三角形。

等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：具有稳定性、内角和为180°。两直角边相等，两锐角为45°，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R。

三角形三边关系

三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之小于第三边。若两条较短边的和小于最长边，则不能构成钝角三角形中三边的关系是：三角形。 扩展资料 三角形按边分为等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形，有着稳定、坚固、耐压的特点。三角形的`结构在工程上有着广泛的应用，许多建筑都是三角形的结构。

直性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。角三角形

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

等腰直角三角形

三边之比：1：1：根号二

直角三角形的内切圆半径与三边关系公式怎么证明？

教师板书给出.

求证：⊙O半径=(a+b-c)/2

证明：∵⊙O切AB、BC、CA于点D、E、F，

由切线长定理得：AE=AF、BD=BF，∴AC+BC-AB=AE+CE+BD+CD-AF-BF=CD+CE

∵四边形CDOE中，∠C=∠CDO=∠CEO=90°且OD=OE，

∴四边形CDOE是正方形，CD=CE=OD，

∴⊙O半径OD=CD=(AC+BC-AB)/2=(a+b-c)/2，证毕。

设Rt△ABC的两直角边分别为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，则有

证明 如图1，设圆I切Rt△ABC三边于D、E、F，连结ID、IE．

易得IDCE是正方形．

∴2r=CD＋CE=(a-BD)+(b-AE)=a＋b-(BF＋AF)=a＋b-c，

在有关直角三角形的一些问题中，应用这个公式来解决非常方便

证明：

由等面积易得：ab=(a+b+c)r

即：(a+b)^2-a^2-5、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的4分之3。b^2=2(a+b+c)r

(a+b)^2-c^2=2(a+b+c)r

r=(a+b-c)/2

特殊直角三角形三边关系

三角形中三边的关系是：

特殊直角三角形三边关系是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种。其符合勾股定理，具有一些特殊性质和判定方法。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。平面上三条直线或球面上三条弧线所围（给每一个学生表现个人 数学 语言表达才能的机会）成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。