面面垂直的判定定理和性质定理_面面垂直的判定定理和性质定理图

面面垂直的判定定理是什么

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。求解定理为，已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP?α。求证：OP⊥β。

面面垂直的判定定理和性质定理_面面垂直的判定定理和性质定理图

面面垂直的判定定理和性质定理_面面垂直的判定定理和性质定理图

面面垂直的判定定理和性质定理_面面垂直的判定定理和性质定理图

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

2、如果两个平面相互垂直，那么经过个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在个平面内。求解定理为，已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。求证：AB?α。

应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内

3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。求解定理为，已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。求证：l⊥γ。

线面、面面平行和垂直的八大定理

性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。线面垂直；判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。）面面垂直：判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

扩展资料：

在三线八角中，构成同位角、内错角、同旁内角。它们都可以用来判断两直线是否平行：

1、两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线互相平行（简称“两直线平行，同旁内角互补”）。2、两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行（简称“两直线平行，内②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。错角相等”）。

3、两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线互相平行（简称“两直线平行，同位角相等”）。4、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。（此项可由1、2、3项推出）5、平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线推论）

参考资料一条直线(2)直线和平面所成的角与平面内的两条相交直线都垂直来源：

面面垂直的性质定理是什么？

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）

如果两个平面相互垂直，线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

如果两个平面相互垂直，那么经过个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在个平面内。

如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。

面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。

面面垂直的条件是什么

二、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

判定定理：一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直

性质定理：

1.若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

2.若两个平面垂直,则过个平面内任意一点证明面面垂直的方法 八、平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面。 #CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.,向另一平面作这条垂线必在个平面内

3.若两个平面垂直,则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直

高一数学必修一知识点：立体几何初步

直线在平面内——有无数个公共点.

(1)棱柱：

8、空间角问题

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

(5)圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线)

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

(4)球体的表面积和体积公式：V=;S=

5、空间点、直线、平面的位置关系

(1)平面

①平面的概念：A.描述性说明;B.平面是无限伸展的;

②平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③点与平面的关系：点A在平面内，记作;点不在平面内，记作

点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l;点A在直线l外，记作Al;

直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα;直线l不在平面α内，记作lα。

(2)公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。(即直线在平面内，或者平面经过直线)

应用：检验桌面是否平;判断直线是否在平面内。用符号语言表示公理1：

(3)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。

(4)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β=a。符号语言：

公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

(5)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

(6)空间直线与直线之间的位置关系

①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

说明：(1)判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定理

(2)在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。

(3)求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。

B、证明作出的角即为所求角

C、利用三角形来求角

(7)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

三种位置关系的符号表示：aαa∩α=Aa∥α

6、空间中的平行问题

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

线面平行线线平行

(2)平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(线面平行→面面平行)，

(2)如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。(线线平行→面面平行)，

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理(1)如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行→线面平行)

(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。(面面平行→线线平行)

7、空间中的垂直问题

(1)线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角)，就说这两个平面垂直。

(2)垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

(1)直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

①平面的平行线与平面所成的角：规定为。

②平面的垂线与平面所成的角：规定为。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

解题时，注意挖掘题设中两个信息：(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直;反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

(1)定义：如图，是单位正方体.以A为原点，分别以OD,O,OB的方向为正方向，

建立三条数轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1)O叫做坐标原点2)x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

(3)任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作(x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标)

平面垂直平面的判定定理

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

平面垂直平面的判定定理如下：

证明线面垂直的方法

一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

面面垂直判定定理推论：

推论1：如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。

推论2：如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面一、直线与平面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行。互相垂直。

面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。

面面垂直性质定理：

定理2：如果两个平面相互垂直，那么经过个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在个平面内。

定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

推论：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

定理4：如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）

推论：如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）。

面面垂直：

面面垂直定理是数学中经典的几何定理之一，它是欧氏几何中的基本定理之一，也是应用广泛的几何定理之一。面面垂直定理是初中数学中比较基础的定理，但是它在实际生活中的应用却非常广泛。

例如，在建筑工程中，设计师需要保证墙面、地面、天花板等构件之间的垂直关系，以确保建筑物的稳定性和美观性。此外，在计算机图形学中，面面垂直定理也被广泛应用于三维建模和渲染中，以保证图形的真实性和视觉效果。

面面垂直定理是数学中非常重要的一条几何定理，它在实际生活中的应用非常广泛。通过学习和理解这个定理，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高自己的数学素养和实践能力。

面面垂直性质定理证明

判定定理：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直。即一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

面面垂直的性质定理

在一个面中做一条垂直于两面交线的直线，则这条直线垂直于另一个面。

已知：平面α⊥β，α∩β＝l，m∈α且m⊥l

求四、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行。证：l⊥β

证明：那么这条直线和交线平行。线面平行 线线平行令m∩l=A,过点A在平面β内作直线n⊥l

∵m⊥l，n⊥l，α⊥β

∴由两平面垂直的定义，有m⊥对角线的点积：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BDn

又m⊥l，n，l∈β

∴由线面垂直的判定定理，l⊥β

高中立体几何要点

3.线面垂直的判定定理和性质定理（或定义）；

（1）平面

9、空间直角坐标系

① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

③ 点与平面的关系：点A在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作

点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作A l；

直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l α；直线l不在平面α内，记作l α。

（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

用符号语言表示公理1：

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据

（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：

公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

（6）空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理

（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。

②求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点．

三种位置关系的符号表示：a α a∩α＝A a∥α

（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β

相交——有一条公共直线。α∩β＝b

5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行 线面平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（线面平行→面面平行），

（线线平行→面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）

7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

9可以通过证明一个面中的一条直线垂直于另一个面换句话说 如果直线l垂直于平面α 那么所有包含直线l的平面都垂直于α、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为 。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线 ，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为 。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为 。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

证明线面垂直有几种方法？

线面平行；判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。面面平行；判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

1 线面垂直的判定定理

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

直线与平面内的两相交直线垂直

2 面面垂直的性质

若两平面垂直则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面

3 线面垂直的性质

两平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直

4 面面平行的性质

5 定③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。义法

直线与平面内任一直线垂直

一共有5种

立体几何证明平行和垂直的快速方法

平面与平面垂直的判定定理有哪些？

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

1、若两平面所交成的二面角为90°，则这两平面相互垂直。

(2)右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

2、若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面相互垂直。

3、若一个平面和两个平行平面之一垂直，则必与两平行平面的另一个垂直。

2、若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面相互垂直。

3、若一个平面和两个平行平面之一垂直，则必与两平行平面的另一个垂直。

4、如果N个互相平行的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体平面有一个垂直于一个平面，那么其余平面均垂直这个平面。

立体几何的八个判定定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

立体几定理1：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。何的八个判定定理如下：

三、平面与平面平行的判定定表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

五、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

六、直线与平面垂直的性质定理：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行。