数列极限的四则运算法则，你知道多少？

数列极限的四则运算法则

数列极限的四则运算法则如下：

数列极限的四则运算法则，你知道多少？

数列极限的四则运算法则，你知道多少？

当数列{an}，{bn}分别以a，b为极限时，数列{an±bn}的极限是a±b，数列{anbn}的极限是ab；当bbn不等于0时，{an/bn}的极限是a/b；当函数f，g分别以a，b为极限时，函数f±b的极限是a±b，函数fg的极限是ab；当bg不等于0时，{f/g}的极限是a/b。

数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。

数列极限的四则运算法则证明方法如下：

定理：设{an}与{bn}为收敛数列，则

（1）lim(n->∞)(an±bn)=lim(n->∞)an±lim(n->∞)bn;

（2）lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

若bn≠0且lim(n->∞)bn≠0，则lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

证：设lim(n->∞)an=a，lim(n->∞)bn=b，则ε>0，正整数N，

使当n>N时，有|an-a|<ε; |bn-b|<ε.

（1）则|(an+bn)-(a+b)|≤|an-a|+|bn-b|<2ε.

所以lim(n->∞)(an+bn)=lim(n->∞)an+lim(n->∞)bn;

∵an-bn=an+(-bn)，

所以lim(n->∞)(an-bn)=a-b=lim(n->∞)an-lim(n->∞)bn.

（2）由有界性定理，存在正数M，对一切n有|bn|

∴|an·bn-ab|=|bn(an-a)+a(bn-b)|≤|bn||an-a|+|a||bn-b|<(|bn|+|a|)ε<(M+|a|)ε.

∴lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

∵an/bn=an·1/bn，所以lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

极限的运算法则

极限的运算是大学高数的基础，如果不会极限的运算，会很影响之后的学习。下面就由我为大家介绍一下极限的运算法则。

作方法

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特别提示

极限的运算法则有哪些？

极限的四则运算法则：

极限的四则运算法则是在学习了极限概念和无穷小量与无穷大量之后的又一重要内容，也是学习导数和微分的重要基础知识。

在进行极限的四则运算法则之前，需要对极限的概念、无穷小量和无穷大量的概念、无穷小量的运算性质、无穷小量和无穷大量的关系等基本内容都有初步学习和了解，而对于如何利用无穷小量的运算法则、无穷小量与无穷大量之间的关系求取函数的极限，以及利用观察法求取数列的极限和简单函数的极限，需要进行进一步的学习与掌握。

极限的四则运算公式表

公式

加减法 ， ，则

乘法 ， ，则

除法 ， ，且y≠0，B≠0，则

极限的四则运算法则是两个函数的极限都存在，并且分母的极限还不等于0的情况下，当这两个条件都满足的，那么两个函数在和、、积、商的极限和这两个函数的极限的和、、积、商都相等；对于一个常数与一个函数的乘积的极限的情况，其结果等于这个常数与这个函数的极限乘积；并且一个函数的乘方的极限和这个函数的极限乘方也是相等的。在解决具体问题时，需要根据实际情况进行运算和解答，重视实际应用。

当极限的函数是一个整式，可以直接运用极限的四则运算法则来进行计算。例如，当x趋近于1时，分母的极限不是0，可以直接对法则进行运用和计算。

例： = =

三 极限的四则运算法则在进行函数极限求解时需要注意的事项

，对于分式来说，当其分母的极限不等于0时，才能直接运用四则运算法则进行求解。

第二，避免一些常见的错误的认识，例如对c/0=∞，（c为任意的常数），∞-∞=0，∞/∞=0等。

第三，对于无穷多个无穷小量来说，其和未必是无穷小量。

四 极限的四则运算法则的归类

1.x→x0这种情况

，当函数f（x）是一个整式，可以对极限的四则运算法则进行直接的运用和计算，或是直接对f（x0）进行求解。

第二，当函数f（x）是一个分式，其分母的极限等于0，而要注意分子的极限并不等于0，那么便可以对极限的四则运算法则进行直接的运用并计算，或者求出f（x0）。

第三，在函数f（x）是个分式的情况下，当分母的极限

为0时，那么分子的极限不等于0，可以先对lim =0

进行求解，再根据无穷小量和无穷大量这之间的关系来进行计算。

第四，当f（x）是个分式，如果其分母的极限还有分子极限都等于0，先让其分子和分母中的公因式进行约分，或者是让含有根号的分子或分母有理化，再进行约分，然后利用极限的四则运算法则来进行计算，从而得到正确的结果。

2.x→∞的情形

在x→∞的情形下，函数的极限值主要是由分子、分母的次幂项的次数之间的关系来进行决定的，需要对分子分母的次幂项进行分析。

3.其他的情形

在进行求解的过程中有时用到有关无穷小量的运算性质，对于代数和与乘积的极限而言，要注意其所强调的“有限个无穷小量”，但如果这个条件没有办法得到满足，就不能用这个性质来进行极限的求解。

第五，运用极限四则运算法则求极限时常见的错误

在进行数列极限的计算中，对于四则运算法则的运用，需要注意一些问题：对数列极限的加、减和乘的运算法则能够把有限个数列进行推广，在这种情况下，不能对有限个数列的情况进行适用。在这个法则里还指出，“若两个数列都有极限的存在”，这是对数列极限的四则运算法则运用的一个前提条件。在利用极限四则运算法则进行计算时，注重两点，一是法则对于每个参与运算的函数的极限都必须是存在的；二是商的极限的运算法则有个很重要的前提，分母的极限不能为0。当这两个条件中任何一个条件不能满足的时候，不能利用极限的四则运算法则进行计算。

总之，极限的四则运算法则作为极限内容中的重点与难点，需要引起重视，在实际运用时，尤其要注意法则的使用条件，从而避免错误的出现。

极限运算法则公式

极限运算法则公式是φ(x)>=ψ(x)，“极限”是数学中的分支—微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”。“永远不能够等于A，但是取等于A已经足够取得高精度计算结果的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

极限的四则运算法则公式是什么?

法则：连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

学数学的小窍门

1、学数学要善于思考，自己想出来的远比别人讲出来的印象深刻。

2、课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。

3、数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。

4、学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。

5、数学80%的分数来源于基础知识，20%的分数属于难点，所以考120分并不难。

6、数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。

极限的运算方法

1、说明

一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义。

2、极限运算法则

定理1已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有(1)lim[f(x)+g(x)]=A±B

(2)limf(x)·q(x)=A.B

(3)limf(x)/g(x)=A/B，(此时需B≠0成立）

说明：极限号下面的极限过程是一致的，同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3.两个重要极限

(1) līm sinx=1

x→0

(2)lim(1+x)^1/x=e；lim(l+1/x)=e

x→0 x→∞

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式

4、等价无穷小

定理：无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)

当x 0时，下列函数都是无穷小（即极限是0）且相互等价，即有

X~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)vex-1

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)→0>仍有上面的等价关系成立。

等价无穷小是无穷小之间的一种关系，是指在同一个自变量的趋势过程中，如果两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小等价。无穷小的等价关系刻画了两个无穷小趋于零的速度相等。值得注意的是，等价无穷小只能在乘除运算中替换，有时在加减运算中也会出错(在加减运算中可以整体替换，不能分别或单独替换)。

求极限时，利用等价无穷小的条件如下：要替换的量，取极限时，极限值为0；被替换的量，当它是一个要被乘或除的元素时，可以用等价无穷小来替换，但当它是一个要被加或减的元素时，不能用等价无穷小来替换。

求极限的运算法则

lim(n趋于∞）An=A,lim（n趋于∞）Bn=B,则有

法则1:lim（n趋于∞）(An+Bn)=A+B

法则2:lim（n趋于∞）(An-Bn)=A-B

法则3:lim（n趋于∞）(An·Bn)=AB

法则4:lim（n趋于∞）(An/Bn)=A/B.

法则5:lim（n趋于∞）(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)