利用 MATLAB 进行二分法求根

导言

利用 MATLAB 进行二分法求根

二分法是一种数值方法，用于在闭区间内寻找函数的根。该方法通过重复对区间进行二分并丢弃一个包含根的半间隔来工作。本文将介绍如何使用 MATLAB 实现二分法求根。

二分法算法

给定一个闭区间 [a, b] 和一个在这个区间上连续且单调的函数 f(x)，二分法算法按以下步骤进行：

1. 初始化：设置 L = a，R = b，ε 为容差值（精度要求）。 2. 迭代： - 计算中点 x = (L + R) / 2。 - 判断 f(x) 是否足够小（|f(x)| < ε）。如果是，则停止算法并返回 x。 - 根据 f(x) 的符号确定根位于 [L, x] 还是 [x, R]。 - 如果根位于 [x, R]，则更新 L = x；否则更新 R = x。 3. 重复步骤 2，直到满足容差条件。

MATLAB 实现

MATLAB 提供了 `fzero` 函数，可以执行二分法求根。该函数使用以下语法：

```matlab x = fzero(fun, x0) ```

其中：

- `fun` 是待求根的函数句柄。 - `x0` 是包含根的初始区间中的一个点。

示例

考虑求解以下方程的根：

``` f(x) = x^2 - 5 ```

在区间 [1, 3] 上使用 MATLAB 实现二分法，设定容差为 0.001：

```matlab % 定义函数 fun = @(x) x^2 - 5;

% 使用 fzero 求根 x_root = fzero(fun, 2);

% 输出结果 fprintf('二分法求根：%.4fn', x_root); ```

优点和局限性

优点：

相对于其他方法，二分法对函数的要求较少。 保证收敛到根，只要根存在于初始区间内。

局限性：

收敛速度相对较慢，特别是对于非单调函数。 如果根位于区间端点附近，可能会出现精度问题。

结论