空间向量解题八大方法 空间向量经典例题

大学求空间法向量的方法

乘法~~

空间向量解题八大方法 空间向量经典例题

空间向量解题八大方法 空间向量经典例题

空间向量解题八大方法 空间向量经典例题

附图有解释和例子~~

自己写的，晚了照不太清见谅~

是用向量叉乘求，估计高中只讲了点乘吧。

叉乘时还会用到三阶行列式的知识。

数学空间向量及其运算方法

空间向量及其运算

●考试目标 主词填空

1.空间向量基本定理及应用

空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.

2.向量的直角坐标运算：

设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),

A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).

则a+b= .

a-b= .

ab= .

若a、b为两非零向量，则a⊥b ab=0 =0.

●题型示例 点津归纳

【例1】已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=

∠AOC,且OA=OB=OC.，N分别是OA，BC的中点，G是

N的中点.

求证：OG⊥BC.

【解前点津】 要证OG⊥BC，只须证明 即可.

而要证 ,必须把 、 用一组已知的空间基向量表示.又已知条为∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可选 为已知的基向量.

【规范解答】 连ON由线段中点公式得：

又 ,

所以 )

因为 .

且 ，∠AOB=∠AOC.

所以 =0,即OG⊥BC.

【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.

【例2】 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.

【解前点津】 利用 ，求出向量 与 的夹角〈 , 〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.

【规范解答】 因为 ,

所以

因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 例2图

所以 =0,

=-a2.

所以 =-a2.

又所以〈 〉=120°.

所以异面直线BA1与AC所成的角为60°．

【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量表示.

【例3】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分

别是BB1、DC的中点.

(1)求AE与D1F所成的角；

(2)证明AE⊥平面A1D1F.

【解前点津】 设已知正方体的棱长为1，且 =e1，

=e2， =e3，以e1，e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系D—xyz,

则：(1)A(1，0，0)，E(1，1， )，F(0， ，0)，D1(0，0，1)，

所以 =(0,1, ), =(0, ,-1).

所以 =(0,1 ),(0, ,-1)=0.

所以 ⊥ ，即AE与D1F所成的角为90°．

(2)又 =(1,0,0)= ，

且 =(1,0,0)(0,1, )=0.

所以 AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1.

所以AE⊥平面A1D1F.

【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法.

【例4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).

【规范解答】∵E,G分别为AB,AC的中点,

∴EG ,同理HF ，∴EG HF .

从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF,

GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ.

只要能证明向量 =- 就可以说明P,O,Q三点共线且O

为PQ的中点,事实上, ,而O为GH的中点, 例4图

∴ CD,QH CD,

∴= =0.

∴ =,∴PQ经过O点,且O为PQ的中点.

【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明 两向量共线,从而说明P、O、Q三点共线进而说明PQ直线过O点.

●对应训练 分阶提升

一、基础夯实

1.在下列条中,使与A、B、C一定共面的是( )

A. B.

C. D.

2.与向量a=(12,5)平行的单位向量是( )

A. B.

C. D.

3.若向量｛a， b，c｝是空间的一个基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是( )?

A.a B.b ? C. c D.2a?

4. a、b是非零向量，则〈a，b〉的范围是 ( )?

A.(0， ) B.［0， ］? C.(0，π)? D.［0，π］?

5.若a与b是垂直的，则ab的值是( )?

A.大于0 B.等于零? ?C.小于0 D.不能确定

6.向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，则a与b( )

A.相交 B.垂直? C.平行 ?D.以上都不对

7. A(1，1，-2)、B(1，1，1)，则线段AB的长度是( )?

A.1 B.2 C.3 D.4

8. m＝｛8，3，a｝，n＝｛2b,6,5｝，若m∥n，则a+b的`值为( )

A.0 B. C. D.8

9. a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，则m的值为( )?

A.0B.6 C.-6 D.±6

10. A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a＝ ，b＝ ，则a+b对应的点为( )

A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C.(5，9，-2) D.(5，-9，2)

11. a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角为( )

A.arc cos B. C. D.90°

12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y2，z2｝,则 是a与b同向或反向的( )

A.充分不必要条 B.必要非充分条?

C.充要条 D.不充分不必要条

二、思维激活

13.已知向量a, b, c满足a+b+c=0,a=3, b=1, c=4.则ab+bc+ca= .?

14.已知a＝2 ，b＝ ，ab＝- ，则a、b所夹的角为 .

15.已知空间三点A、B、C坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，则P点坐标为 .

16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为 .

三、能力提高

17.已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之间的距离.

18.长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若AB＝BC＝2，AA1＝4，试用向量法求：

(1) 的夹角的大小.

(2)直线A1E与FC所夹角的大小.

19.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DC的中点，求证：D1F⊥平面ADE.

20.如图所示,已知 ABCD,O是平面AC外的一点, ,求证:A1,B1,C1,D1四点共面.

空间向量及其运算习题解答

1.C 由向量共线定义知.?

2.C 设此向量为(x,y),∴ ，?∴

3.C

4.D 根据两向量所成的角的定义知选D.

5. B 当a⊥b时，ab=0(cos 〈a, b〉=0)?

6.C a=(1,2,-2)=- b ∴a∥b.

7.C AB= =3.?

8.C ∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，?∴8=2bk,3=6k,a=5k，?

∴k= 故a= ,b=8,∴a+b= +8=

9.B ∵a⊥b ∴1m+52-2(m+2)=0. ∴m=6.

10.B =(-1,0,-2), =(-4,9,0)，∴a+b=(-5,9,-2).

11.C cos(ab)= =- .

12.A?若 ，则a与b同向或反向，反之不成立.

13.-13 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,?

∴ab+bc+ca=- (a2+b2+c2)=- (9+1+16)=-13.

14. ?cos〈a, b〉= .∴a,b所夹的角为 .

15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得.

16.9 S=absin〈a, b〉求得.

17.如图，由AC⊥α，知AC⊥AB.?

过D作DD′⊥α，D′为垂足，则∠DBD′＝30°，

〈 〉＝120°，

∴CD2=

＝b2+a2+b2+2b2cos120°＝a2+b2.

∴CD＝

点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算.

18.如图，建立空间坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)

、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).

由题设可知E(2，1，0)，F(1，2，4).

(1)令 的夹角为θ，?

则cosθ＝ .

∴ 的夹角为π-arccos .

(2)∴直线A1E与FC的夹角为arccos

19.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设 ＝i， ＝j， ＝k，

以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz，

则 ＝（－1，0，0）， ＝(0, ,-1)，?

＝(-1，0，0)(0， ，-1)＝0，∴AD⊥D1F.

又 ＝(0，1， )， ＝(0， ，-1)，

∴ ＝(0，1， )(0， ，-1)＝ - ＝0.

∴AE⊥D1F，又AE∩AD＝A， ∴D1F⊥平面ADE.

点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系.

20.证明：∵

=2

∴A1,B1,C1,D1四点共面.

空间向量的方法

空间向量的方法：

首先要熟知共线向量定理、共面向量定理、空间向量分解定理。1.共线向量定理：两个空间向量a,b向量(b向量不等于0)，a//b的充要条件是存在的实数λ，使a=λb。

2.共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是，存在的一对实数x,y,使p=ax+by。

3.空间向量分解定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示。

然后利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标。我们在知道定理之后，就要多做一些不同的题型，以此来巩固和加深知识，然后才可以灵活运用知识。

空间向量的运算

空间向量的运算如下：

空间向量就是空间中具有大小和方向的量，其运算方法是：PM=xPA+yPB。

1、空间向量及运算，垂直三垂线定理先看下，或者通过线面垂直得到面面垂直，或者通过两个面的法向量垂直得到这两个面垂直。线面平行得到线线平行或者面面平行，注意得是不平行的在同一个面上的两条直线分别与另一个面的两条直线平行，这两个面才平行。

2、空间向量，加法与减法，空间向量的加减法与平面向量没有区别，就是平行四边形法则和三角形法则，如果两个向量初始位置没有交点的话，要移到起点相同或者首尾相接的位置。如果你是要用坐标运算，那空间向量无非就是多出一个z的分量而已，方法也是和平面一样的。

3、平面向量的坐标运算，A和B中需要注意的是,一个坐标可以代表无数个向量,比如起点是(1,1),终点是(2,3)的向量,和起点是(0,0),终点在(1,2)的向量,他们的坐标表示都是(1,2)，然而这并不与A,B矛盾,注意正反的区别。

如何理解向量空间的8条公理?

给定域F，F上的向量空间V是一个，其上定义了两种二元运算：

向量加法：V × V → V，把V中的两个元素u和v映射到V中另一个元素，记作u + v。

标量乘法：F × V → V，把F中的一个元素a和V中的一个元素u变为V中的另一个元素，记作a ·u。

V中的元素称为向量，相对地，F中的元素称为标量。

注意事项：

如果a=b，那么a－c=b－c。

如果a=b，且c≠0，那么ac=bc。

如果a=b，且c≠0，那么a/c=b/c。

如果a=b，b=c，那么a=c。

在数学中，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。和定理不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。

空间向量找坐标技巧

建立适当的空间直角坐标系，将有关向量坐标化是解题的基础，然后通过向量的坐标运算使问题获解。运用空间向量的直角坐标运算法则，空间向量位置关系的判断（运算法则）是解题的关键。

如图，正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为。（1）建立适当的坐标系，并写出A、B、A1、C1的坐标；（2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角。

分析：（1）可建立不同的坐标系，来确定所求点的坐标。（2）取A1B1中点M，将所求的角转化为的夹角。

解法一：（1）以A为坐标原点，AB所在直线为y轴，所在直线为z轴，以过原点且垂直于平面的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图3。

则A（0，0，0）、B（0，a，0）、A1（0，0，）、C1（）

（2）取A1B1的中点M，则M（0，，）

连AM、MC1，得，且＝（0，a，0），＝（0，0，）

由所以与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角。因为，所以又于是有

所以所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°

如何快速求空间法向量?

直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。

待定系数法：建立空间直角坐标系。设平面的法向量为n=（x，y，z）。在平面内找两个不共线的向量a和b。建立方程组：n点乘a=0，n点乘b=0。解方程组，取其中的一组解即可。

法向量：

法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

法线是与多边形的曲面垂直的理论线，一个平面存在无限个法向量。在电脑图学的领域里，法线决定着曲面与光源的浓淡处理，对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。