双曲线知识点公式大全_高中双曲线知识点公式大全

关于双曲线的知识点

或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).

双曲线是一类曲线，它的特征是其在每个方向上都有一个焦点，并且它们的距离是固定的。

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双曲线也可以用来表达复杂的函数关系，如二元函数和三元函数。双曲线有不同的形式：双曲线、反双曲线、锐角双曲线和钝y=±(b/a)x角双曲线。这些形式之间的区别在于它们在不同方向上的焦距大小。此外，还有一些重要的性质：

可对称性：如果将一条直径上的两个端点对齐（即将直径作为对齐轴旋转180度），则该图形会保留原样。

共切性：如果将一条直径上的两个端点对齐并将该直径作为切割轴旋转180度（即将该直径作为切割轴旋转180度并将该直径作为切割轴旋转180度并将该直径作为切割轴旋转180度并将该直径作为切割。

双曲线的定义和公式是什么

2. 焦点的坐标：椭圆的焦点的坐标为 (±ae, 0)。

数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点的距离的始终为一定值时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。两个定点叫做双曲线的焦点(focus)。

双曲线的标准方程：

● 双曲线的第二定义:

到定点的距离与到定直线的距离之比=e , e∈(1,+∞)

·双曲线的一般方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2,动点与两个定点之为定值2a

·双曲线的参数方程为：

x=X+a·secθ

y=Y+b·tanθ

(θ为参数)

1、取值区域：x≥a,x≤-a

2、对称性：关于坐标轴和原点对称。

3、顶点：A(-a,0) A’(a,0) AA’叫做双曲线的实轴，长2a；

B(0,-b) B’(0,b) BB’叫做双曲线的虚轴，长2b。

4、渐近线：

5、离心率：

e=c/a 取值范围：（1，+∞]

双曲线的公式

·几何性质：

不管P在哪边。 你只记住就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c是长的减去短的=2a

双曲线是什么？双曲正弦函数应用

这个不是固定的 要看具体题目的 距离较远的一边减去较近的一边=2a

双曲线，椭圆，抛物线的基本公式

6 双曲线上的一点到定点的距离和到定直线的距离的比等于双曲线的离心率

双曲线的标准公式为：X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)

而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)

但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的

因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴

所以应该旋转45度

设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）

(a为双曲线渐进线的倾斜角)

则有

X = xcosa + ysina

Y = - xsina + ycosa

取 a = π/4

则X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2

= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2

= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)

= 2xy.

而xy=c

所以

X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0)

Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)

由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数 椭圆的面积公式

S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长(L)的计算要用到积分或列下最简单的公式：无穷级数的求和。如

L = ∫[0,π/2]4a sqrt(1-(ecost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率

椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则

e=PF/PL

x=±a^2/C

椭圆的离心率公式

e=c/a(e<1,因为2a>2c)

椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c

椭圆焦半径公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0

椭圆过右焦点的半径r=a-ex

过左焦点的半径r=a+ex

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离，数值=2b^2/a

点与椭圆位置关系 点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1

点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1

点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1

直线与椭圆位置关系

y=kx+m ①

x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②

相切△=0

相离△＜0无交点

相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2)

|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2

椭圆的斜率公式过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2上一点（x，y）的切线斜率为b^2X/a^2y 抛物线的标准方程右开口抛物线:y^2=2px

左开口抛物线:y^2=-2px

上开口抛物线:x^2=2py

下开口抛物线:x^2=-2py

p为焦准距（p>0） [编辑本段]3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线) 离心率:e=1

焦点:(p/2,0)

准线方程l:x=-p/2

顶点:(0,0)

通径(定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦)：2P [编辑本段]4.它的解析式求法： 以焦点在X轴上为例

知道P（x0,y0)

令所求为y^2=2px

则有y0^2=2px0

∴2p=y0^2/x0

∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x [编辑本段]5.抛物线的光学性质: 经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。 [编辑本段]6.抛物线的一段的面积和弧长公式 面积 Area=2ab/3

弧长 Arc length ABC

=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b) [编辑本段]7.其他 抛物线：y = ax^2 + bx + c （a≠0)

a > 0时开口向上

a < 0时开口向下

c = 0时抛物线经过原点

b = 0时抛物线对称轴为y轴

还有顶点式y = a（x-h）^2 + k

就是y等于a乘以（x-h）的平方+k

h是顶点坐标的x

k是顶点坐标的y 标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是 ：yy0=p(x+x0)

一般用于求值与最小值

抛物线标准方程:y^2=2px

它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2

由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

椭圆双曲线所有公式！

椭圆的标准方程共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2。

双曲线的标准方程分两种情况：

焦点在X轴上时为：x^2/a^2-y^2/b^2=1，（a>0，b>0）。

焦点在Y轴上时为：y^2/a^2-x^2/b^2=1，（a>0，b>0）。

双曲线的离心率为：e=c/a

双曲线的焦点在y轴上的双曲线的渐近线为：y=+-（a/b）x。

椭圆的对称性

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

1、顶点：

焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）

短轴顶点：（0，b），（0，-b）

焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）

短轴顶点：（b,0），（-b,0）

注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。

2、焦点：

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)

以上内容参考

椭圆和双曲线是曲线方程的两种重要类型，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。以下是一些常见的椭圆和双曲线公式及其应用：

一、椭圆公式

定义和参数方程

椭圆的参数方程为: x=acosθ,y=bsinθ，其中a为长轴长，b为短轴长，θ为参数。

面积公式

标准方程

椭圆的标准方程为(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1，其中a为长轴长，b为短轴长。这个方程可以用来解决一些几何问题，比如计算椭圆的周长、面积和对称性等。

焦点和准线

椭圆的焦点是两个焦点的位置，它们可以用标准方程中的a和b表示。椭圆的准线是垂直于长轴的直线，它们可以用标准方程中的a和b表示。

焦点三角形

二、双曲线公式

定义和参数方程

双曲线是一种圆锥曲线，定义为平面上，到两个定点(焦点)的距离之的等于定值(称为双曲线的虚轴长)的点的轨迹。

双曲线的参数方程为: x=asecθ,y=btanθ，其中a为实轴长，b为虚轴长，θ为参数。

标准方程

双曲线的标准方程为(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1，其中a为实轴长，b为虚轴长。这个方程可以用来解决一些几何问题，比如计算双曲线的周长、面积和对称性等。

焦点和准线

双曲线的焦点是两个焦点的位置，它们可以用标准方程中的a和b表示。双曲线的准线是垂直于实轴的直线，它们可以用标准方程中的a和b表示。

等角坐标系

在双曲线中，我们可以使用等角坐标系来计算双曲线的形状和大小。等角坐标系是指以双曲线的焦点为极点，以实轴为极轴的坐标系。在这个坐标系中，双曲线的极坐标方程为ρ=ep/(1-ecosθ)，其中e是离心率，p是焦点到准线的距离。

离心率公由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1式

双曲线的离心率公式为e=(a^2)/(a^2-b^2)，其中a为实轴长，b为虚轴长。这个公式可以用来计算双曲线的形状和大小。例如，当e接近1时，双曲线更平坦；当e接近0时，双曲线更弯曲。

焦点弦公式

在双曲线中，通过焦点的弦称为焦点弦。焦点弦的长度可以用以下公式计算：|AB|=|PF1|-|PF2|或|AB|=2a±|PF1|-|PF2|。

椭圆和双曲线是常见的二次曲线，它们可以用不同的方程来表示。以下是椭圆和双曲线的标准方程和其他相关公式：

椭圆的标准方程：

1. 横轴为主轴的椭圆的标准方程：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别表示半长轴和半短轴的长度。

2. 竖轴为主轴的椭圆的标准方程：(x^2/b^2) + (y^2/a^2) = 1。

椭圆的其他相关公式：

1. 离心率的计算：椭圆的离心率e可以通过公式 e = √(1 - (b^2/a^2)) 计算。

3. 焦距的长度：椭圆的焦距长度为2ae。

4. 短半轴的长度：短半轴的长度为b。

1. 横轴为主轴的双曲线的标准方程：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别表示实轴和虚轴的长度。

2. 竖轴为主轴的双曲线的标准方程：(y^2/a^2) - (x^2/b^2) = 1。

1. 离心率的计算：双曲线的离心率e可以通过公式 e = √(1 + (b^2/a^2)) 计算。

2. 焦点的坐标：双曲线的焦点的坐标为 (±ae, 0)。

3. 焦距的长度：双曲线的焦距长度为2ae。

4. 虚半轴的长度：虚半轴的长度为b。

这些是椭圆和双曲线的基本公式和相关属性，希望对你有帮助！记得在具体问题中应用这些公式时，结合具体情况进行调整和应用。

椭圆和双曲线是在数学中描述二维平面上曲线形状的两种基本类型。它们的标准方程如下：

椭圆（Ellipse）的标准方程：

椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。椭圆的标准方程为：

(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1

其中，a和b分别是椭圆的两个半轴的长度，F1和F2是椭圆的两个焦点。

双曲线（Hyperbola）的标准方程：

双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之等于常数2a的点的轨迹。双曲线的标准方程有两种形式：

a) 水平方向的双曲线：

(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1

b) 垂直方向的双曲线：

(y^2 / a^2) - (x^2 / b^2) = 1

椭圆和双曲线是二次曲线的两种类型，它们在数学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。根据标准方程，您可以了解和绘制这些曲线的形状和性质。值得注意的是，椭圆和双曲线的标准方程是一种特殊情况，它们可能存在旋转或平移后的一般方程形式。

当点p在双曲线右支时的焦半径公式,(其中f1为左焦点,f2为右焦点)它是由第二定义导出的,其中a是实半轴长,e是离心率,x。是p点的横坐标.|pf2|=ex。-a

并且只记右支,左支和右支只一个负号.

若焦点在y轴同理只记上支

双曲线过右焦点的半径r=|圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2—4F>0a－ex|

双曲线过左焦点的半径r=|a＋ex|

抛物线焦半径公式

抛物线r=x+p/2

通径:就是过焦点垂直于轴的弦,这时的焦半径为半通径

双曲线和椭圆的通径是2b^2/a

抛物线的通径是2p

椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 在顶点(a, 0)处的曲率半径为b^2/a，在(0,b)处的曲率半径为a^2/b。

双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 =1在顶点(a, 0)或(-a,0)处的曲率半径都是b^2/a。

抛物线y^2=2px (p≠0)在顶点(0,0)处的曲率半径为|p|。

双曲线知识点总结

焦半径

双曲线知识点总结

双曲线在高中数学中是一大考点，那么双曲线知识点又有什么重点呢?下面双曲线知识点总椭圆的周长公式结是我为大家带来的，希望对大家有所帮助。

双曲线知识点总结 一、用好双曲线的对称性

例1若函数y=kx(k>0)与函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B。则△ABC的面积为( )。

A。1 B。2 C。3 D。4

解：由A在双曲线y=上，AB⊥x轴于B。

∴S△ABO=×1=

又由A、B关于O对称，S△CBO= S△ABO=

二、正确理解点的坐标的几何意义

例2如图，反比例函数y=-与一次函数y=-x+2的'图象交于A、B两点，交x轴于点M，交y轴于点N，则S△AOB= 。

解：由y=-x+2交x轴于点M，交y轴于点N

M点坐标为(2，0)，N点坐标为(0，2) ∴OM=2，ON=2

由 解得或

∴A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(4，-2)

S△AOB=S△AON+S△MON+S△BOM

=ON·+OM·ON+OM·=6

(或S△AOB=S△AOM+S△BOM=OM·+OM·=6)

三、注意分类讨论

例3如图，正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=(k>0，x>0)的图象上。点P(m、n)是函数函数y=上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线。垂足分别为E、F，并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S。

⑴求点B的坐标和k值。

⑵当S=时，求P点的坐标。

解：⑴设B点坐标为(x0，y0)，B在函数y=(k>0，x>0)的图象上，∴S正方形OABC= x0y0=9，∴x0=y0=3

即点B坐标为(3，3)，k= x0y0=9

⑵①当P在B点的下方(m>3)时。

设AB与PF交于点H，∵点P(m、n)是函数函数y=上，

∴S四边形CEPF=mn=9，S矩形OAHF=3n

∴S=9-3n=，解得n=。当n=时，=，即m=6

∴P点的坐标为(6，)

②当P在B点的上方(m<3)时。 同理可解得：P1点的坐标为(，6)

∴当S=时，P点的坐标为(6，)或(，6)。

四、善用“割补法”

例4如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(1，4)，B(3，m)两点。

⑴求一次函数解析式;⑵求△AOB的面积。

解：⑴由A(1，4)，在y=的图象上，∴k2=xy=4

B(3，m)在y=的图象上，∴B点坐标为(3，)

A(1，4)、B(3，)在一次函数y=k1x+b的图象上，

可求得一次函数解析式为：y=-x+。

⑵设一次函数y=-x+交x轴于M，交y轴于N(如图)。则M(4，0)，N(0，)

S△AOB=S△MON-S△OBM-S△AON=OM·ON—OM-ON

=×4×-×4×-××1=

五、构造特殊辅助图形

例5如图，已知直线y=x与双曲线y=(k>0)交于A、B两点，且点A横坐标为4。⑴求k的值;⑵若双曲线y=(k>0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积。⑶过原点O的另一条直线交双曲线y=(k>0)于P、Q两点(P点在象限)，若由点ABPQ为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标。

解：⑴A横坐标为4，在直线y=x上，A点坐标为(4，2)

A(4，2)又在y=上，∴k=4×2=8

⑵C的纵坐标为8，在双曲线y=上，C点坐标为(1，8)

过A、C分别作x轴、y轴垂线，垂足为M、N，且相交于D，则得矩形ONDM。S矩形ONDM=4×8=32。

又S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4

∴S△AOC= S矩形ONDM―S△ONC―S△CDA―S△OAM=32―4―9―4=15

⑶由反比例函数图象是中心对称图形，OP=OQ，OA=OB，

∴四边形APBQ是平行四边形。S△POA=S四边形APBQ=6

设P点的坐标为(m，)，过P、A分别作x轴、y轴垂线，垂足为E、M。

∴S△POE=S△AOM=k=4

①若0

∵S△PEO+S梯形PEMA=S△POA+S△AOM，∴S梯形PEMA=S△POA=6

∴(2+)(4-m)=6 解得m=2或m=-8(舍去) P点的坐标为(2，4)

;

双曲线面积公式是什么？

②若m>4时，同理可求得m=8或m=-2(舍去)，P点的坐椭圆是由两个焦点和到两个焦点的距离之和等于定值的点的轨迹形成的曲线。具体定义为：平面上，到两个定点(焦点)的距离之和等于定值(称为椭圆的周长)的点的轨迹。标为(8，1)

双曲线面积面积公式是：S=bcot（θ/2）。一般的，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点叫做焦点的距离是常数的点的轨迹。这个固定的距离是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。

双曲线的基本知识

点为平面内与两个定点F，F的距离的的是常数的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双线的焦点，两焦点的距离叫焦距。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e叫做双曲线的离心率。双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点的距离是常数的点的轨迹。

这个固定的距离是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。双曲线是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。

双曲线及其标准方程的所有相关知识点

一、

双曲线的定义根与系数的关系X1+X2=—b/aX1_X2=c/a注：韦达定理

二、双曲线其中，a和b分别是双曲线的两个半轴的长度，F1和F2是双曲线的两个焦点。的标准方程

三、双曲线的简单几何性质

四、有关双曲线的渐近线的问题的求法

五、双曲线图像中线段的几何特征

双曲线渐近线公式是什么？

y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）（a：双曲线的实半轴，b是虚半轴。长）

几何性质：

(1)范围：|x|≥a,y∈R定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。。

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称。

(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2=a2+b2。与椭圆不同。

(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）或令双曲线。

渐近线特点：

无限接近，但不可以相交。分为垂直渐近线、椭圆的准线方程水平渐近线和斜渐近线。

当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无限延伸时的变化情况。

根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。

y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程。

当焦点在x轴上时 双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x。

当焦点在y轴上时 双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x。

双曲线的通径公式是什么?

椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a

双曲线通径公式也是2b的平方/a。

椭圆通径公式2b的平方/a。

抛物线通径公式是2P。

联结椭圆上任意两点的线段叫作这个椭圆的弦，通过焦点的弦叫作这个椭圆的焦点弦(所以椭圆的长轴也是焦点弦)，和长轴垂直的焦点弦叫作这个椭圆的通径(正焦弦)。

双曲线定义椭圆的面积公式为S=πab，其中a为长轴长，b为短轴长。这个公式可以用来计算椭圆的面积，也可以用来解决一些物理问题，比如行星绕太阳运动的轨道面积。：

定义1：平面内，到两个定点的距离之的为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。

定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

椭圆，园，双曲线等图形的公式及知识点

当椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形时，可以使用焦点三角形公式来计算三角形的面积。焦点三角形公式为S=(b^2)tan(θ/2)，其中θ为焦点与三角形的交角。

汗，这个看看书，这里写的话一大堆，也不直观。

1）椭圆公式

x^2/a^2+y^2/b^2=1

2）圆公式

x^2+y^2=R^2

3）双曲线公式

注：数学的难点不在于基本公式，而是公式的应用，要数型结合。