初中数学思想方法有哪几种

计算机思想

初中数学中蕴含的数学思想很多,其中最主要.的数学思想方法包括转化思以“形”直观地表达“数”,以“数”地研想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等。

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数学思想方法有哪几种 小学数学数学思想方法有哪几种


(1)转化思想.转化思想就是人们将需要解决的问题,通过演绎、归纳等转化手段,归结为.另-种相对容易解决或已经有解决方法的问题,从而使原来的问题得到解决.转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题.

初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现.具体而言,代数式中加法与减法的转化,乘法与除法的转化,用换元法解方程,在几何中添加辅助线,将四边形的问题转化为三角形的问题,将- - 些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想。在初中数学中,转化思想运用的最为广泛.

(2)数形结合思想.数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而,在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的.初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式,初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式.数形结合思想的实质是将抽象的数学语言(“数” )与直观的图象(“形“)结合起来,数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系,

数学四大思想八大方法是什么?

中学数学重要数学思想 函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想。 1.函数思想:把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量间的相互制约关系,解决问题,这就是函数思想; 2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步骤:(1)根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题;(2)根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题;(3)方程思想:在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或(方程组),通过解方程(或方程组)求出它们,这就是方程思想; 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想。 数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决(以形助数);或者对于所研究的几何问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决(以数助形),这种解决问题的方法称之为数形结合。 1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短。 2.是这样来定义数学的:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说:数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。 3.数形结合的本质是:几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性质。 4.华罗庚先生曾指出:“数缺性时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形:或借助于数的性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系. 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面的考查(即用代数方法研究几何问题)。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。 6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领: (1) 对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可; (2) 对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题,可通过函数的图象求解(函数的零点,顶点是关键点),作好知识的迁移与综合运用; (3) 对于以下类型的问题需要注意:可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的。 分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答。 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种: (1)涉及的数学概念是分类讨论的; (2)运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的; (3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性; (4)数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果的; (5)较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决的。 2.分类讨论是一种逻辑方法,在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法,但分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏 ,包含各种情况,同时要有利于问题研究。 化归与转化思想 所谓化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题,将难解问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题。 立体几何中常用的转化手段有 1.通过辅助平面转化为平面问题,把已知元素和未知元素聚集在一个平面内,实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化; 2.平移和射影,通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题,化未知为已知的目的; 3.等积与割补; 4.类比和联想; 5.曲与直的转化; 6.体积比,面积比,长度比的转化; 7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来,把代数与几何融合为一体。

数学四大思想:数形结合思想,转化思想,分类讨论思想,整体思想。八大数学方法:配方法,因式分解法,待定系数法,换元法,构造法,等积法,反证法,判别式法。

问题

在运算中常常借助于数轴、Venn图来处理的交、并、补等运算,从而使问题得以简化,使运算快捷明了。

函数问题

借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。

方程与不等式

处理方程问题时,把方程的根的问题看作两个函数图7、分类思想方法象的交点问题;处理不等式时,从题目的条件与结论出发,联系相关函数,着重分析其几何意义,从图形上找出解题的思路。

数学四大思想八大方法是什么?

1、数学思想方法之分类讨论

分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性,纵观近几年的高考数,不管是文科还是理科,同学们在解决的数学综合问微积分思想题时,基本上都需要分类讨论。

2、数学思想方法之数形结合

数形结合思想是借助于数学图形解决数学问题,它可以使复杂的问题简单化,抽象的问题直观化,是解决综合问题的得力助手。正是因为数形结合的这种优越性,它已经成为高考必函数与方程思想是非常重要的一种数学思想,高考中所占比重较大,综合知识多、题型多、应用技巧多。考的数学思想方法。

3、数学思想方法之函数

转化与化归思想在高考中也占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归.本节课老师给大家总结并分析了函数与方程思想以及转化与化归思想的常见题型,并重点讲解了函数与方程、转化与化归在解题中的灵活运用。

直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。

数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径。

特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题,使结论适合原问题。

坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径。

数学思想·数学方法有哪些

究“形”,实现代数与几何之间的相互转化.数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.“数无形时不直观,形无数时难入。

这是几涛认为:本书的内容了。

简约的说,数学思想·有函数与方程思想,化归与转化思想,数形结合思想,分类讨论思想。

数学方法有换元法,数形结合,基本不等式等等

(1)逻辑学中的方法.例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等.这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则,又因为运用于数学之中而具有数学的特色

数学思想·有函数与方程思想,化归与转化思想,数形结合思想,分类讨论思想。

数学方法有换元法,数形结合,基本不等式归纳 演绎 推理归纳总结,划归,数形

归纳总结,划归,数形结合等

归纳 演绎 推理……

数学方法和思想有哪些?

初等数学常见思想包括:

1.函数思想:

2.数形结合思想:

把代数和几何相结合,例如对几何问题用代数方法解答,对代数问题用几何方法解答,这种方法在解析补集思想;几何里最常用。例如求根号((a-1)^2+(b-1)^2)+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值,就可以把它放在坐标系中,把它转化成一个点到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四点的距离,就可以求出它的最小值。

3.分类讨论思想:

当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时,需要对这个量的各种情况进行分类讨论。比如解不等式|a-1|>4的时候,就要讨论a的取值情况。

4.方程思想:

当一个问题可能与某个方程建立关联时,可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候,就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。

另外,还有归纳类比思想、转化归纳思想、概率统计思想等数学思想,例如利用归纳类比思想可以对某种相类似的问题进行研究而得出他们的共同点,从而得出解决这些问题的一般方法。转化归纳思想是把一个较复杂问题转化为另一个较简单的问题并且对其方法进行归纳。概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题,如摸奖的率、某次考试的综合分析等等。另外,还可以用概率方法解决一些面积问题。

高中数学思想方法有哪几种

数学思想方法是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学思想方法是数学思想的具体化形式,实际上两者的本质是相同的,别只是站在不同的角度看问题.常见的数学四大思想为:函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合.

高中数学思想方法有7种,内容如下:

1、函数与方程的思想

函数是高中代数内容的主干,函数思想贯穿于高中代数的全部内容,函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼,是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题,研究问题和解决问题。

3、分类与整合的思想

高考将分类与整合的思想放在比较重要的位置,并以解答题为主进行考查,考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究,为什么要分类,如何分类以及分类后如何研究与如何整合。

特别注意引起分类的原因,我们必须相当熟悉,有些概念就是分类定义的,如的概念、整数分为奇数偶数等,有些运算法则和公式是分类给出的,例如等比数列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况,对数函数的单调性就分为a>1,0

4、化归与转化的思想

将未知解法或难以解决的问题,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的'数学方法进行变换,化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做化归与转化的思想。化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。

转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加、“与对应限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证。

5、特殊与一般的思想

由特殊到一般,由一般到特殊,是人们认识世界的基本方法之一。数学研究也不例外,由特殊到一般,由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程,就是数学研究中的特殊与一般的思想。

6、有限与无限的思想

函数是对运动变化的动态事物的描述,体现了变量数学在研究客观事物中的重要作用。导数是对事物变化快慢的一种描述,并由此可进一步处理和解决函数的增减、极大、极小、、最小等实际问题,是研究客观事物变化率和化问题的有力工具。

7、或然与必然的思想

随机现象有两个最基本的特征,一是结果的随机性,即重复同样的试验,所得到的结果并不相同,以至于在试验之前不能预料试验的结果;二是频率的稳定性,即在大量重复试验中,每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近。

什么是数学思想方法

分析:本题正面入手,情况复杂,若从反面去考虑,先求四点共面的取法总数再用补集思想,把某一数学问题用函数表示出来,并且利用函数探究这个问题的一般规律。这是最基本、最常用的数学方法。就简单多了.

数学八种思维方法是什么?

数学八种思维方法是代数思想,数形结合,转化思想,对应思想方法,设思想方法,比较思想方法,符号化思想方法,极限思想方法。解答数学题1、对应思想方法的转化思维,是指在解决问题的过程中遇到障碍时,通过改变问题的方向,从不同的角度,把问题由一种形式转换成另一种形式,寻求方法,使问常见的转化方式有:一般 特殊转化,等价转化,复杂 简单转化,数形转化,构造转化,联想转化,类比转化等。题变得更简单,更清晰。

数学不同于语文,英语等语言性学科,它对思维能力要求较大,只要掌握了同一类型题目的解题思维,不管题型再如何变化,我们都可以快速解答,数学源于生活又作用于生活,课本上的数学知识其实都可以在实际生活中找到原形,但需要你通过抽象,简化等方式转化成数学语言,因此,在学习数学时要多联系生活实际理解本质含义。

数学八种思维方法的内容

逆向思维也叫求异思维,它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式,敢于反其道而思之,让思维向对立面的方向发展,从问题的相反面深入地进行探索,树立新思想,创立新形象。

逻辑思维是人们在认识过程中借助于概念,判断,推理等思维形式对事物进行观察,比较分析,综合,抽象,概括,判断,推理的思维过程,逻辑思维,在解决逻辑推理问题时使用广泛,创新思维是指以新颖独创的方法解决问题的思维过程,

通过这种思维能突破常规思维的界限,以超常规甚至反常规的方法,视角去思考问题,提得出与众不同的解决方案,可分为异性,探索式,优化式及否定性四种。

浅谈几种常见的数学思想方法

换元思想(代换思想)

摘要:数学思想方法以数学知识为载体,蕴涵于知识之中,是数学的精髓。文章主要介绍四种常见的数学思想方法:函数与方程思想、分类与整合的思想、数形结合的思想、化归与转化的思想。在教学过程中渗透数学思想方法,能提高教学效果,提高学生数学素养。

1对数学思想方法的认识

在数学教学和数学教育领域,数学知识、数学方法、数学思想是数学知识体系的三个层次,它们相互联系,共同发展。数学知识是数学思想方法解决问题所依附的材料;数学方法是解决问题的手段和途径,是数学思想发展的前提;数学思想是对数学对象的本质认识,是从某些具体的数学内容(概念、命题、定理)和数学认识过程中提炼出来的基本观点和想法,是数学方法的灵魂,是解决问题的指导思想,对数学活动具有指导意义。数学思想和数学方法是紧密联系的,数学思想方法通常从“数学思想”和“数学方法”两个角度进行阐述。

数学中常用的数学思想方法,概括起来可以分为两类。一类是科学思想在数学中的应用,如分析与综合、分类讨论、类比、化归、归纳与演绎思想等;另一类是数学学科特有的思想方法,如与对应、数学建模、数形结合、函数与方程、极限、概率统计的思想方法等。

2教学中主要的数学思想方法

数学思想方法的学习和领悟能帮助学生构建知识体系,使学生所学的知识不再是零散的知识点,能提高学生数学思维能力,提高学习效果。因此,在教学过程中必须重视数学思想方法的教学。

数学思想方法以数学知识为载体,蕴涵于知识之中,是数学的精髓,它支撑和统率着数学知识。教师在讲授概念、性质、定理的过程中应不断渗透与之相关的数学思想方法,让学生在掌握知识的`同时,又能领悟到数学思想,从而提升学生思维能力。在教学过程中,要学生主动参与结论的探索、发现及推导过程,搞清知识点间的联系及其因果关系,让学生亲身体验蕴含在知识中的数学思想和方法。

2.1 分类与整合的思想分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和异点,然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类讨论既是是一个重要的数学方法,又一个重要的数学思想,在解题时,它能避免思维的片面性,保证不遗不漏。

整合就是考虑数学问题时把注意力和重点放在问题的整体结构上,通过对其全面深刻的观察和分析,从整体上认识问题的实质,把中间相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。

解题时,我们常常遇到这种情况,解到某一步时,被研究的问题包含了多种情况,我们不能再按照统一标准进行下去,这就需要把条件所给出的总区域划分成若干个子区域,然后分别在各个子区域内进行解题,当分类解决完这个问题后,再把它们整合在一起,这就是分类与整合的思想。有分有合,先分后合,不仅是分类与整合的思想解决问题的主要过程,也是这种思想方法的本质属性。

这就需要我们在学习中认识到以下几点:什么样的问题需要分类研究;为什么要分类;如何分类;分类后如何研究与如何整合等。例如:等比数列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况;对数函数的单调性就分为a>1,0 2.2 数形结合的思想数学研究的对象是数量关系和空间形式,即“数”与“形”两个方面。“数”与“形”之间不是孤立存在的,而是有着密切的联系。数量关系的研究可以转化为图形性质的研究,反之,图形性质的研究可以转化为数量关系的研究,这种解决数学问题过程中“数”与“形”相互转化的思维策略,即是数形结合的思想。

数形结合的思想,既是一个重要的数学思想,也是一种常用的数学方法,为解决问题提供了方便,是解决问题的一个捷径。数形结合思想一方面,能使数量关系的抽象概念和解析式通过图形变得直观形象;另一方面,能使一些图形的属性通过对数量关系的研究,更精准、更深刻地得出图形的性质。这种“数”与“形”的相互转换,相互渗透,不仅可以使一些题目的解决简捷明快,同时还可大大拓宽我们的解题思路。华罗庚先生曾作过精辟的论述:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数缺形时少直觉,形少数时难人微,数形结合百般好,隔裂分家万事非。切莫忘,几何代数统一体,永远联系切莫离”。它的运用,往往展现出“柳暗花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。

数形结合在数学解题时应用也比较广泛。例如:不连续函数讨论增减性问题,函数求最值问题;根的分布问题及数形结合在不等式中、在数列中、在解析几何中的应用等。这些都是数形结合的思想方法的体现。

2.3 化归与转化的思想化归与转化的思想就是将未知解法或难以解决的问题,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想方法。化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。

化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,大部分数学问题的解决都是通过转化实现的。从某种意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,解题的过程实际上就是一步步转化的过程。要想熟练运用化归与转化思想,就要积极主动地去挖掘问题之间的联系,要有丰富的联想、机敏细微的观察,要熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法。在学习中我们要对公式、定理、法则有深刻理解,并对典型例题和习题进行总结和提炼。人们常说:“抓基础,重转化”是学好数学的金钥匙,学习中一定要用好这把金钥匙。运用化归与转化思想的例子比比皆是,如:未知向已知的转化,复杂问题向简单问题的转化,新知识向旧知识的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,命题之间的转化,高维向低维的转化,多元向一元的转化,函数与方程的转化等都是转化思想的体现。

2.4 函数与方程的思想函数的思想是用运动、变化的观点,分析研究具体问题中的数量关系,通过函数形式把这种数量关系刻划出来并加以研究,从而解决问题的方法。

方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系,通过设未知数、列方程或方程组,解方程或方程组等步骤,达到求值目的解题思路和策略。

数学家克莱因说:“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。一个学生仅仅学习了函数的知识,他等价转化法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的。在解决问题时往往是被动的,而建立了函数思想,才能主动地去思考一些问题。

在解题时,要学会思考这些问题:①是不是需要把字母看作变量?②是不是需要把代数式看作函数?如果是函数它具有哪些性质?③是不是需要构造一个函数,把表面上不是函数的问题化归为函数问题?④能否把一个等式转化为一个方程?等等。我们常见的运用函数思想的例子有:数列问题借助于函数思想,用函数方法来解决;遇到变量时构造函数关系式来解题;有关的、最值问题,可利用函数观点加以分析;实际应用问题,转化成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数相关性质来解决等。

参考文献:

[1]钱佩玲.数学思想方法与中学数学(第2版).师范大学出版社,2008.

[2]张顺燕.数学的思想、方法和应用.大学出版社,2009.

常见的数学思想方法

“数无形,少直观,形无数,难入微”,利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易,化繁为简。把代数和几何相结合,例如对几何问题用代数方法解答,对代数问题用几何方法解答,这种方法在解析几何里最常用。

在数学的学习过程中,有哪些常见的思想方法呢?下面是我网络整理的常见的数学思想方法以供大家学习。

常见的数学思想方法:分类与整合

解题时,我们常常遇到这样一种情况,解到某一步之后,不能再以统一方法,统一的式子继续进行了,因为这时被研究的问题包含了多种情况,这就必须在条件所给出的总区域内,正确划分若干个子区域,然后分别在各个子区域内进行解题,当分类解决完这个问题后,还必须把它们总合在一起,因为我们研究的毕竟是这个问题的全体,这就是分类与整合的思想。有分有合,先分后合,不仅是分类与整合的思想解决问题的主要过程,也是这种思想方法的本质属性。

高考将分类与整合的思想放在比较重要的位置,并以解答题为主进行考查,考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究,为什么要分类,如何分类以及分类后如何研究与如何整合。特别注意引起分类的原因,我们必须相当熟悉,有些概念就是分类定义的,如的概念、整数分为奇数偶数等,有些运算法则和公式是分类给出的,例如等比数列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况,对数函数的单调性就分为a>1,0

高考对分类与整合的思想的考查往往集中在含有参数的解析式,包括函数问题,数列问题和解析几何问题等。此外,排列组合的问题,概率统计的问题也考查分类与整合的思想。随着新课程高考在全国的实施,在新增内容中考查分类与整合的思想,窃以为,是今后几年高考命题的重点之一。

常见的数学思想方法:函数与方程

数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。一个学生仅仅学习了函数的知识,他在解决问题时往往是被动的,而建立了函数思想,才能主动地去思考一些问题。

函数是高中代数内容的主干,函数思想贯穿于高中代数的全部内容,函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼,是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题,研究问题和解决问题。

所谓方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系,通过设未知数、列方程或方程组,解方程或方程组等步骤,达到求值目的解题思路和策略,它是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础。

高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查,使用选择题和填空题考查函数与方程的思想的基本运用,而在解答题中,则从更深的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力的关系角度进行综合考查。

在解题时,要学会思考这些问题:(1)是不是需要把字母看作变量?(2)是不是需要把代数式看作函数?如果是函数它具有哪些性质?(3)是不是需要构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题?(4)能否把一个等式转化为一个方程?对这个方程的根有什么要求?……

常见的数学思想方法:特殊与一般

由特殊到一般,由一般到特殊,是人们认识世界的基本方法之一。数学研究也不例外,由特殊到一般,由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程,就是数学研究中的特殊与一般的思想。

我们对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始,通过总结归纳得出来的,证明后,又使用它们来解决相关的数学问题。在数学中经常使用的归纳法,演绎法就是特殊与一般的思想的集中体现。分析历年的高考试题,考查特殊与一般的思想的题比比皆是,有的考查利用一般归纳法进行猜想,有的通过构造特殊函数、特殊数列,寻找特殊点,确定特殊位置,利用特殊值、特殊方程等,研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题等。随着新教材的全面推广,高考以新增内容为素材,突出考查特殊与一般的思想必然成为今后命题改革的方向。

常见的数学思想方法:有限与无限

有限与无限并不是一新东西,虽然我们开始学习的数学都是有限的教学,但其中也包含有无限的成分,只不过没有进行深入的研究。在学习有关数及其运算的过程中,对自然数、整数、有理数、实数、复数的学习都是有限个数的运算,但实际上各数集内元素的个数都是无限的。在解析几何中,还学习过抛物线的渐近线,已经开始有极限的思想体现在其中。数列的极限和函数的极限集中体现了有限与无限的思想。使用极限的思想解决数学问题,比较明显的是立体几何中求球的体积和表面积,采用无限分割的方法来解决,实际上是先进行有限次分割,然后再求和求极限,这是典型的有限与无限的思想的应用。

函数是对运动变化的动态事物的描述,体现了变量数学在研究客观事物中的重要作用。导数是对事物变化快慢的一种描述,并由此可进一步处理和解决函数的增减、极大、极小、、最小等实际问题,是研究客观事物变化率和化问题的有力工具。

高考中对有限与无限的思想的考查才刚刚起步并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限思想。例如,在使用由特殊到一般的归纳思维时,含有有限与无限的思想;在使用数学归纳法证明时,解决的是无限的问题,体现的是有限与无限的思想,等等。随着对新增内容的考查的逐步深入,必将加强对有限与无限的思想的考查,设计出突出体现出有限与无限的思想的新颖试题。

常见的数学思想方法:或然与必然

随机现象有两个最基本的特征,一是结果的随机性,即重复同样的试验,所得到的结果并不相同,以至于在试验之前不能预料试验的结果;二是频率的稳定性,即在大量重复试验中,每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近。了解一个随机现象就要知道这个随机现象中所有可能出现的结果,知道每个结果出现的概率,知道这两点就说对这个随机现象研究清楚了。概率研究的是随机现象,研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”,然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题,这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想。

随着新教材的推广,高考中对概率内容的考查已放在了重要的位置。通过对等可能性的概率,互斥有一个发生的概率、相互同时发生的概率、n次重复试验恰相好有k次发生的概率、随机的分布列与数学期望等重点内容的考查,考查基本概念和基本方法,考查在解决实际应用问题中或然与必然的辩证关系。

概率问题,无论属于哪一种类型,所研究的都是随机中“或然”与“必然”的辩证关系,在“或然”中寻找“必然”的规律。

常见的数学思想方法:化归与转化

将未知解法或难以解决的问题,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做化归与转化的思想。化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。

除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是,如未知向已知转达化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现。(转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法。数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归,数形结合思想体现了数与形的相互转化;函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化,以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说,转化与化归是数学思想方法的灵魂。)

转化有对应是人们对两个因素之间的联系的一种思想方法,小学数学一般是一一对应的直观图表,并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证。

熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是骒转化的基础;丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。有人认为“抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥匙,说的也不无道理。

常见的数学思想方法:数形结合

数形结合的思想,在数学的几乎全部的知识中,处处以数学对象的直观表象及深刻的数量表达这两方面给人以启迪,为问题的解决提供简捷明快的途径。它的运用,往往展现出“柳暗花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。华罗庚先生曾作过精辟的论述:“数与开形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数缺形时少直觉,形少数时难人微,数形结合百般好,隔裂分家万事非。切莫忘,几何代数统一体,永远联系切莫离。”

数形结合既是一个重要的数学思想,也是一种常用的解题策略。一方面,许多数量关系的抽象概念和解析式,若赋予几何意义,往往变得非常直观形象;另一方面,一些图形的属性又可通过数量关系的研究,使得图形的性质更丰富、更精准、更深刻。这种“数”与“形”的相互转换,相互渗透,不仅可以使一些题目的解决简捷明快,同时还可大大开拓我们的解题思路。可以这样说,数形结合不仅是探求思路的“慧眼”,而且是深化思维的有力“杠杆”。

由“形”到“数”的转化,往往比较明显,而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识。因此,数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。

在高考中,选择题和填空题这两种题型的特点(只需写出结果而无需写出过程),为考查数形结合的思想提供了方便,能突出考查考生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识。而在解答题中,考虑到推理论证的严谨性,对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不是提倡使用几何的方法,解答题中对数形结合的思想的考查以由“数”到“形”的转化为主。