裂项公式大全 三次方裂项公式大全

求一个式子的裂项公式

则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）- [1/(n+1)]（裂项求和）

两者必相等 否则无解 即p=mn，k不得0时 才能裂项成你列的形式

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Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

理论

两未知数

需要两

程便能解决

现三

程所

必恒等

说解

B两

值B=m/k

B=p/nk

相等

解即

裂项

说没

错

小学分数裂向公式

=((1/2-1/4)+(1/4-1/8))+((1/3-1/4)+(1/4-1/5)+(1/5-1/6))

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

(为什么？)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

急！！裂项公式的题目

Cn=anbn

an=1/(2n+1)(2n+2)=>an=1/2n+1 - 1/2n-1,

当n=1时，an=1/3 - 1,

当n=2时，an=1/5 - 1/3,

当n=3时，an=1/7 - 1/5,

则可知，当n=n时，an=1/2n+1 - 1/2n-1，

则Sn为所有的项相加，则可约掉一部分（列如1/3 与- 1/3)

则Sn=1/2n+1 - 1

解:由An=2(Sn^2)/(2Sn-1) (n≥2),得

Sn-S(n-1)=2(Sn^2)/(2Sn-1) (n≥2),

得S(n-1)-Sn-2S(n-1)Sn=0

得1/Sn-1/S(n-1)=2

所以数列{1/Sn}是等数列,首项为1/S1=1/A1=1,公为2.

所以1/Sn=1+(n-1)2=2n-1

所以Sn=1/(2n-1)

=2/[(2n-1)(2n-3)];

当n=1时,A1=1

专家提供：所以当n≥2时,An=Sn-S(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n-3)

an=1/(2n+1)(2n+2)=1/(2n+1)-1/(2n+2)

=1/3-1/4+1/5-1/6+...+1/(2n+1)-1/(2n+2)

还是解不了,题目有误

呓？用了三张草稿纸了，怎么不行呢……题目条件不足吧

利用三角函数两角和或，达成裂项相消的公式有哪些？

Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn

sinA+sinB=2 Sin(A+B)/2Cos(A-B)/2

sinA-sinB=2 Cos(A+B)/2Sin(A-B)/2

cosA+cosB=2 Cos(A+B)/2Cos(A-B)/2

cosA-cosB=-2 Sin(A+B)/2Sin(A-B)/2

不知你问的是不是这个,这几47个只是推论,可以证明

裂项求和的通项公式,在详细告诉我下是怎么推出来的``

=1-（1-1/2）-[1/（1+1）-1/（1+2）]-[1/（1+2）-1/（1+2+3）]-......-[1/（1+2+3+4+5+6+7+8+9）-1/（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）]

裂项求和法通项的形式一般是一个分式!分子是一个常数!分母是若干个单项式的乘积!裂分时用待定系数法!以下举例说明a(n)=1/n(n+1)求前n项和!先裂项!由于a(n)=1/n(n+1)设a(n)=p/n+q/(n+1)通分得a(n)= (pn+p+qn)/n(n+1)=1/n(n+1)故p+q=0、p=1故p=1、q=-1故a(n)=an=ak+(n-k)d1/n-1/n+1 故s(n)=1-1/n+1 如果分母是多个单项式之积也用同样方法!!

线性回归方程公式是什么呢？裂项相消是什么呢？

=(2/1-1/2)+(2/2-2/3)+(2/3-2/4)+(2/4-2/5)+(2/5-2/6)

高三的线性回归方程公式是：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。把通项公式写成前后能够消去的形式，裂项后消去中间的部分，达到求和目的一种数列求和方法就是裂项相消。

（5） n·n!=(n+1)!-n!

1.线性回归方程公式：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。2、裂项相消公式（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]。（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]。（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}。（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)。（5）n·n!=(n+1)!-n!

求常见裂项相消公式

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ，1/（n-1）-1/n<1/n2<1/n-1/n+1（n≥2）

1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）

1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

n·n!=(n+1)!-n!

扩展资料：

【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]（裂项）

= 1-1/(n+1)

= n/(n+1)

【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.

解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）

则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）

= [n(n+1)(n+2)]/3

2/n（n+1）=2/n-2/n+1

求关于数列的所有方法，例如累加法裂项相消法……并附带上例题我会加分的。谢谢

=2(1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6)=2(1/2-1/6)=2/3

1. 公式法：等数列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

其他

1+2^2+3^2+4^2+........+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1+2^3+3^3+4^3+........+n^3=[n(n+1)/2]^2

2.错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等的一次函数乘以等比的数列形式 和等等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：

an=a1+(n-1)d

bn=b1·q^(n-1)

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______①

=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)

=a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)

Tn=上述式子/(1-q)

此外.①式可变形为

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn为{bn}的前n项和.

此形式更理解也好记

3.倒序相加法

这是推导等数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+...... +an

Sn =an+ a(n-1)+a(n-2)...... +a1

上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2

4.分组法

有一类数列，既不是等数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例如：an=2^n+n-1

常用公式：

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（6）1/（√n+√（n+a））=1/a（√（n+a）-√n）

[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

则Sn

=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）

=这样才能多项 相消 1-1/(n+1)

= n/(n+1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意： 余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取个值时命题成立；

（2）设当n=k（k≥n的个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例：

求证：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

证明：

当n=1时，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

设命题在n=k时成立，于是：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

则当n=k+1时有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×45 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证

7.通项化归

先将通项公式进行化简，再进行求和。

如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。

8.并项求和：

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

方法一：（并项）

求出奇数项和偶数项的和，再相减。

方法二：

（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

如何用裂项法求数列的和

(1)当

裂项求和与倒序相加、错位相减、分组求和等方法一样,是解决一些特殊数列的求和问题的常用方法.这些独具特点的方法,就单个而言,确实精巧,

=1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15

例子：

求和：1/2+1/6+1/12+1/20

＝1/(12)+1/(23)+1/(34)+1/(45)

＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)

＝1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5

在裂项求和中最常见的是已知an（数列）求和.一般在高二数学中存有,是一类规律性题目.

一、基本概念：

1、 数列的定义及表示方法：

3、 有穷数列与无穷数列：

4、 递增（减）、摆动、循环数列：

5、 数列{an}的通项公式an：

6、 数列的前n项和公式Sn:

8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：

二、基本公式：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

10、等数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式；当d=0时,an是一个常数.

11、等数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=

当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）,Sn=na1是关于n的正比例式.

12、等比数列的通项公式：an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)

13、等比数列的前n项和公式：当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；

当q≠1时,Sn= Sn=

三、有关等、等比数列的结论

14、等数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等数列.

15、等数列{an}中,若m+n=p+q,则

16、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则

17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列.

18、两个等数列{an}与{bn}的和的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等数列.

19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an bn}、 、 仍为等比数列.

20、等数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等数列.

21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.

22、三个数成等的设法：a-d,a,a+d；四个数成等的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d

23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)

24、{an}为等数列,则 (c>0)是等比数列.

25、{bn}（bn>0）是等比数列,则{logcbn} (c>0且c 1) 是等数列.

26.在等数列 中：

（1）若项数为 ,则

（2）若数为 则,,

27.在等比数列 中：

（1） 若项数为 ,则

（2）若数为 则,

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.关键是找数列的通项结构.

28、分组法求数列的和：如an=2n+3n

29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n

30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

31、倒序相加法求和：如an=

32、求数列{an}的、最小项的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=

33、在等数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求

(1)当 >0,d

裂项相消法常见公式

否则

1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

具体说来,若分母是2次,则分子是1次,即写成ax+b;若分母是1次,则分子是0次,写成a。这里的a、b都是待定的系数。

1/n(n+1)(n+2)=0.5[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]