三角形的四心 三角形的四心分别是

三角形四心五线性质

∴ 垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。①.

2、中线及重心：三角形的顶点及其对边中点的连线称为该对边的中线，三角形三边上的中线相交于一点，称为三角形的重心。

三角形的四心 三角形的四心分别是

三角形的四心 三角形的四心分别是

3、角平分线及内心：三角形三个内角平分线的交点，称为三角形的内心(内切圆的圆心)。

4、中垂线及外心：三角形三条边的中垂线(垂直平分线)相交于一点，称为三角形的外心(外接圆的圆心)。

5、中位线：三角形两条边中点的连线段称为第三边对应的中位线。

五线四心代表了三角形的一些独特的特点，如重心分中线为长度为2：1的两段，角平分线把对边分成的两部分长度之比为另外两边长度之比，内心到三边的距离相等……

三角形的外心，到五心性质别记混，做起题来真是好。三角形的三个顶点的距离相等，也就是说三角形的三个顶点在三角形的外接圆上，外接圆的圆心就是三角形的外心。

三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是的;但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

三角形的外心还有如下性质：

1.锐角三角形的外心在三角形内;

2.直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合;

3.钝角三角形的外心在三角形外;

4.等边三角形外心与内心为同一点，或者说正三角形四线合一、四心合一。

三角形的重心、垂心、内心和外心各是什么？

三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心 外心的性质：

三角形的中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一重心定理：重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。心，称做正三角形的中心。

又因为在平行四边形 中, 交 于点 ,

三角形的内心：三条角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称。到三边距离相等。

三角形的外心：三条中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称。到三顶点距离相等。

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扩展资料

重心的性质：

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

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三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

外心到三顶点的距离相等 三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心 内心的性质：

三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的的二分之一。

三角形三条中线、高、角平分线的交点分别叫什么？

ADPE是菱形.

重心定理

1、重心：三角形的三条中线交点。

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．

上述交点叫做三角形的重心.

外心定理

三角证明：如图10,由命题五、六知,连结AG并延长,交BC于D,则D为BC的中点.形的三边的垂直平分线交于一点．

这点叫做三角形的外心.

垂心定理

三角形的三条高交于一点．

这点叫做三角形的垂心.

内心定理

三角形的三内角平分线交于一点．

这点叫做三角形的内心.

三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．

这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．

它们都是三角形的重要相关点．

重心是中线交点

内心是角平分线交点(或内切圆的圆心)

外心是中垂线交点(或外接圆的圆心)

垂心是高线交点

这称三角形的四心。

还有一个心叫傍心：外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心)

只有正三角形才有中心，这时重心、内心、外心、垂心四合一。

三角形四心及其性质是什么？

3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。

重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。

（由命题六知：H为垂心,）

外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

图6

垂心：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。

内心：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。

扩展资料：

已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O

求证：O点在BC的垂直平分线上

证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO

∵EO垂直平分AC，∴AO=CO

∴BO=CO

即O点在BC的垂直平分线上

三角形四心的向量表示

1、垂线及垂心：从三角形的顶点向其对边或对边的延长线作垂线段，称为该对边上的高(也称垂线)。三角形三边上的高或它们的延长线相交于一点，称为三角形的垂心。

三角形“四心”的向量性质及其应用

设D为BC的中点,则 ,

一、三角形的重心的向量表示及应用

故 ,

命题一已知 是不共线的三点, 是 内一点,若 ．则 是 的重心．

证明：如图1所示,因为 ,

所以 ．

以 , 为邻边作平行四边形 ,

则有 ,

所以 ．

所以 是 的边 的中线．

故 是 的重心．

例1如图2所示, 的重心为 为坐标原点, , , ,试用 表示 ．

设 交 于点 ,则 是 的中点,

而点评：重心问题是三角形的一个重要知识点,充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．

变式：已知 分别为 的边 的中点．则 ．

证明：如图的所示,

．．

证明： , ,

．

点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则,证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若 与 重合,则上式变为 0．

二、三角形的外心的向量表示及应用

命题二：已知 是 内一点,满足 ,则点 为△ABC的外心.

例2 已知G、M分别为不等边△ABC的重心与外心,点A,B的坐标分别为A（-1,0）,B（1,0）,且 ∥ ,（1）求点C的轨迹方程；（2）若直线 过点（0,1）,并与曲线交于P、Q两点,且满足 ,求直线 的方程.解 （1）设C（x,y）,则G（ ）,

其中 ,

由于 ∥ ,

外心M（0, ）,

,得

轨迹E的方程是

（2）略.

三、三角形的垂心的向量表示及应用

命题三：已知 是 内一点,满足 ,则点G为垂心.（2005全国文12）

证明:由 .

即则

所以P为 的垂心.

点评：本题将平面向量有关运算、“数量积为零,则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识巧妙结合.

变式：若H为△ABC所在平面内一点,且

则点H是△ABC的垂心

BC

HA

证明:

即 0

同理 ,

故H是△ABC的垂心

四、三角形的内心的向量表示及应用

命题四：O是内心 的充要条件是

变式1：如果记 的单位向量为 ,则O是 内心的充要条件是

变式2：如果记 的单位向量为 ,则O是 内心的充要条件也可以是 .

例4（2003江苏）已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,满足 , ,则P的轨迹一定通过△ABC的内心 .

PE

CO

AB

D图7

,,

设 , ,

D、E在射线AB和AC上.

AP是平行四边行的对角线.

又 ,

故P点的轨迹一定通过△ABC的内心.

五、三角形外心与重心的向量关系及应用

命题五：设△ABC的外心为O,则点G为△ABC重心的充要条件为：

图8

证明：如图8,设G为重心,连结AG并延长,交BC于D,则D为BC的中点.

∴反之,若 ,

则由上面的证明可知：

从而 ,

∴G在中线AD上且AG= AD,即G为重心.

六、三角形外心与垂心的向量关系及应用

证明：如图2,若H为垂心,以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC,

则∵O为外心,

∴OB=OC,

∴ OD⊥BC,而AH⊥BC,

∴ AH∥OD,

∴存在实数 ,使得

比较①、②、③可得, ,

∴反之,若 ,则 ,

∵ O为外心,∴OB=OC

∴∴AH⊥CB,同理,BH⊥AC.

∴ H为垂心.

例6、已知H是△ABC的垂心,且AH=BC,试求∠A的度数

∵ H是△ABC的垂心

∴∴

∴∵AH=BC,

∴∴

而∠A为△ABC的内角,

∴ 0＜2A＜360° 从而2A=90°或270°

命题七：△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H,则O、G、H三点共线（O、G、H三点连线称为欧拉线）,且OG= GH.

图10

, ,

∴∴O、G、H三点共线,且OG= GH.

例7、已知O（0,0）,B（1,0）,C（b,c）,是 OBC的三个顶点.试写出 OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G、F、H三点共线.（2002年全国）

重心G为 ,设H点的坐标为

∵ ,BC=(b-1,c),

,故

H点的坐标为

设外心F的坐标为 由|FO|=|FC|,得 ,

所以F点的坐标为（ , ）.

从而可得出GH=（ , ）,FH=（ , ）

,GH∥FH,F、G、H三点共线.

点评：向量不仅是平面解析几何入门内容,而且是解在关数形结合问题的重要工具.它一般通过概念的移植、转化,将坐标与向量结合起来,从而使一些难题在思路上获得新的突破.

例8、已知P是非等边△ABC外接圆上任意一点,问当P位于何处时,PA2+PB2+PC2取得值和最小值.

如图11,设外接圆半径为R,点O是外心,则

图11

PA2+PB2+PC2=

∴当P为OH的反向延长线与外接圆的交点时,有值6R2+2R·OH

当P为OH的延长线与外接圆的交点时,有最小值6R2－2R·OH

关于三角形的四心的数学题~

变式引申：如图4,平行四边形 的中心为 , 为该平面上任意一点,

如图 ∵I是内心 ∴ ∠IBD=∠IBC

∵ C'是I关于AB 的对称点 ∴ C'D=DI

∵ B在A'B'C' 的外接圆上 ∴ BI=2DI

∠ DBI=30° 旁心定理 ∠ ABC=60°

选C图2

三角形四心的向量表示及证明

内心：三个内角平分线交点

三角形四心的向量表示及证明如下：

1.垂心

三角形的重心是中心线的交点，垂直中心是高度的交点，外中心是外接圆的中心，内中心是内切圆的中心。这些应该是没有被证明的公理。高考中经常用“向量”来考察“三角形”。

它们的向量表达式有许多重要的性质，这些性质总是会引出一些新奇而独特的问题。他们不仅考察向量等知识点，还培养考生分析问题、解决问题的能力。这就要求我们在熟悉三角形定理和向量的代数运算的基础上，理解向量的几何意义。

一、三角形的四心及其这些心的重要推论?

重心:三角形。这个点一定在三角形以内，这个点把每条中心线分成的三条角平分线和内心的交点:三角形。这个点一定也是这个三角形的内切圆的圆心。

外中心:的三条垂直线的交点。锐角三角形在三角形以内。钝角三角形这个点在三角形之外，这个点到三角形的三个顶点的距离相等，也是这个三角形的外接圆的圆心。垂直居中:。

二、三角形四心的定义及性质

震中。三角形外接圆的中心简称为震中。还有与震中密切相关的圆周角定理。圆周角定理:同一圆弧对着的圆周角是圆心角的一半。证明是缩写(分类思路，三种，半径相等)。

周长推断1:半圆(圆弧)和半径。给定90‵的圆周角，做它对面的弦，也就是直径。)圆周角推论二:同一(相等)圆弧对着的圆周角相等。在同一个(中心：正三角形的重心、内心、外心、垂心相等的)圆中，

三、三角形的四个心是什么

四个中心分别是:三个高度的交点，三条中线的交点，三条角平分线的交点，三条边的垂线的交点。有兴趣的可以去看看。四心在几何中的用途不可估量，一两句话不完整。首先，a三角形有五颗心，不是四心。

对于三角形，五心应该是不一样的！垂直中心是三条高线的交点，并且只有一条。心是三条平分线的交点，而且只有一条。

震中是三边垂线的交点，而且只有一个。但是有三个边心，是每个角的相邻补角的平分线的交点。内心:三条平分线的交点也是三角形内切圆的圆心。属性:到三边的距离相等。偏心:三条垂线的交点也是三角形外接圆的圆心。

属性:到三个顶点的距离相等。重心:三条中线的交点。性质:三条中线的平分线到顶点的距离是对边中点距离的两倍。垂直中心:三个高度的直线的交点。

四、三角形的四心四心都是什么的交点

重心、外中心、内中心、垂直重心是中心线的交点，它到顶点的距离是它到对面中点的距离的两倍。内圆心是角平分线(或内切圆的圆心)的交点，它到三角形3边的距离相等，外中心是中间垂直线的交点(或外接圆的中心)，它达到/120。

三角形四心的向量表示及证明是什么？

外心:三中垂线的交点;

三角形的重心是中线的交点，垂心是高的交点，外心是外接圆的中心，内心是内切圆的中心，这些应该是公理没有证明的。

在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，总会衍生出一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题，解决问题的能力。这就需要我们在熟悉三角形的“四心”定理及向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。

三角中心.. 三角形没有这个心吧..命题六：设△ABC的外心为O,则点H为△ABC的垂心的充要条件是 .形的四心

1，三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。

2，三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

3，锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。

4，OA=OB=OC=R。

5，∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA。

6，S△ABC=abc/4R。

三角形有几个内心，几个外心？

点P在 即 的∴平行四边形OBDC为菱形平分线上.

三角1、重 心形只有五种心

重心:三中线的交点;

垂心:三高的交点;

内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称;

旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称.

当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.

这是我在静心思考后得出的结论，如果能帮助到您，希望您不吝赐我一采纳，如果不能请追问，我会尽全力帮您解决的。

三角形各心的特点

三角形的重心：三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。重心分中线比为1：2。

所谓三角形的"四心",是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心,外心,垂心与重心.

所以 , ．

三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心.

2.重心4、三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心.

3.三角形三边的中垂线交于一点,这一点为三角形外接圆的圆心,称外心

4.三角形三内角平分线交于一点,这一点为三角形内切圆的圆心,称内心,

重心 三边上中线的交点

垂心 三条高的交点

内心 内接圆圆心 三个角角平分线交点

外心 外接圆圆心 三条边的垂直平分线交点

还有一个心叫旁心:外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心) 只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.

三角形的中心是什么，有什么特点或性质

垂同理,存在实数 , ,使得心：高的交点

一般的三角形有垂心（三条高的交点），重心（三条中线交点），内心（三条内角平分线交点）和外心（三边垂直平分线交点）。只有等边三角形才有中心，因为等边三角形四心合一。所以等边三角形的中心兼有四心的则 ．所有性质。