圆的切割线定理_圆的切割线定理图解

圆的切线的判定定理这一课的易错点是什么？

13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.

122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

圆的切割线定理_圆的切割线定理图解

圆的切割线定理_圆的切割线定理图解

123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等

131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项

132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切弦切角定理 d=R+r

③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ?

④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)

136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公弦

137定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

圆有什么性质?

圆、圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等弧、等圆、同心圆、弓形、弓形的高。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D

几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A

则有

PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线是得到切线定理PA^2=PCPD

证明：（令A在P.B之间，C在P.D之间）因为ABCD为圆内接四边形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC与三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PAPB=PCPD

切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

几何语言：∵l

⊥OA，点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）

切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点半径

∴l

⊥OA（切线性质定理）

推论1

经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点

∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）

弦切角

几何语言：∵∠BCN所夹的是

，∠A所对的是

∴∠BCN=∠A

推论

如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

几何语言：∵∠BCN所夹的是

，∠ACM所对的是

，=

∴∠BCN=∠ACM

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

4．弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：

（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；

（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；

（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线．

它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可，比如下图中

均不是弦切角．

（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．

弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤对的圆周角．它是圆中证明角相等的重要定理之一．

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

由无数个点连接成

平行切割定理怎么证

2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;

已知：如下图，直线l1‖l2‖l3，AB=BC。求证：DE=EF。 证明：过E作EF‖AC，分别交l1、l3于点G、 H。则在 ABEG和 BCHE中， AB=GE, BC=EH ∵AB=BC ∴GE=EH ∵∠EDG=∠EFH，∠DEG=∠FEH, ∴△DEG≌△FEH ∴DE=EF 如果看不清楚就看参考资料所给的网址上的吧参考资料：

弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

初三数学所有圆的定律

136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

圆的直径连接两头（一端在圆上，一端在直径上）

17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.

这个角是直角

这叫垂径定理

圆周角定理 是

多少

——乘圆面积或周长=这个扇行的面积或那条弧

360

别的我就不知道了

．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合．

2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．

圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）

切线长定理

垂径定理

圆周角定理

四圆定理

3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．

5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．

7.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

9.圆的两条平行弦所夹的弧相等

10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.

(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.

(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

(4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.

(5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.

12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.

16.同一个弧有无数个相对的圆周角.

18.圆的内接四边形的对角互补或相等.

19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.

20.直径是圆中最长的弦.

21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧.

补充：九点共圆定理

三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这9点共圆.

九点圆是几何学史上的一个问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Bn〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788-1867〕.也有说是1820-1821年间由法国数学家热而工〔1771-1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.

九点圆具有许多有趣的性质,例如:

3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.

4.九点圆是一个垂心组共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆,十二个旁切圆相切.

5.九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线且OG=2VG VO=2HO

九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。

事先定义的变量与垂心、外心一样：

d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘（句子很长^_^）。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。

弦是指圆的圆弧上任意两点的连线，直径是最长的弦，弦与从圆心发出的一条直线之间的距离叫做弦心距。 还有他说的垂径定理不完全。。他说的根本没用。。。垂径定理是指圆心与弦的连线，如果这条连线垂直与弦，那么这条线平分弦。。。。

圆的所有定义及公式

此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

101圆是定点的距离等于定长的点的

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半

径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直

平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距

离相等的一条直线

109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等

115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所

公式：S=ch+2s=ch+2πr2对的弦是直径

119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它

的内对角

②直线L和⊙O相切d=r

③直线L和⊙O相离d＞r

122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积

相等

131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆内切d=R-r(R＞r)⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)

137定理把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

什么叫切割线定理

切割线切线的判定和性质定理

切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT^2=PA·P说明：一个圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，一个圆绕圆心旋转任意角度，都能够和原图形重合，即圆还具有旋转不变性。B（切割线定理）推论

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT^2=PA·PB=PC·PD

【高中】关于圆的所有定理

14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧

半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径

三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

弦切角等于所夹弧所对的圆周角

推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

切线的性质与判定定理

（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵mn⊥oa且mn过半径oa外端

∴mn是⊙o的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于弦切角等于它所夹的弧对的圆周角切线的直线必过切点

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：过圆心

过切点

垂直切线中知道其中两个条件推出一个条件

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

圆内相交弦定理及其推论：

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等

即：在⊙o中，∵弦ab、cd相交于点p

∴pa·pb=pc·pa

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

什么是圆的切割线定理？？

几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．线

∴PT2=PA·PB（切割线定理）

推论

从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等

几何语言：∵PBA、PDC是⊙1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;O的割线

∴PT2=PA·PB（切割线定理推论）

初中数学有关圆的知识

21.一弧长公式l=ara是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2lr条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧

圆不就是圆上的任何一点到圆心的距离都相等，人后相同的圆心角对应的炫也相等啊！

（1）、连接MC,由勾股定理易知OC=√3，∴c（0，√3）或（0，-√3﹚

（2）、连接AP,则∠PAB=∠PQB∵∠G+∠PBO=90°,∠PAB+∠PBO=90°∴∠G=∠PQB

∵∠QOH=∠GOP∴⊿GOP∽⊿QHO∴OH·OG＝OP·OQ

再证⊿AQO∽⊿PBO∴OP·OQ=OA·OB∴OH·OG=OA·OB=3

(3)如图,E为的上的一个动点

这句话漏了字，无法做，等我查到了资料再做

SAD

什么是圆幂定理？

圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳。

根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。

圆幂=PO^2-R^2（该结论为欧拉公式）

所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有

PA·PB=PC圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。

圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。