等比数列求和 等比数列求和公式推导

等比数列求和方法

（3）若“G是a、b的等比中项”则“G2=ab（G≠0）”。

等比数列求和方法如下：

等比数列求和 等比数列求和公式推导

等比数列求和 等比数列求和公式推导

等比数列求和公式：

错位相减法是“加、减、乘、除”的综合运用，即“一加、二乘、三减、四除”。一加：写出展开的各项；二乘：对展开式的每一项乘以等比数列的公比。

n}是等比数列。

三减：用“一加”所得等式减去“二乘”所得等式，在相减时一定要错位相减；四除：等式两边除以的系数，整理得出的结果。形如An=BnCn，其中{Bn}为等数列，{Cn}为等比数列。

等比数列介绍如下：

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。{an}中的每一项均不为0。注：q=1时，an为常数列。

根据历史传说记载，象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的。据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训。

他向国王了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情。

国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐。

宰相开口说道：请您在棋盘上的个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的两倍。

直到一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了。“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求。

等比数列的定义介绍如下：

请问：等比数列的求和公式是什么？

1）等比数列：a（n+1）/an=q,

n为自然数。

（2）通项公式：an=a1q^（n－1）；

推广式：

an=am·q^(n－m)；

（3）求和公式：Sn=na1(q=1)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

=a1/(1-q)-a1/方法二：(1-q)q^n

(即a-aq^n)

(前提：q奇数项为：a，a+2d，a+4d …… a+2nd不等于

1)

（4每一项与它的前一项的等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等数列的公，公常用字母d表示。）性质：

①若

m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=apaq；

②在等比数列中，依次每

(5）“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

（6）在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.

注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

等比数列与等数列的求和公式

1+2^2+3^2+4^2+........+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

等数列偶数项和的公式为：S偶 =(a+nd)n

2.等比数列求和公式

求和过程为：

k项之和仍成等比数列.

设原数列首项为a，公为d，项数为2n+1项

则原数列依次为：a，a+d，a+2d，a+3d ……. a+2nd

奇数项和为：S奇 = [a + (a+2nd)](n+1)/2 = (a+nd)(n+1)

偶数项为：a+d，a+3d，a+5d …… a+(2n-1)d

偶数项和：S偶 = [(a+d) + (a+2nd-d)]n/2 = (a+nd)n

S奇/S偶 = (n+1)/n

拓展资料：

等数列是常见数列的一种，可以用AP表示。如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等数列，而这个常数叫做等数列的公，公常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。等数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。注意： 以上n均属于正整数。

参考资料：

特殊等比数列求和公式

方（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ，1/（n-1）-1/nq大于1时等比级数发散。<1/n2<1/n-1/n+1（n≥2）法三：

) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数） (4)性质： ①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am×an=ap×aq； ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2 (5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

求关于数列的所有方法，例如累加法裂项相消法……并附带上例题我会加分的。谢谢

1. 公式法：等数列求和公式:

Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

1+2^3+3^3+4^3+........+n^3=[n(n+1)/2]^2

2.错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等的一次函数乘以等比的数列形式 和等等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：

an=a1+(n-1)d

bn=b1·q^(n-1)

Cn=anbn

Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______①

=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)

Tn=上述式子/(1-q)

此外.①式可变形为

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn为{bn}的前n项和.

此形式更理解也好记

3.倒序相加法

这是推导等数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+...... +an

Sn =an+ a(n-1)+a(n-2)...... +a1

上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2

4.分组法

例如：an=2^n+n-1

5.裂项法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

常用公式：

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1其他/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!

（6）1/（√n+√（n+a））=1/a（√（n+a）-√n）

[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

解：an=1/n等比数列{A(n)}，首项为A(1)，公比为q(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）

则Sn

=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）

= 1-1/(n+1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意： 余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取个值时命题成立；

（2）设当n=k（k≥n的个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例：

求证：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

证明：

当n=1时，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

设命题在n=k时成立，于是：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×45 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证

7.通项化归

先将通项公式进行化简，再进行求和。

如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。

8.并项求和：

方法一：（并项）

求出奇数项和偶数项的和，再相减。

（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

数列并项怎样求和？

等比数列的故事介绍如下：

并项求和常采用先试探后求和的方法。

+C)

方法一：（并项）

求出奇数项和偶数项的和，再相减。

（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

1、公式求和法：

①等数列、等比数列求和公式

②重要公式：1+2+…+n=

根据等数列求和公式：Sn=（首项+末项）项数÷212

n（n+1）；

12

+2

2=

16

n（n+1）（2n+1）；

13

+2

3+…+n

2=

14

n2

（n+1）

2。

2、裂项求和法：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a

n=f（n+1）-f（n），然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法．用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：a

n=

1(

+B)(

C-B

（1

+B

-1

An+C

）；

n-

1n+1

。3、错位相减法：对一个由等数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错位相减法．a

n=b

nc

n，其中{b

n}是等数列，{c

4、倒序相加法：S

n表示从项依次到第n项的和，然后又将S

n的一种求和方法。

参考资料来源：百度百科-数列求和

如何求等数列和等比数列的和呢？

（乘上公比）再用错位相减拓展阅读：等比数列的性质法。

形如An=BnCn，其中{Bn}为等数列，{Cn}为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q，即q·Sn；然后错开一位，两个式子相减。这种数列求和方法叫做错位相减法。

当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2

当x≠1时，Sn=1+3x则当n=k+1时有：+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1

∴xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn

两式相减得(1-x)Sn=1+2(x+x2+x3+x4+…+xn-1)-(2n-1)xn

例如：=11,3,5,7,9……2n-1。通项公式为：an=a1+(n-1)d。首项a1=1，公d=2。前n项和公式为：Sn=a1n+[n(n-1)d]/2或Sn=[n(a1+an)]/2。注意：以上n均属于正整数。

一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等数列是“同构”的。

若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等，公为log以a为底q的对数。等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)。在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。

参考资料来源：

参考资料来源：

等比级数求和公式是什么？

构造新的数列，可借用等数列与等比数列的复合。

等=(a1-a1q^n)/(1-q)比级数求和公式：

等比级数若收敛，则其公比q的等比数列前n项和公式具体是什么？必小于1。

故当n趋向于无穷时，等比数列求和公式中q的n次方趋于0（|q|<1），此时Sn=a1/(1-q)。

等比数列(又名几何数列):是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

等比数列的性质：

（1）若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。

（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an×bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

（5）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等，公为log以a为底q的对数。

等比数列求和公式是什么

(1-q)Sn=a1-a1q^n

数学是许多学生的难点，那么高中的等比数列求和公式是什么呢?快来和我一起看看吧。下面是由我为大家整理的“等比数列求和公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。

An

等比数列求和公式

1.等比数列通项公式

推广式：an=am×q^(n-m);

Sn=n×a1(q=1);

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)(q≠1);

(q为公比，n为项数)。

3.等比数列求和公式推导

(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q);

(2)qSn=a1qSn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-anq)/(1-q) (q≠1)+a2q+a3q+...+anq=a2+a3+a4+...+a(n+1);

(3)Sn-qSn=a1-a(n+1);

(4)(1-q)Sn=a1-a1q^n;

(5)Sn=(a1-a1q^n)/(1-q);

(6)Sn=(a1-anq)/(1-q);

(7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q);

(8)Sn=k(1-q^n)~y=k(1-a^x)。

(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

(3)若“G是a、b的等比中项”则“G2=ab(G≠0)”。

(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an×bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

(5)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等，公为log以a为底q的对数。

(6)等比数列前n项之和。

在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。

注意：上述公式中An表示A的n次方。

(7)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)×qn，它的指数函数y=ax有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。