二元泰勒公式：函数的局部近似

在数学中，二元泰勒公式是一个强大的工具，它允许我们通过利用函数在特定点的导数来创建函数的局部近似。它类似于一元泰勒公式，但适用于两个变量的函数。

二元泰勒公式：函数的局部近似

定义

对于一个定义在点 (a, b) 附近有连续偏导数的二元函数 f(x, y)，二元泰勒公式给出了该函数在点 (a, b) 附近的一个近似值：

$$f(x, y) approx f(a, b) + f_x(a, b)(x-a) + f_y(a, b)(y-b)$$ $$+ frac{1}{2} f_{xx}(a, b)(x-a)^2 + f_{xy}(a, b)(x-a)(y-b) + frac{1}{2} f_{yy}(a, b)(y-b)^2 + R_2(x, y)$$

其中：

(f_x), (f_y), (f_{xx}), (f_{xy}) 和 (f_{yy}) 是 f(x, y) 在点 (a, b) 处的偏导数。 (R_2(x, y)) 是余项，它表示近似的误差。

余项

余项 (R_2(x, y)) 由以下形式的积分表示：

$$R_2(x, y) = int_a^x int_b^y f_{xy}(t, u) du dt$$

应用

二元泰勒公式有许多重要的应用，包括：

局部近似：它可以为函数创建局部近似，该近似可用于计算特定点的函数值或理解函数的行为。 优化：通过找到一阶近似余项为零的点，可以找到多变量函数的临界点，这是潜在极值点的位置。 积分：它可以帮助近似难以解析的积分，通过将被积函数用泰勒展开式代替。

示例

考虑函数 f(x, y) = sin(x + y)。在点 (0, 0) 处展开二元泰勒公式，得到：

$$f(x, y) approx sin(0) + cos(0)x + cos(0)y = x + y$$

这意味着在 (0, 0) 附近，函数 f(x, y) 可以近似为 (x + y)。

结论