复杂的三角恒等变换 简单的三角恒等变换好难

如何灵活运用三角恒等变换公式？

把高一的拿出来好好看看，没有捷径，多记多练，熟能生巧

复杂的三角恒等变换 简单的三角恒等变换好难

复杂的三角恒等变换 简单的三角恒等变换好难

这个要靠记忆，不过简单的方法还是知道它的变化原理，可以利用数形结合

文科吧，做做题，碰到啥公式时，就记住，在把以前的笔记和题看看。

三角恒等变换的fan怎么求

1) 任意角、弧度制、任意角三角函数定义；

2) 同角三角函数基本关系式、诱导公式以及和角、角、半角、倍角、辅助角的有关公式；

3) 三角函数图像、图像变换及其性质。

1. 基本问题说明

一般地，很少会把三角恒等变换问题作为单独一个题目出现在考试中——即使有，也多见于单元测验或模块测评中。

但是，三角函数的多数问题，如求值问题、求角问题、参数问题等，一般都需要先进行三角恒等变换，也即三角恒等变换作为一个中间问题广泛存在于各种三角函数题型中，以达成简化式子、方便计算或变形/变换的目标。

换句话说，三角恒等变换是求解很多三角函数有关题目的关键一环。而且，这些题目的难度很多时候会体现在三角恒等变换上，因为其中涉及的技巧多且应用灵活。

因此，本文特把“三角恒等变换”作为一个的三角函数基本问题来论述。这样，一方面可突出该基本问题的重要性，另一方面可系统地归纳与总结相关的一般方法、技巧与结论，有助于更完整、全面地掌握它们。

2. 解决问题的一般解法

三角恒等变换的本质是得到所需形式的代数式——既可能是化简也可能是变形、甚至还可能是化繁（当然，多数情况下终会得到一个更简化的结果）。因此，三角恒等变换首先就要明确变换的目标，正所谓有的放矢。做好这点甚至比下述技巧更重要，往往起到事半功倍之效果。

切忌在还未弄清已知与未知之间的关系或联系，也未确定大致变换思路时，就开始盲目套公式和运算！

明确了大致的方向与目标，即可利用下述常用方法、技巧（俗称‘招数’）与结论进行三角恒等变换：

1) 角的变换- 将角度凑成或者变换成特殊角或所期望的角

提示： 不要求强记上面这些凑角的具体方式，但需要具备这种思维意识与方法，并抓住其本质——所凑角为已知角与待求角之间“纽带”。

2) 正余弦和式的平方互化

① 不同角时，可先得到正余弦和式的平方，再根据所求问题把平方的结果进行加或减运算，即可建立已知角与待求角之间的联系！

如已知sinx-siny和cosx-cosy，求sin(x+y)或tan(x+y)。

② 同角时，利用平方关系(cosα)^2 + (sinα)^2 = 1以及正余弦和式的平方，可在sinx + cosx、sinx –cosx和sinxcosx三项中，知一求二！

3) 正切和式的知二求一

由正切和角公式可知，tan(α)±tan(β)、tan(α±β)、tan(α) tan(β)三项中，知二求一。

4) 弦切互化

① 由商数关系tanx = sinx/cosx (tanxcosx = sinx)，在代数式为同次分式、二次分式等场合中，有时可通过弦切互化来便捷地求解问题。

② 利用倍角公式，可将两不同角的正余弦和式，转化为两半角和或的弦切函数。如已知sinx-siny和cosx-cosy，可先得出中间结果tan((x±y)/2)。（提示：根据三角函数‘知一求所有’，可得sin((x±y)/2)等其余同角函数值）

5) 升、降幂法–升、降幂是三角变换时常用的方法。

利用降幂公式（有时要结合(cosα)^2 + (sinα)^2 = 1），将高次三角函数降幂，使之与已知条件或某个可知条件的关系更近、甚至直接对接上，或者是为了简化三角函数式，使运算更简捷。

6) 函数名称的变换

一般地，三角变换时，有时需要将函数名称变换为同名函数。在三角函数中正余弦是基础，通常可化切为弦，变异名为同名（注意，此为一般原则，但不要化）。

7) 常数代换

在三角函数运算、求值或证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：。

8) 公式变形

三角恒等式是变换的依据，应熟练掌握三角恒等式的顺用、逆用及变形应用。

9) 配对法

10) 换元法

整体地代换某些因子，可避免不必要的展开，减低解题过程的繁杂程度和减少失误。

提示：三角换元与根式换元是换元法常用的两种情形。

11) 方程法

一般地，当题设有n个未知数时，若能找出或构造出n个方程（即等式），则可通过解方程组方便地求解这n个未知数

提示1：不要遗漏隐式的同角基本关系式(cosα)^2 + (sinα)^2 = 1；

提示2：方程思想是数学的重要思想之一，也是三角函数相关问题的基本方法。

12) 讨论法

将问题化整为零、化难为易；适用于有号、未确定象限的角、含参问题等情形。

13) 平方法

是升幂的方法之一，常与“(cosα)^2 + (sinα)^2 = 1”结合来解题。这种方法并不少见，且适用时效果往往很好。如通过平方可使sinα±cosα与sinαcosα互化。

14) 图像法

利用三角函数图像及其性质，可方便、高效地进行直观分析，进而便捷地求解问题。该方法要求同学具备快速、准确地画（草）图的能力。

15) 比例法

利用合比定理 a/b=c/d=(a+c)/(b+d),有时可方便地求解分式三角函数问题。

16) 项的分拆

17) 代换法（即公式）

将不同三角函数都化成半角的正切或化成倍角的余弦，但一般有运算复杂且量大的缺点，适用于某些特定情形。

提示：适用于cosα可知的情形，但具有运算复杂且量大的缺点。

19) 引入辅助角

详见本号基础知识文章“系统化，轻快学习高中数学三角函数之三角恒等变换有关必备知识”中有关“辅助角”的内容。

提示：除了上述众多招数，也得熟知三角恒等变换的一般原则，包括有的放矢、与诱导公式有关的‘三化’原则即“负角正化、大角小化、钝角锐化”、以及与恒等变换有关的‘三同’原则即“同名、同角、同次”。

20) 几个常见重要结论(可通过有关的已知公式、定理与性质推导出来）

③ 一个重要不等式：0<α<π/2，sinα<α

④ 三角形中，有sinA = sin(B+C)、cosA = -cos(B+C)、sin(A/2) = sin[(B+C)/2]。

⑤ 在任意非直角三角形中,有tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC

三角恒等变换公式是什么？

三角恒等变换公式如下：

数学的一类公式，用于三角函数等价代换，可以化简三角函数式，便于运算。基本可以从三角函数图像中推出诱导公式，也能从诱导公式中延展出其他的公式，其中包括倍角公式，和化积，公式等。

特点：

三角函数公式的本质是任何角的与一个比值的的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

三角恒等变换所有公式。

两角和与的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

二倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

公式：

半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

积化和公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

两角和与的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

二倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

公式：

半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

积化和公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]