证明余弦定理

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余弦定理及其证明

1.三角形的正弦定理证明：

步骤1.

在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

2.三角形的余弦定理证明：

平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosBc，AD=sinBc，DC=BC-BD=a-cosBc

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinBc)^2+(a-cosBc)^2

b^2=sin^2Bc^2+a^2+cos^2Bc^2-2accosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)c^2-2accosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2accosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

3在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

则c^2=a^2+b^2-2abcosC

a^2=b^2+c^2-2bccosA

b^2=a^2+c^2-2accosB

下面在锐角△中证明个等式，在钝角△中证明以此类推。

过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2aCD +(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2aCD

因为cosC=CD/b

所以CD=bcosC

所以c^2=a^2+b^2-2abcosC

望采纳。祝楼主学习进步~_~

如何证明正弦定理、余弦定理？

下面a、b、c都表示向量,|a|、|b|、|c|表示向量的模

因为a=b-c

所以a^2＝(b-c)^2

=b^2

+c^2

-2bc

所以|a|^2＝|b|^2

+|c|^2

-2|b||c|cosa

其它以此类推。

如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°－A，j与向量CB的夹角为90°－C

由图1，AC+CB=AB（向量符号打不出）

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·AC＋CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

注:向量符号打不出