离散傅里叶级数_离散傅里叶级数公式

谁知道DFT和FFT的发展历史啊

DFT可以说是是一切离散变化分析的前身，因为变化形式相似。

大连理工的 ?

离散傅里叶级数_离散傅里叶级数公式

离散傅里叶级数_离散傅里叶级数公式

FFT只是DFT的一种计算机快速算法，结果与DFT相同

DFT根据向量的正交性，可以推断出函数的正交性是通过欧拉公式，变换得到:满足就是把时域信号变化为频域，以得简明的物理含义与处理方法

傅里叶变换

在介绍函数的基，先看看向量基，这是我们熟悉的事情。对于直角坐标系任意点

当白色的光经过三菱镜的时候，就会分解成七色光。这就是一种傅里叶变换，将白色光分解成其中颜色的光，逆变换是七色光合成白色光。

我们看到的是7色光，而实际上是无穷多光，所以标准的表达式:

我们能够同时听到各种各样的声音，但是，我们的大脑弄将噪音剔除，而听清楚人的说话声音。这个过程与七色光是类似的。每一个声音都是一个波，那么，大脑将声音分解出来，将自己不想听的声波过滤掉，就是滤波，那么，就能够从混合的声音中听清楚想要的声音了。

前面所说的例子，都涉及到一个作，就是变换，这种变换就傅里叶变换，将一个函数分解成若干个函数的线性组合。

先从傅里叶级数入手。对于任意一个周期函数 其周期为 , 其可以分解成如下:

因为 的周期是 , 所以，我们选择的函数，需要也是周期是 , 在上面的式子中, 的最小周期是 ， 因为其最小周期是 ，所以 也是其周期。

例如

通过上面的解释，我们知道 和 都是满足周期是 的。

任何一个函数都能够分解成一个奇函数和一个偶函数的和。

都可以通过两个基本向量来表示, 分别是 和 , 也就是:

三维的也同样,

在向量空间，我们将 , 称作基向量，而任何一个向量都可以通过基向量的线性组合来表示出来。

那么，函数能否有类似的这样一组基来表示成函数基的线性组合呢？如果能够表示成基的线性组合，那么函数的分解这个问题也就解决了？

看看向量基具备的特性，然后，我们在仿照来寻找函数基.

向量满足正交性。也就是

顺便说一下, 其实代表了两个向量的相似度，正交基是垂直的所以相似度为0.

现在来考察 , 为了简单起见，令 , 考察 区间, 这样就是看 与 .

所以与向量的正交性定义是一致的，所以认为 与 是正交的。

同样的方式，可以证明以下是正交的:

所以， 是正交的，这也就是我们看到的傅里叶表达式，可以通过 这三个正交基来线性组合表达的方式。

有了函数正交基的概念，求解系数就变得非常容易，因为相互正交的积分为0, 自己与自己正交为 。先求解

为了简单，我们设 , 对 两边同时乘以正交基 并积分。如下:

所以有

同理也可以推导出

对于 来说，乘以 后做积分即可。

可以看出每一个系数实际就是 乘以 其相应正交基的积分。

上面是设 ，那么，去掉这个限制，用 来表示，就是如下:

求 的傅里叶级数，当 .

依据公式，求得:

, ,

所以

令 , 有

所以有:

这么神奇的级数和。

欧拉公式:

带入到傅里叶级数中有:

通过上面的等式，也可以得出:

现在复数域上傅里叶变换的表达式就是:

在这种变化下，正交基是 与 。也就是:

当 时,

当 时,

所以也是符合符合正交基的定义的。有了正交基，计算 就方便了，两边乘以 积分即可。所以有:

前面的计算是设 , 更通用的公式是:

傅里叶级数将函数从时域转换到频域。我们将傅里叶级数稍稍变化一下写法，以向量的形式写出来。就是:

我们将系数向量单独看，也就是说任何一个函数 , 如果，我们知道了系数向量也就知道了 , 因为函数基的向量都是一样的，每一个函数基又是周期函数，所以频率就代表了这个函数基，这样周期函数组成的函数基空间，就是频域。可以用下面的式子来表达:

是 的 傅里叶级数变换; 是 的逆变换。如果讲 以 为坐标系绘制成图像，就是频谱。

目前为止，我们使用了两种变换，分别是实数域变换和复数域变换，变幻出了不同的系数。那么，这些系数有什么含义？

在正弦函数基变化下，我们知道对于 其中, 是振幅，也就是代表了正弦波的能量。所以不论在哪种分解下，都是能量在不同的维度上的分解。

对于复数域上:

所以这些系数也可以看做是能量。上面的推导，也叫: 帕塞瓦。

前面的傅里叶级数是基于周期是 的周期函数变换而来。那么对于非周期函数如何解决呢？ 可以将其转化成 的函数来看待。为了方便，我们设周期 .

令将以上带入 有:

令:

有:

这与傅里叶级数的形式是一样的（一个是积分一个是求和）, 是函数基。 的傅里叶变换就是 , 是 的傅里叶逆变换， 。 就是频率曲线。

绘制出来是频谱，那么 就是曲线。

这幅图很好的说明了这个过程:

, 那么 的傅里叶变换 是什么呢？直接计简述离散傅立叶变所以 是奇函数; 同理可以证明 是偶函数。换（DFT）及快速算法FFT在数字信号处理中所处的地位和作用算:

所以 。这个性质在解微分方程的时候，非常方便。

帕塞瓦定理:

卷积的傅里叶变换。 卷积作的傅里叶变换推导:

所以 和 的卷积的傅里叶变换就是， 独自傅里叶变换的乘积。

在实际的情况中，我们很难获得连续的值，那么，就通过等间距采样来获得信号数据。那么，离散的采样回来的数据，如何进行傅里叶变换？这就是 离散傅里叶变换 D.F.T。

设采样了 个等间距的点, 获得数据是 ，令 , 离散傅里叶变换的表达式如下:

令 , 就有:

上面的的式子可以写成矩阵的形式:

这就是离散傅里叶变换。那么，离散傅里叶变换的逆变换如何计算呢？ 就是对变换矩阵 求逆矩阵即可。

到此已经将傅里叶级数，傅里叶变换，离散傅里叶变化 以及 傅里叶变换的卷积相关性质介绍完毕。

傅里叶级数怎么做?

扩展资料

1、门函数F(w)=2w w sin=Sa() w。

因为

2、指数函数（单边）f(t)=e-atu(t) F(w)=1，实际上是一个低通滤波器a+jw。

3、单位冲激函数F（w）=1，频带无限宽，是一个均匀谱。

4、常数1 常数1是一个直流信号，所以它的频谱当然只有在w=0的时候才有值，体现为（w)。F(w)=2(w) 可以由傅里叶变换的对称性得到。

5、正弦函数F(ejw0t)=2(w-w0)，相当于是直流信号的移位。F(sinw0t)=F((ejw0t-e-jw0t)/2)=((w-w0)-(w+w0))F(sinw0t)=F((e。

6、单位冲击序列jw0t-e-jw0t)/2j)=j((w-w0)-(w+w0)) T(t)=(t-Tn) -这是一个周期函数，每隔T出现一个冲击，周期函数的傅里叶变换是离散的F(T(t))=w0(w-nw0)=w0，w0(w) n=-单位冲击序列的傅里叶变换仍然是周期序列，周期是w0=2T。

傅立叶变换：

傅立叶变换是指将满足一定条件的某个函数表示成三角函数的积分。傅立叶变换是在对傅立叶级数的研究中产生的。在不同的研究领域，傅立叶变换具有不同的作用。

在分析信号的时候 主要考虑的频率、幅值、相位。

傅里叶变换的作用主要是将函数转化成多个正弦组合（或e指数）的形式，本质上变换之后信号还是原来的信号只为什么是上面的公式？从几个方面来解释, 1. 周期 2. 函数分解 3. 函数的基是换了一种表达方式 这样可以更直观的分析一个函数里的频率、幅值、相位成分。

所以分析一个复杂的信号只需经过傅里叶变换后可以轻易的看出其频率和相位、幅度分量。

傅里叶级数的公式是？

其中 表示 傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。的共轭。

傅立叶变换的公式为：

光是具有波粒二象性，所以我们可以认为光是波，那么，他的函数就是 , 其中 表示频率, 每一种颜色的光都是一个正弦波函数，所以白色光的函数表示就是:

即余弦正弦和余弦函数的傅里叶变换如下：

傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值。在一个周期内具有有限个极值点、可积。

傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。

参考资料来源：