一元二次方程解法口诀(一元二次方程解法口诀顺口溜)

怎么解一元二次方程

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：

一元二次方程解法口诀(一元二次方程解法口诀顺口溜)

一元二次方程解法口诀(一元二次方程解法口诀顺口溜)

一元二次方程解法口诀(一元二次方程解法口诀顺口溜)

1、直接方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：

1、直接方法：

直接方法就是用直接方求解一元二次方程的方法。用直接方法解形如(x-m)2=n

(n≥0)的

方程，其解为x=±根号下n+m

.例1．解方程（1）(3x+1)2=7

（2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解：

9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0

(a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+(

)2=-

+(

)2

方程左边成为一个完全平方式：(x+

)2=

当b^2-4ac≥0时，x+

=±

∴x=(这就是求根公式)

例2．用配方法解方程

3x^2-4x-2=0

(注：X^2是X的平方）

解：将常数项移到方程右边

3x^2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+(

)2=

+(

)2

配方：(x-)2=

直接方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

.3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,

b,

c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)

,(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程

2x2-8x=-5

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2,

b=-8,

c=5

b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)

∴原方程的解为x1=,x2=

.4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1)

(x+3)(x-6)=-8

(2)

2x2+3x=0

(3)

6x2+5x-50=0

(选学）

(4)x2-2(

+)x+4=0

（选学）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8

化简整理得

x2-3x-10=0

(方程左边为二次三项式，右边为零)

(x-5)(x+2)=0

(方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0

(转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0

(用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0

(转化成两个一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0

(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=,

x2=-

是原方程的解。

(4)解：x2-2(+

)x+4

=0

（∵4

可分解为2

·2

，∴此题可用因式分解法）

(x-2)(x-2

)=0

∴x1=2

,x2=2是原方程的解。

1．一元二次方程的定义

一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为

(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式

我们把

(a≠0)叫做一元二次方程的一般形式，特别注意二次项系数一定不为0，b、c可以为任意实数，包括可以为0，即一元二次方程可以没有一次项，常数项．

(a≠0)，

(a≠0)，

(a≠0)都为一元二次方程．

3．一元二次方程的解法

一元二次方程的解法有四种：(1)直接方法；(2)因式分解法；(3)配方法；(4)公式法．要根据方程的特点灵活选择方法，其中公式法是通法，可以解任何一个一元二次方程．

4．一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式为

．△>0

方程有两个不相等的实数根．

△＝0

方程有两个相等的实数根．

△<0

方程没有实数根．

上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．

5．一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程

(a≠0)的两个根是

，那么

．6．解应用题的步骤

(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；

(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

(3)找出相等关系，并用它列出方程；

(4)解方程求出题中未知数的值；

(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．

【解题思想】

1．转化思想

转化思想是初中数学常见的一种思想方法．

运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．

2．从特殊到一般的思想

从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．

3．分类讨论的思想

一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．

【经典例题精讲】

1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．

2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接方法和因式分解法，再考虑用公式法．

3．一元二次方程

(a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．

4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．

1.配方法

（可解全部一元二次方程）

如：解方程：x^2+2x－3=0

解：把常数项移项得：x^2+2x=3

等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4

因式分解得：（x+1)^2=4

解得：x1=-3,x2=1

用配方法解一元二次方程小口诀

二次系数化为一

常数要往右边移

一次系数一半方

两边加上相当

2.公式法

（可解全部一元二次方程）

首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根

1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中）

2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2

3.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根

当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a

来求得方程的根

3.因式分解法

（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。

如：解方程：x^2+2x+1=0

解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0

解得：x1=x2=-1

4.直接方法

（可解部分一元二次方程）

5.代数法

（可解全部一元二次方程）

ax^2+bx+c=0

同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0

设：x=y-b/2

方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为 (y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0

再变成：y^2+(b^223)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0

y=±√[(b^23)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]

1．一元二次方程的定义

一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为

(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式

我们把

(a≠0)叫做一元二次方程的一般形式，特别注意二次项系数一定不为0，b、c可以为任意实数，包括可以为0，即一元二次方程可以没有一次项，常数项．

(a≠0)，

(a≠0)，

(a≠0)都为一元二次方程．

3．一元二次方程的解法

一元二次方程的解法有四种：(1)直接方法；(2)因式分解法；(3)配方法；(4)公式法．要根据方程的特点灵活选择方法，其中公式法是通法，可以解任何一个一元二次方程．

4．一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式为

．△>0

方程有两个不相等的实数根．

△＝0

方程有两个相等的实数根．

△<0

方程没有实数根．

上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．

5．一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程

(a≠0)的两个根是

，那么

．6．解应用题的步骤

(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；

(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

(3)找出相等关系，并用它列出方程；

(4)解方程求出题中未知数的值；

(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．

【解题思想】

1．转化思想

转化思想是初中数学常见的一种思想方法．

运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．

2．从特殊到一般的思想

从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．

3．分类讨论的思想

一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．

【经典例题精讲】

1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．

2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接方法和因式分解法，再考虑用公式法．

3．一元二次方程

(a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．

4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．

一元二次方程详细的解法，越相信越好。

方法1：配方法（可解全部一元二次方程）

如：解方程：x^2-4x+3=0把常数项移项得：x^2-4x=-3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2-4x+4=1因式分解得：（x-2)^2=1解得：x1=3,x2=1

小口诀：二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上相当

方法2：公式法（可解全部一元二次方程）

首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac0时 x有两个不相同的实数根

当判断完成后,若方程有根可根属于第2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根

3.因式分解法（可解部分一元二次方程） （因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”.如：解方程：x^2+2x+1=0利用完全平方公式因式分解得：（x+1_^2=0解得：x1=x2=-1

4.直接方法

5.代数法。（可解全部一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0

设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错,应为 (y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0

再变成：y^2+(b^223)/4+c=0 X/y^2-b^2/4+c=0 y=±√[(b^23)/4+c] X/y=±√[(b^2)/4+c]

配方法解一元二次方程口诀

配方法解一元二次方程口诀如下：

配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。

方程式解一元二次的方法有：配方法、公式法、因式分解法、直接方法。

1、配方法：解方程：x^2-4x+3=0，把常数项移项得：x^2-4x=-3，等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2-4x+4=1，因式分解得：（x-2)^2=1，解得：x1=3，x2=1。小口诀：二次系数化为一，常数要往右边移，一次系数一半方，两边加上相当。

2、公式法：首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根。当Δ=b^2-4ac>0时，x有两个不相同的实数根。当判断完成后，若方程有根可根属于第2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根。

3、因式分解法：又分提公因式法、公式法（又分“平方公式”和“完全平方公式”两种）和十字相乘法。如：解方程：x^2+2x+1=0，利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0，解得：x1=x2=-1。

4、直接方法：直接在式子里方即可，通常一般为两个，一正一负

一元二次方程，有详细的解法

这样

看

a=6或-6

这是分式方程，解分式方程一般是先去分母，所以解分式方程必须验根。

解：18/a^2 +16/(a^2-4) = 1

去分母得：

18(a^2-4) +16a^2 =a^2.(a^2-4)

化简整理得：

a^4 - 38a^2 +72 =0

方程左边因式分解得：

(a^2-2)(a^2-36)=0

所以 a^2-2=0 或 a^2-36=0

所以 a=±√2 ， a=±6

经检验：a=±√2 ， a=±6都是原分式方程的根。

一元二次不等式解法口诀

一元二次不等式解法口诀如下：

首先化成一般式，构造函数第二站；判别式值若非负，曲线横轴有交点；a正开口它向上，大于零则取两边；代数式若小于零，解集交点数之间；方程若无实数根，口上大零解为全；小于零将没有解，开口向下正相反。

用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x的值的，小于零的则相反。

这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶。”该方法适用于所有的不等式。

步骤：

1、把二次项系数变成正的。

2、画数轴，在数轴上从小到大依次标出所有根。

3、从右上角开始，一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过：即遇到含x的项是奇次幂就穿过，偶次幂就跨过。

4、注意看看题中不等号有没有等号，没有的话还要注意舍去使不等式为0的根。