柯西不等式的推导 柯西不等式推导权方和不等式

求柯西不等式及均值不等式的推论

这太简单了啊，将柯西不等式变形就得到了

柯西不等式的推导 柯西不等式推导权方和不等式

柯西不等式的推导 柯西不等式推导权方和不等式

柯西不等式的推导 柯西不等式推导权方和不等式

[（a1/√b1)^2+（a2/√b2)^2+……+（an/√bn)^2][√b1^2+√b2^2+……+√bn^2)

>=（a1/√b1√b1)^2+(a2/√b2√b2)^2+……+（an/√bn√bn)^2

=(a1+a2+……an)^2

再将左边的[√b1^2+√b2^2+……+√bn^2]=b1+b2+……+bn

除到右边就得。

柯西不等式是怎么推出来的？

二维形式的证明:

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=(ac+bd)^2+(bc-ad)^2

因为(bc-ad)^2≥0

所以我们有 (a^2+b^2)(c^2+d^2)≥（ac+bd)^2 当且仅当bc=ad时等号成立

柯西不等式证明是怎么样的？

柯西不等式证明是如下：

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】因为，正是后两位数学家彼此地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

推算方式：

记两列数分别是ai，bi，则有(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑aibi)^2。

令f(x)=∑(ai+xbi)^2=(∑bi^2)x^2+2(∑aibi)x+(∑ai^2)，则恒有f(x)≥0。

用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ=4(∑aibi)^2-4(∑ai^2)(∑bi^2)≤0，于是移项得到结论。

柯西不等式有何推论

Cauchy不等式的形式化写法就是：

记两列数分别是ai,bi,则有 (∑ai^2) (∑bi^2) ≥ (∑ai bi)^2.

令 f(x) = ∑(ai + x bi)^2 = (∑bi^2) x^2 + 2 (∑ai bi) x + (∑ai^2)

则恒有 f(x) ≥ 0.

用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 (∑ai bi)^2 - 4 (∑ai^2) (∑bi^2) ≤ 0.

于是移项得到结论.

还可以用向量来证.

m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn)

mn=a1b1+a2b2+.+anbn=(a1^+a2^+.+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.+bn^)^1/2乘以cosX．

因为cosX小于等于1,所以：a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1^+a2^+.+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.+bn^)^1/2

这就证明了不等式．

柯西不等式还有很多种方法证,这里只写出两种较常用的证法．

【1】柯西不等式(n维离散)

定理1.1 给定两组实数：

以下不等式成立:

等号成立当且仅当存在一个实数 ，使对于任意的 ,满足:

证明

(1).先证明存在 的情况:

构造 个函数:

显然 及 ,有:

显然是二次函数,所以 ,有:

所以, ,即：

化简移项证得 .另外,等号成立当且仅当 ，此时二次方程

有的根.这又等价于：

有两个相同的根，即

(2). 数列 中所有元素为零，命题显然成立.

综上所述，命题成立

定理1.2 是实数列， 是正数列，那么：

等号成立当且仅当

证明 根据定理1.1可以推导如下：

上式变形证得 ，再根据定理1.1等号成立的条件证得本定理等号成立的条件为

定理1.3 为复数列，那么

等号成立当且仅当存在一个正实数 ，使 对于所有的 成立。

证明 根据柯西不等式及复数的不等式，可以推导如下：

这就证明了 。另外上式两个等号同时成立的条件为：

(1)对所有的 辐角相同；

(2)存在一个正实数 ，对于任意的 ，有 ；

以上(1)(2)等价于，存在非负实数，对所有的 满足

评注1.4 不等式(1.5)与下式是等价的：

题1.5 ,证明:

等号成立当且仅当 。

证明 (1)当 有一个为零，命题显然成立，否则

(2)

变形得(1.7)，且等号成立当且仅当 ，即

综上，命题成立

评注1.6 不等式 等价于

也等价于：

如果 ，这等号成立的条件为 .

题1.7 ，则 的值为______

解 原式变为

根据(1.8)得

解得

当 时，代入原式计算得 ，所以

评注1.8 题1.7为2020年浙江省高中数学竞赛预赛填空第4题，解法众多，请参见 题4 。

题1.9 正实数 满足等式 ，求 的小值。

解当 时等号成立，所以

题1.10 ,且 ，求证：

证明

.所以命题成立。

柯西不等式的推导和运用

柯西不等式在求某些函数值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。

巧拆常数证不等式

例：设a、b、c为正数且互不相等。

求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)

∵a

、b

、c

均为正数

∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=(1+1+1)^2

∴只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9

又a、b

、c互不相等，故等号成立条件无法满足

∴原不等式成立

求某些函数值

例：求函数y=3√(x－5)＋4√(9－x)的值。

注：“√”表示平方根。

函数的定义域为[5,

9]，y＞0

y=3√(x－5)＋4√(9－x)

≤√(3^2＋4^2)×√{

[√(x－5)]

^2

＋[√(9－x)]

^2

}＝5×2＝10

函数在且仅在4√(x－5)＝3√(9－x)，即x＝6.44时取到。

以上只是柯西不等式的部分示例。更多示例请参考有关文献。

柯西不等式怎么证明？

证明：先证明左边，利用柯西不等式

（1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n)(n+1+n+2+...2n)>=(1+1...+1)^2=n^2

=>（1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n)>=n^2/((3n+1)2n/2)=2n/(3n+1)=2/(3/2+1/n)

显然在n=2时2/(3/2+1/n)取小值，故2n/(3n+1)>=4/7

当且仅当1/（n+1)=1/(n+2)...1/2n且n=2取等号，显然是取不到的，故有

4/7<1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n

下面证明右边，利用柯西不等式：

(1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n)^2<=(1^2+1^2...+1^2)(1/(n+1)^2+1/(n+2)^2...1/(2n)^2)=n(1/1/(n+1)^2+1/(n+2)^2...1/(2n)^2)

<=n(1/(n(n+1）+1/（n+1)(n+2)...1/(2n-1)2n）

=n(1/n-1/(n+1)+1/(n+1)+1/(n+2)...+1/(2n-1)-1/(2n))

=n(1/n-1/2n)=1/2

=>(1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n)^2<=1/2

=>1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n<=(根号2)/2

显然是不可能取等号的，所以右边也成立，故原命题成立，证毕！