线面平行的性质定理_线面平行的性质定理证明

证明线线平行的方法

直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l α；直线l不在平面α内，记作l α。

1、利用平行四边形。

线面平行的性质定理_线面平行的性质定理证明

线面平行的性质定理_线面平行的性质定理证明

1、线线平行：

2、利用三角形或梯形的中位线。

直线在平面内——有无数个公共点．

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。(线面平行的性质定理)

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。(面面平行的性质定理)

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。(线面垂直的性质定理)

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。(需证明)

平面与平面平行的性质定理

于是设错误，故原命题正确。

一个平面内的两条相交直其次，如果平面α中的任何一条直线都与平面β平行，那么根据面面平行的性质定理，两个平面就平行。因此，需要证明平面α中的任何一条直线都与平面β平行。线和另一个平面平行，则这两个平面平行。

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行又F∈a，且F∈c，即a∩c=F，这与a‖c相矛盾，所以设不正确，原命题正确。。

高中立体几何要点

线线平行的判定：

① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示由于a‖b则a‖c。，如平面BC。

③ 点与平面的关系：点A在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作

点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作A l；

（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据

（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号语言：

公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线过点F在平面α内作直线c‖b。互相平行

（6）空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理

（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。

②求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（8）空间直线与平面之间的位置关系

（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β

相交——有一条公共直线。α∩β＝b

5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行 线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。线面平行 线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）

7、空间中的垂直问题

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

9、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线 ，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为 。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为 。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

直线与平面平行的判定定理

性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

性质在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：同旁内角互补两直线平行。定理

2、一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。

定符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。理用处

2、线面平行的性质定理是通过线面平行来证明面面平行的。

怎样证明面面平行性质定理

一、释义：

判定定理：（（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；线面平行→面面平行），如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

反证：记其中一个平面内的两条相交直线为a，b。设这两个平面不平行，设交线为l，则a∥l（过平面外一条与平面平行的直线的平面与该平面的交线平行于该直线），b∥l，则a∥b，与a，b相交矛盾，故设不成立，所以这两个平面平行。

证明线面平行的判定定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

证明线面平行的判定定理是若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

同位角相等两直线平行在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

也可以简单的说成：内错角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：同旁内角互补两直线平行。

证明直线与平面无公共点；利用判定定1、一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。理：从直线与直线平行得到直线与平面平行； 利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。

证线面平行判定定理

证明：设直线a‖直线b，a不在平面α内，b在平面α内。用反证法证明a‖α。

设直线a与平面α不平行，则由于a不在平面α内,有a与α相交，设a∩α=A。

则点A不在直线b上，否则a∩b=A与a‖b矛盾。

过点A在平面α内作直线c‖b，由a‖b得a‖c。

而A∈a，且A∈c，即a∩c=A，这与a‖c相矛盾。

线面平行的判定定理

三种位置关系的符号表示：a α a∩α＝A a∥α

线面平行的判定定理为：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

线面平行：一条直线与一个平面无公共点（不相交），称为直线与平面平行。

二、证明过程：

1、证明：设直线a‖直线b，a不在平面α内，b在平面α内。

设直线a与平面α不平行，则由于a不在平面α内，有a与α相交，设a∩α=A。则点A不在直线b上，否则a∩b=A与a‖b矛盾。过点A在平面α内作直线c‖b，由a‖b得a‖c。

而A∈a，且5、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；A∈c，即a∩c=A，这与a‖c相矛盾。

2、证明：设直线a‖直线b，a不在平面α内，b在平面α内。

设若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条不一定直线与这个平面平行。

若直线a与平面α不平行，且由于a不在平面α内，则有a与α相交，设a∩α=F。

线线平行和面面平行的性质：

同位角相等两直线平行在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果1、线面平行的判定定理主要是通过线线平行来证明线面平行的。内错角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：内错角相等两直线平行。

2、面面平行：

如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。

直线与平面平行的性质定理图像怎么画

步骤3：在已知线段上选择一个点C，并将其与面B上的一点D连接。

直线与平面平行的性质定理：

（1）线线、面面、线面垂直的定义

如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

一条直线和一个平面平行,则过这条直线的 任一平面与这个平面的交线与该直线平行。

画两条线ab 在一平面上平行，ab 所在平面外画一条直线与ab 两线平行，直线与ab 所在平面就平行。

面面平行的性质定理

④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

面面平行的性质定理：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。

证明面面平行的所有条件

判定定理：一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，则定理1，一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；定理2，一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。一条直线与一个平面无公共点（不相交），称为直线与平面平行。这两个平面平行。

推论

两个平行平面的垂线平行或重合如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。线面平行，几何术语。定义为一条直线与一个平面无公共点(不相交)，称为直线与平面平行。。

证明：重合的情况很容易证，平行的情况可以根据定理3先判定一条直线与两个平面都垂直，然后根据线面垂直的性质得到两条直线平行。