欧几里得算法_扩展欧几里得算法

算法的特点是什么？

计算机的算法具有可行性，有穷性、输入输2. 互换：置 a←b，b←r，并返回步。出、确定性。

欧几里得算法_扩展欧几里得算法

欧几里得算法_扩展欧几里得算法

欧几里得算法_扩展欧几里得算法

计算机算法特点

1.有穷性。一个算法应包含有限的作步骤，而不能是无限的。事实上“有穷性”往往指“在合理的范围之内”。如果让计算机执行一个历时1000年才结束的算36 = 2^2 3^2法，这虽然是有穷的，但超过了合理的限度，人们不把他视为有效算法。

2. 确定性。算法中的每一个步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的。算法中的每一个步骤应当不致被解释成不同的含义，而应是十分明确的。也就是说，算法的含义应当是的，而不应当产生“歧义性”。

3. 有零个或多个输入、所谓输入是指在执行算法是需要从外界取得必要的信息。

4. 有一个或多个输出。算法的目的是为了求解，没有输出的算法是没有意义的。

5.有效性。 算法中的每一个 步骤都应当能有效的执行。并得到确定的结果。

Beam Search

束搜索(beam search)方法是解决优化问题的一种启发式方法，它是在分枝定界方法基础上发展起来的，它使用启发式方法估计k个的路径，仅从这k个路径出发向下搜索，即每一层只有满意的结点会被保留，其它的结点则被抛弃，从而比分枝定界法能大大节省运行时间。束搜索于20 世纪70年代中期首先被应用于人工智能领域,1976 年Lowerre在其称为HARPY的语音识别系统中次使用了束搜索方法。他的目标是并行地搜索几个潜在的决策路径以减少回溯，并快速地获得一个解。

二分取中查找算法

一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。搜索过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜索过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半。

Branch and bound

分支定界(branch and bound)算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。

数据压缩

数据压缩是通过减少计算机中所存储数据或者通信传播中数据的冗余度，达到增大数据密度，终使数据的存储空间减少的技术。数据压缩在文件存储和分布式系统领域有着十分广泛的应用。数据压缩也代表再确定b,a-b大小, 用大数减小数，重复这个过程直到其中有一个数整除另一个数，这个数就是公约数着尺寸媒介容量的增大和网络带宽的扩展。

Diffie–Hellman密钥协商

Diffie–Hellman key exchange，简称“D–H”，是一种安全协议。它可以让双方在完全没有对方任何预先信息的条件下通过不安全信道建立起一个密钥。这个密钥可以在后续的通讯中作为对称密钥来加密通讯内容。

Dijkstra’s 算法

迪科斯彻算法（Dijkstra）是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻（Edsger Wybe Dijkstra）发明的。算法解决的是有向图中单个源点到其他顶点的短路径问题。举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离，迪科斯彻算法可以用来找到两个城市之间的短路径。

动态规划

动态规划是一种在数学和计算机科学中使用的，用于求解包含重叠子问题的化问题的方法。其基本思想是，将原问题分解为相似的子问题，在求解的过程中通过子问题的解求出原问题的解。动态规划的思想是多种算法的基础，被广泛应用于计算机科学和工程领域。比较的应用实例有：求解短路径问题，背包问题，项目管理，网络流优化等。这里也有一篇文章说得比较详细。

欧几里得算法

在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法，是求公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。

期望（EM）算法

快速傅里叶变换(FFT)

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT），是离散傅里叶变换的快速算法，也可用于计算离散傅里叶变换的逆变换。快速傅里叶变换有广泛的应用，如数字信号处理、计算大整数乘法、求解偏微分方程等等。

哈希函数

堆排序

Heapsort是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积树是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积属性：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父结点。

归并排序

RANSAC 算法

RANSAC 是”RANdom SAmpleConsensus”的缩写。该算法是用于从一组观测数据中估计数学模型参数的迭代方法，由Fischler and Bolles在1981提出，它是一种非确定性算法，因为它只能以一定的概率得到合理的结果，随着迭代次数的增加，这种概率是增加的。该算法的基本设是观测数据集中存在”inliers”（那些对模型参数估计起到支持作用的点）和”outliers”（不符合模型的点），并且这组观测数据受到噪声影响。RANSAC 设给定一组”inliers”数据就能够得到的符合这组点的模型。

RSA加密演算法

这是一个公钥加密算法，也是世界上个适合用来做签名的算法。今天的RSA已经专利失效，其被广泛地用于电子商务加密，大家都相信，只要密钥足够长，这个算法就会是安全的。

并查集Union-find

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。

寻找可能的隐藏状态序列(Finding most probable sequence of hidden states)。

参考资料：

欧几里得求公约数算法问题

}x1 = 基本上思路就是大数减去小数,一直减到能算出来为止,在作为练习的时候,往往进行到某一步就已经可以看出得值.迭代相减法简单,不过步数比较多,实际上我们可以看到,在上面的过程中,由t1(k) t2(k) t3(k)(78,14)到(8,14)完全可以一步到位,因为(78,14)=(14×5+8,14)=(8,14),由此就诞生出我们的辗转相除法.1;

因为d是a、b的一个公约数，所以a、b都能被d整除，设a=xd，b=yd，则由a=kb+r可得xd=kyd+r，则r=xd-kyd=(x-ky)d，因此r也能被d整除，即d是(b,a mod b)的公约数。

求两个数的公约数，通常用两个数的公约数连续去除，除到商是互质数，就是终结果了，这时我们把除数连乘起来即可。

如果一个数是另一个数的约数，则它们的公约数就是这个数，所以，如果一个数是2，另一个数为偶数，则这两个数的公约数为2；一个数是3，另一个数的各个数位上的数字加起来是3的倍数，这两个数的公约数就是3，一个数是5，另一个数的末位数为0或5，则这两个数的公约数为5。

如果两个数是互质数，它们的公约数就是1，例如4和9的公约数为1，1和2的公约数是1，11和17的公约数是1。

希望我能帮助你解疑释惑。

欧几里得算法（辗转相除法）

[编辑] 算法

给定a,b两个数，设a>b,那么（a,b)=(b,a-b)

从而可知(b,r)=c，继而(a,b)=(b,r)。

{int x = m % n;

return x == 0? n : (n, x);

scanf("%d%d",&a,&b);}

求两个整数m和n的公约数

拓展资料：重要算法

关于求两个整数m和n的公约数分享如下：

其中初始的 这点我们可以当 时 来验证

公约数（Greatest Common Divisor，缩写为）是指能够同时整除给定的两个或多个整数的正整数。

求解公约数是数论中的一个基本问题，在计算机科学、信息学、密码学等领域都有广泛的应用。要求得两个整数m和n的公约数，可以采用多种方法，以下是其中常用的两种方法：

1、辗转相减法：辗转相减法是古希腊数学家设两数为a、b(a>b)，用(a,b)表示a，b的公约数，r=a (mod b) 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明(a,b)=(b,r)。欧几里得提出的一种求公约数的方法。具体作如下：

首先比较m和n的大小，将较大的赋给a，较小的赋给b；计算a与b的，将其赋给t；如果t等于0，则b就是公约数；如果t不等于0，则用(a,t)代替原来的(a,b)，然后重复2~4步，直到t等于0。辗转相减法的时间复杂度为O(n^2)，在处理大数时效率较低。

2、辗转相除法：辗转相除法是基于欧几里得定理的推论提出的一种求公约数的算法，也称为欧几里得算法。欧几里得算法的核心思想是利用余数的不断递归，使得原问题被不断缩小，并且原问题的解等价于所缩小问题的解。具体作如下：

将m和n进行比较，将较大数除以较小数，得到商q和余数r；如果r等于0，则较小的那个数就是公约数；

如果r不等于0，则用较小的数和余数r继续执行上述作，直到余数为0，此时较小的那个数即为公约数。辗转相除法的时间复杂度为O(log n)，在处理大数时效率较高。

综上所述，对于求两个整数m和n的公约数，可以采用辗转相减法和辗转相除法两种方法。但需要注意的是，对于特别大的数，这两种方法可能需要较长的计算时间，因此通常需要采用更加高效的算法来解决这一问题。

拓展欧几里得算法(Extended Euclidean)

（3）否则，将a对b取模得到r，即a mod b=r；

拓展欧几里得(简称EEA) 人如其名是基于欧几里得算法(EA)2. a 和其倍数之公因子为 a。 的，那么我们来回顾下小学所学怎么求两个数m,d | b , d |r ，但是a = kb +rn的小公约数 如果这个公式还没勾起你的回忆，那么我们来一段计算过程吧。这里我们求39和69的公约数

实话说，小时候学只是机械式地记得这个作。但当看到EA的表达式后发现写作 能够更好地理解它的本质。

一句话为了概括EEA就是求两个数 和 使得

归纳总结，为了求 我们需要 和

所以我们有

用欧几里得算法求出（－1859，1573），（30，45，84），（2n-1，n-2）的公约数

5. 算法设计和优化

解：（－1859，1573）=（1859,1573）

A搜寻算法

=（286,1573）

Viterbi algorithm

=（286,1573-2865）

=（286,143）

=（0,143）

=143

（30，45，84） =（30,15,84）

=（0,15,84）

=（15,156-84）

=（15，-6）

=（3,6）

=3

=(3,n-2)

打字不容易，望采纳。。。

扩展欧几里得算法及贝祖定理的证明

在统计计算中，期望（EM）算法是在概率（probabilistic）模型中寻找参数似然估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量（Latent Variable）。期望经常用在机器学习和计算机视觉的数据聚类（Data Clustering）领域。期望算法经过两个步骤交替进行计算，步是计算期望（E），利用对隐藏变量的现有估计值，计算其似然估计值；第二步是化（M），化在 E 步上求得的似然值来计算参数的值。M 步上找到的参数估计值被用于下一个 E 步计算中，这个过程不断交替进行。

公式表述：

HashFunction是一种从任何一种数据中创建小的数字“指纹”的方法。该函数将数据打乱混合，重新创建一个叫做散列值的指纹。散列值通常用来代表一个短的随机字母和数字组成的字符串。好的散列函数在输入域中很少出现散列冲突。在散列表和数据处理中，不抑制冲突来区别数据，会使得数据库记录更难找到。

证明：

a 可以表示为 a = kb + r，r = a%b

设 d 是 (a,b) 的一个公约数，则有

d|a，d|b，而 r = a – kb，因此 d|r

所以 d 也是 (b,a%b) 的公约数.

上面的等式就称做贝祖等式。

设 a否则 与设 矛盾 > b

证明：

设 分别是使得 的整数，

令 ，设此时

则有

设 除以 的商为 ，余数为

则有

但是因为其中 ，所以必须有

故 ，同理可得

即 为 的公约数，又 互质

所以有

公因数指的是什么？

=144（6+1）-1000（结合律）

公因数（Greatest Common Divisor，简称）指的是一组数中的可以同时整除这组数的正整数。也可以称为公约数。

作为一只码农每当学习个新知识尤其是数学知识时。我觉得得搞清楚它是为了解决一个什么问题。欧几里得算法是为了求两个数的公约数 Greatest Common Divisor 后文都以 简称，而拓展欧几里得算法则可以帮助我们求出倒数的模 如果对这个写法不太熟悉，我们换一种表示就是——已知两个正整数a和n，我们想求一个数e使得a与e的乘积除以n的余数为1。而在大名鼎鼎的RSA算法中就有这样一步需要求倒数的模，并且还多加了一个限制条件即a与n互质。

比如，对于整数 12 和 18，它们的公因数就是 6，因为 6 是同时能整除 12 和 18 的正整数。

int (int m, int n)

公因数的求法

公因数有很多种求法，常见的方法包括质因数分解法、欧几里得算法等。无论采用何种方法，终的结果都是找到这组数中的公约数。公因数在数学和计算机科学中经常被用于简化分数、约简比例、求解同余方程等问题。

公因数（）有几种常见的求法：

1.质因数分解法

将两个或多个数分别质因数分解，然后找出它们的所有公共质因数，并将这些公共质因数相乘，得到的积就是公因数。

2. 辗转相除法（欧几里得算法）

取两个数中较大的数除以较小的数，得到商和余数。然后将较小的数除以余数，再得到商和新的余数。重复这个过程直到余数为0，此时的除数就是公因数。

取两个数中较大的数减去较小的数，得到值。然后将较小的数和值再次进行相减，得到新的值。重复这个过程直到值为0或者两个数相等，此时的数就是公因数。

4. 辗转相减与移位结合法（更高效的欧几里得算法）

在辗转相减法的基础上，引入移位作来加速计算过程。

公因数的应用

1.约简分数

当需要对一个分数进行约简时，可以使用公因数来将分子和分母进行约去。将分子和分母除以它们的公因数，可以得到约简后的分数，使其保持简形式。

2. 求解模运算问题

在模运算中，需要求解同余方程。公因数在确定两个数是否互质以及求解模线性方程等问题中起到关键作用。

3. 分解多项式

在代数学中，公因数用于分解多项式。通过求取多项式的公因数，可以将多项式拆解为较小的因式乘积，从而简化计算和分析过程。

4. 密码学中的RSA算法

RSA算法是一种常用的公钥加密和数字签名算法，其中的关键步骤之一就是求解两个大素数的公因数，以确保安全性和可靠性。

公因数算法在算法设计和优化中也发挥重要作用。例如，一些排序算法中使用公因数来实现循环移位作，从而提高执行效率。

求公因数的例题

问题：求解整数 24 和 36 的公因数。

解答：可以使用辗转相除法来求解。首先，用 36 除以 24，得到商 1 和余数 12。然后，再用 24 除以 12，得到商 2 和余数 0。此时，余数为 0，所以公因数就是上一步的除数，即 12。因此，24 和 36 的公因数为 12。

24 = 2^3 3

无论使用哪种方法，终都可以得到相同的结果，即 24 和 36 的公因数为 12。

算法在实际生活中的应用

else

求解问题类的、机械的、统一的方法，它由有限多个步骤组成，对于问题类中的每个给定的具体问题，机械地执行这些步骤就可以得到问题的解答。算法的这种特性，使得计算不仅可以由人，而且可以由计算机来完成。用计算机解决问题的过程可以分成三个阶段：分析问题、设计算法和实现算法。

再证明必要性

古代的筹算口决与珠算口决及其执行规则就是算法的雏形,这里,所解决的问题类是算术运算。古希腊数学家欧几里得在公元前3世纪就提出了一个算法,来寻求两个正整数的公约数，这就是有名的欧几里得算法,亦称辗转相除法。早已有“算术“、“算法”等词汇，但是它们的含义是指当时的全部数学知识和计算技能,与现代算法的含义不尽相同。英文algorithm(算法)一词也经历了一个演变过程，初的拼法为algori或algoritmi,原意为用数字进行计算的过程。这个词源于公元 9世纪波斯数字家阿尔·花拉子米的名字的一部分。

在古代，计算通常是指数值计算。现代计算已经远远地突破了数值计算的范围,包括大量的非数值计算,例如检索、表格处理、判断、决策、形式逻辑演绎等。

在20世纪以前，人们普遍地认为，所有的问题类都是有算法的。20世纪初，数字家们发现有的问题类是不存在算法的,遂开始进行能行性研究。在这一研究中,现代算法的概念逐步明确起来。30年代，数字家们提出了递归函数、图灵机等计算模型，并提出了丘奇－图灵论题（见可计算性理论），这才有可能把算法概念形式化。按照丘奇-图灵论题,任意一个算法都可以用一个图灵机来实现，反之，任意一个图灵机都表示一个算法。

按照上述理解，算法是由有限多个步骤组成的，它有下述两个基本特征：每个步骤都明确地规定要执行何种作；每个步骤都可以被人或机器在有限的时间内完成。人们对于算法还有另一种不同的理解，它要求算法除了上述两个基本特征外,还要具有第三个基本特征:虽然有些步骤可能被反复执行多次，但是在执行有限多次之后，就一定能够得到问题的解答。也就是说，一个处处停机（即对任意输入都停机）的图灵机才表示一个算法，而每个算法都可以被一个处处停机的图灵机来实现

算法分类

算法可以宏泛的分为三类：

有限的，确定性算法 这类算法在有限的一段时间内终止。他们可能要花很长时间来执行指定的任务，但仍将在一定的时间内终止。这类算法得出的结果常取决于输入值。

有限的，非确定Merge sort是建立在归并作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。算法 这类算法在有限的时间内终止。然而，对于一个（或一些）给定的数值，算法的结果并不是的或确定的。

无限的算法 是那些由于没有定义终止定义条件，或定义的条件无法由输入的数据满足而不终止运行的算法。通常，无限算法的产生是由于未能确定的定义终止条件。算法特征一个算法应该具有以下五个方面的重要特征：1、输入。一个算法有零个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况。例如，在欧几里得算法中，有两个输入，即m和n。2、确定性。算法的每一个步骤必须要确切地定义。即算法中所有有待执行的动作必须严格而不含混地进行规定，不能有歧义性。例如，欧几里得算法中，步骤1中明确规定“以m除以n，而不能有类似以m除n以或n除以m这类有两种可能做法的规定。3、有穷性，一个算法在执行有穷步滞后必须结束。也就是说，一个算法，它所包含的计算步骤是有限的。例如，在欧几里得算法中，m和n均为正整数，在步骤1之后，r必小于n，若r不等于0，下一次进行步骤1时，n的值已经减小，而正整数的递降序列必然要终止。因此，无论给定m和n的原始值有多大，步骤1的执行都是有穷次。4、输出。算法有一个或多个的输出，即与输入有某个特定关系的量，简单地说就是算法的终结果。例如，在欧几里得算法中只有一个输出，即步骤2中的n。5、能行性。算法中有待执行的运算和作必须是相当基本的，换言之，他们都是能够地进行的，算法执行者甚至不需要掌握算法的含义即可根据该算法的每一步骤要求进行作，并终得出正确的结果。算法的描述1、用自然语言描述算法前面关于欧几里得算法以及算法实例的描述，使用的都是自然语言。自然语言是人们日常所用的语言，如汉语、英语、德语等。使用这些语言不用专门训练，所描述的算法也通俗易懂。2、用流程图描述算法在数学课程里，我们学习了用程序框图来描述算法。在程序框图中流程图是描述算法的常用工具由一些图形符号来表示算法。3、用伪代码描述算法伪代码是用介于自然语言和计算机语言之间的文字和符号来描述算法的工具。它不用图形符号，因此，书写方便、格式紧凑，易于理解，便于向计算机程序设计语言过度。