三角形余弦定理证明过程 叙述并证明三角形的余弦定理

余弦定理怎么证明出来的

余弦定理的证明方法，内容如下：

三角形余弦定理证明过程 叙述并证明三角形的余弦定理

三角形余弦定理证明过程 叙述并证明三角形的余弦定理

三角形余弦定理证明过程 叙述并证明三角形的余弦定理

如图，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD＝bcosC，AD＝bsinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即：

AB2＝(a-bcosC)2＋(bsinC)2＝a2-2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2-2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2-2abcosC。

当C重合于D时，在Rt△ABC中，∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。

当C在D左侧时，△ABC为钝角三角形，如图3所示，∠ACD＝180°-C，cos∠ACD＝cos(180°-C)＝-cosC，sin∠ACD＝sin(180°-C)＝sinC。

所以CD＝bcos(180°-C)＝-bcosC，AD＝b sin(180°-C)＝b sinC，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a-bcosC)2＋(bsinC)2＝a2-2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2-2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2-2abcosC。

余弦定理是如何推导出来的?说明过程,谢谢!!!

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosBc，AD=sinBc，DC=BC-BD=a-cosBc

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinBc)^2+(a-cosBc)^2

b^2=sin^2Bc^2+a^2+cos^2Bc^2-2accosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)c^2-2accosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2accosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

证明：

∵如图，有a→+b→=c→

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）

再拆开，得c^2=a^2+b^2-2abCosC

同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosBc，AD=sinBc，DC=BC-BD=a-cosBc

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinBc)^2+(a-cosBc)^2

b^2=sin^2Bc^2+a^2+cos^2Bc^2-2accosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)c^2-2accosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2accosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

注：a^2；b^2；c^2就是a的2次方、b的2次方、c的2次方；ab、ac就是a乘b、a乘c 。

用基本的三角公式，添一条高，然后把被高分成2部分的那条边设为x，和c-x，然后列个关于x的方程，再将出来的结果往公式上凑很容易。

需要正弦定理和余弦定理的证明过程。

逆时针作一三角形ABC,A为上面的顶点.设向量CB=a,CA=b,AB=c,那么c=a-b,|c|^2=cc=(a-b)(a-b)=aa+bb-2ab=a^2+b^2-2abcos

C.所以c^2=a^2+b^2-2abcos

C其余两个同理可证．

用向量方法证明三角形的余弦定理

证明：令三角形ABC的三个角分别为∠A、∠B、∠C，其中∠A对应的边长为a，∠B对应的边长为b，∠C对应的边长为c。

那么在三角形ABC中，向量BC=向量AC-向量AB，且|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a

则BC·BC=(AC-AB)·(AC-AB)，

那么|BC|^2=|AC|^2+|AB |^2-2AC·AB，

又因为AC·AB=|AC||AB|cosA，

a^2=b^2+c^2-2bccosA。

同理可用向量证明得到，

b^2=a^2+c^2-2bccosB，

c^2=b^2+a^2-2bccosC。

上述即用向量证明了三角形的余弦定理。

扩展资料：

1、向量的运算

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)则向量的运算法则如下。

（1）数量积

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之间的夹角为A，那么

a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。

a·b=|a|·|b|·cosA，

（2）向量的加法

a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)

（3）向量的减法

a+(-b)=a-b

2、正弦定理应用

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，

那么a/sinA=b/sinB=c/sinC。

且三角形面积S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。

参考资料来源：

证明余弦定理

答：余弦定理的证明如下。

余弦定理和正弦定理在运用的过程中，通过是和三角函数联系在一起，通过余弦和正弦的定义以及使用特点，求出关于三角形以及面积函数关系式。

本文主要从向量法、三角函数法、辅助圆法来讲解证明余弦定理！

1、向量法

2、三角函数法

3、辅助圆法

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理。

直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其他知识，则使用起来更为方便、灵活。

证明余弦定理

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC．

证法一：a2=BC2=(AC-AB)2=AC2+AB2-2AB AC=b2-2bccosA+c2

即a2=b2+c2-2bccosA

同理可证b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC；

证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，

则C（bcosA，bsinA），B（c，0），

∴a2=|BC|2=（bcosA-c）2+（bsinA）2=b2+c2-2bccosA=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A，

同理可证b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC．

求采纳为满意回答。