线性规划问题_线性规划问题化为标准形式例题

其中:σ为高斯分布的标准; 为数据的平均值。

P1(d)表示取值在(-∞，d]的概率，其中要求 。由于分布密度是对称的，求大于 的[d1，∞)的概率用关于 的对称值计算:

而高斯概率分布密度函数[4]为

数据的高斯概率分布函数为

注意:概率分布密度函数和概率分布函数的区别。概率分布函数就是通常所说的概率，所有取值的概率之和为1，即，没有一个取值的概率超过。而概率密度则不同，它与标准有关，标准越小，概率密度越大，它不是概率，所以它的值可能会超过1。

取σ=0.01， ，在相同的σ和 条件下的概率分布密度曲线如图6.1所示，其中实线为指数分布概率密度函数，虚线为高斯分布概率密度函数。概率分布函数如图6.2所示，其中实线为指数分布概率函数，虚线为高斯分布概率函数。

图6.1 指数和高斯概率分布密度函数曲线 图6.2 指数和高斯概率分布函数曲线

线性规划问题的数学模型为[2]

ψ=cTx=max (6.6)

约束条,,},件:

其中:c，x，b为列向量;c称为价值系数;x称为决策变量;A为矩阵。线性规划的优化问题是:在满足约束条件的前提下使得目标函数取极大值(有的书取极小值[7])。

式(6.6)和式(6.7)不是线性规划的标准形式。在实际应用中，各种线性规划问题都可以变换为如式(6.8)和式(6.9)的标准形式后求解。

线性规划问题的标准形式:

约束条件:

下面仍然以一维直流电测深反演为例说明如何将地球物理反演问题转化为线性规划问题。

设视电阻率数据满足指数分布，则可以用L1范数进行反演。

因此建立L1范数曲线拟合目标函数:

其中:M为视电阻率曲线中数据个数;ρai为实测视电阻率; 为理论计算视电阻率。

其中:d为观测电测深视电阻率数据;d为计算机模拟的视电阻率数据，都为列向量。

d≈d0+J·(m-m0)

则地球物理反演教程

要想使ψ=min，则有

式(6.13)可以作为约束条件，而目标函数可以采用模型参数的L1范数最小:

其中:N为模型参数的个数。由于模型参数都是正的，所以有

其中:

这样地球物理反演问题化为线性规划问题(在满足约束条件的前提下使得目标函数取极小值):

L1=cTm=min (6.17)

约束条件:

注意:这里是要使目标函数取极小而不是极大，所以不是线性规划的标准形式。需要化成标准形式来求解。下面介绍变换的四种情况:

(1)目标函数的极小问题改为极大问题。只要令ψ'=-ψ，可以把minψ变为maxψ'。

(2)如果有负的决策变量，可令x'k=-xk将其改为非负的决策变量。

(3)如果约束条件中有决策变量取值无约束，可以把它改为有约束的变量。如:令xk=x'k-x″k，其中x'k和x″k是非负的松弛变量。

任何形式的线性规划数学模型都可以化为标准形式，下面用例子说明。

对于式(6.17)和式(6.18)的线性规划问题，只要令L1=-cTm=max即可。

设有一个非标准形式的线性规划问题:

将这个问题化为标准形式的过程如下:

(1)令z'=-z;

(2)令x'2=-x2;

(3)令x3=x4-x5，其中x4≥0，x5≥0;

这时我们得到如下标准形式的线性规划问题:

解式(6.20)的线性规划问题可以采用单纯形法求解[7，12]。限于篇幅本文不详细介绍单纯形法的具体步骤，有兴趣的读者可以参考相关的书籍。下面仅仅对单纯形法做简单的介绍。

单纯形法是美国数学家丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是:线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是:先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是解;若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别;若仍不是，则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的解。如果问题无解也可用此法判别。

单纯形法的一般解题步骤可归纳如下:

(1)把线性规划问题的约束方程组表达成标准型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。

(2)若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。

(3)若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。

(4)按步骤(3)进行迭代，直到对应检验数满足性条件(这时目标函数值不能再改善)，即得到问题的解。

(5)若迭代过程中发现问题的目标函数值，则终止迭代。用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。

数学优化中，由George Dantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术。有一个算法与此无关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法，由Nelder和Mead(1965)发现，这是用于优化无约束问题的一种数值方法，属于更一般的搜索算法的类别。这二者都使用了单纯形的概念，它是N维中的(N+1)个顶点的凸包、直线上的一个线段、平面上的一个三角形、三维空间中的一个四面体等。在何宝侃等所著《地球物理反问题中的化方法》一书中有下山单纯形法的详细公式及反演步骤[3]。

水害控制管理模型的求解方法———线性规划

线性规划是运筹学中研究较早、应用较广、比较成熟的一个重要分支，它研究具有线性关系的多变量函数，在变量满足一定线性约束条件下，如何求函数的极值问题。

地下水资源管理的线性规划问题，通常可分为两大类:一类是从效益或环境效益出发，即在一定水文地质条件下，寻找供水或排水工程的方案;另一类是从经济效益出发，在满足供、排水工程规划的情况下，寻求完成此工程经济效益或成本的方案。

线性规划问题包括3个要素:

1)决策变量。根据已知条件及所要求的问题，用一组变量x1，x2，…，xn来表示，这些变量称为决策变量，取值要求为非负。

2)目标函数。一个问题都有一个明确的目标，以决策变量的线性函数表示，称为目标函数，它是衡量决策方案优劣的准则。这种准则可用物理量(如水位、水量、水温、水质等)或经济指标(如利润、成本等)来衡量。

3)约束条件。每一个问题都有一定的限制条件，这些条件称为约束条件。它是用一组线性等式或不等式来表示的，其变量与目标函数变量必须是有机联系或者一致的。

煤矿水害防治与管理

约束条件:

煤矿水害防治与管理

式中:Z—目标函数值;n—决策变量数;m—约束方程数;ai，j—结构系数;cj—价格系数;bi—常数项。

4.4.1.2线性规划问题的范式及标准式

煤矿水害防治与管理

且约束条件取“≤”形式，即:

煤矿水害防治与管理

此式为线性规划问题的范式。范式有利于对线性规划对偶问题的讨论。

如果线性规划问题的约束条件均取“=”形式，目标函数取极大或极小值，变量为非负。即:

煤矿水害防治与管理

此式为线性规划问题的标准式。式中新变量xn+i称为松弛变量(slackvariables)。这样，标准式使线性规划问题化为一组具有n+m个未知量的m个线性代数方程式，它有利于直接用标准模型求解。

任何形式的线性规划问题，通过简单的变换，均可转化为标准式。然后用单纯形法求解线性规划问题。

4.4.1.3具有人工变量的单纯形法计算

用单纯形法求解线性规划问题时，需要有一个单位矩阵作为初始基，当约束条件都是“≤”时，约束条件标准化后，其松弛变量均为正数，在约束方程组的系数矩阵中，就形成了一个初始基。但是，实际问题中常常出现“≥”或“=”的约束条件，经标准化后，约束方程组系数不存在单位矩阵，因而没有一个现成的初始基本可行解。为了解决此问题，采用人造基的办法，在约束方程中引入非负的人工变量。这种人工变量与前述松弛变量不同，它没有物理意义，仅是为了求解方程方便而引入，所以解的结果必须使这些变量为零，才能保持改变后的问题与原题等价，否则，说明原题无解。

处理人工变量的方法有-M法和两阶段法。

(1)-M法

当线性规划数学模型中含有“≥”或“=”的约束方程时，需在其左端加一非负的人工变量yi，构成单位矩阵。但加入yi后的方程，就与原约束方程不等价，所以必须保证在的解中，yi=0才能与原约束方程等价。为此，在目标函数式中，给加入的人工变量yi一个很大的系数，对极大问题，系数用-M表示;对极小问题，系数用M表示(M本身为正值)。只有当yi=0时，才能使-Myi=0，目标函数才达到化。yi由于具有很大的系数而得到严格的控制，故这个-M称为“惩罚因子”。

当具有“≥”或“=”的约束方程加入人工变量yi后，即可以yi作为初始基本解，按上述单纯形法计算。

(2)两阶段法

两阶段单纯形法就是将线性规划问题分两个阶段求解。

阶段是判断原线性规划问题是否有解，并寻求一个初始基本可行解。为此，用人工变量的和代替原来的目标函数，以构造一个辅助规划，这个辅助规划具有一个单位矩阵，应用单纯形法，使辅助规划的目标函数最小化。若此辅助规划的解使其目标函数等于零，则说明没有一个人工变量在基本变量内取值，从而可得到原问题的一个基本可行解，转向第二阶段。否则，如果最小值为正，那么问题就以不存在可行解而结束。

第二阶段是求原问题的解。在阶段单纯形表的基础上，去掉人工变量，然后以阶段求得的解作为个基本可行解，以原问题的目标函数，继续用单纯形法进行迭代，直到求得解为止。

4.4.1.4线性规划的对偶问题和灵敏度分析

对偶理论是线性规划理论的发,,},展和深化，也是线性规划的一个特性。它使线性规划理论更加丰富，应用领域更加广泛。对于任何求极大值的线性规划问题，都有一个与之对应的求极小值问题，其有关约束条件的系数矩阵具有相同的数据，但形式上互为转置，且目标函数与约束方程右端常数项互换，目标函数值相等。这就是线性规划的对偶问题。

可用一个简单例子来说明，例如，四边形的周长L一定，什么样形状的四边形面积?是正方形面积。其对偶问题为，四边形面积一定，什么样的四边形周长最短?仍然是四边形。可见前一问题的约束条件，即为后一问题的目标函数，反之亦然。

线性规划问题中，均定各系数ai，j，bi，cj是确定的常数，实际上这些系数往往不可能很，而且随着客观条件变化而改变。例如地下水资源管理中，当水位、水量或水质等约束条件改变时，bi也随之改变;当市场情况或供求关系发生变化时，cj也会改变;而开采工艺或水文地质条件的改变，同样也可引起ai，j的改变。因此，规划者需要知道，某些系数改变后，现行的解是否改变?或者说，这些系数在多大范围内变化，其规划问题的解不变?以及当解发生变化时，如何用最简便的方法找出新的解?这些就是灵敏度分析所要研究和回答的问题。

对偶原理是进行灵敏度分析的理论依据。灵敏度分析的内容，应包括系数cj、bi、ai，j变化及新增加变量和新增加约束条件对解的影响。但对地下水资源管理而言，主要分析cj和bi变化。

由于线性规划原问题与对偶问题之间互为对偶，所以，求极大值原问题的状况，等价于对偶问题的可行状况;而原问题的可行状况，就是对偶问题状况的负值。

从对偶特性可知，对cj和bi进行灵敏度分析的两条重要依据:①只要满足原问题的状况或对偶问题的可行状况，其解不变。以此可分析cj变化对解的影响。②只要原问题保持可行状况或对偶问题状况，其解不变，以此可分析bi变化对解的影响。

分悬赏线性规划问题（单纯形法）

一、线性规划单纯形法的概念

（一）线性规划单纯形解法的基本思路

若一个凸集仅包含有限个极点，则称此凸集为单纯形。

线性规划的可行域是单纯形（证明略，但可以从上节图解法的例子得到认同），进而线性规划的基可行解又与线性规划问题可行域的极点1-1对应（定理2.2.2）， 线性规划单纯形法就是基于线性规划可行域的这样的几何特征设计产生的。这个方法最初是在20世纪40年代由George Dantzig研究出来的。这个线性规划单纯形解法的基本思路是：先求得一个初始基可行解，以这个初始基可行解在可行域中对应的极点为出发点，根据准则判断这个基可行解是否是解，如果不是转换到相邻的一个极点，即得到一个新的基可行解，并使目标函数值下降，这样重复进行有限次后，可找到最解或判断问题无解。

（二）单纯形法的准则

设：线性规划（LP）为：

min cx

s.t. Ax=b

x≥0

定义

则：称λ，或者λj,(j=1,2,…,n)为检验数。

若：λ≤0，即全部λi非正，

则：由B确定的基可行解是（LP）的解。

（参看附录2.3.1）

二、线性规划单纯形法的表格解法

较简单的线性规划可以采用单纯形法的表格形式，这样利用计算器就可求解。单纯形法的表格解法的基本思路是，对基可行解建立单纯形表，依据此表作解判断，以及从原基可行解向目标值更小的新可行解转换的计算。

转换为

其中0是m元0向量：0=(0,0,…,0), 是m阶单位方阵。在这样的行变换下，表2.3.2将转换为表2.3.1

表2.3.1

检验数

基变量

cBB-1A-c cBB-1b

xB B-1A B-1b

表2.3.2

检验数

基变量

xB B N B-1b

（参看附录2.3.2）

（一）直接求解

对如下形式的较简单的线性规划可直接采用单纯形法的表格形式求解：

min cx

s.t. Ax≤b

x≥0

这种形式的线性规划标准化后，为

s.t. Ax+lx'=b

x≥0,x'≥0

其中x'=(x1',x2',…,xm')为松驰变量，而o=(0,0,…,0)T 。现在新的约束矩阵为

因为I是mn的单位矩阵。所以我们就可用这个矩阵作基阵，松驰变量是基变量，立即得到一个初始基可行解，其目标函数值为0，而相应的初始单纯形表如表2.3.3所示。表中

θ=o=(0,0,…,0)T,

从而可开始单纯形表上求解的过程。

表2.3.3

检验数

基变量

-c θ o

A I b

下面我们通过一个实例看单纯形表解线性规划问题的一般步骤

例2.3.1 用直接法求解（LP）

max z=40x1+45x2+24x3

s.t. 2x1+3x2+x3≤100

3x1+3x2+2x3≤120

x1,x2,x3≥0

解：

步 先将原问题化为标准形式

min -z=-40x1-45x2-24x3

s.t. 2x1+3x2+x3+x4=100

3x1+3x2+2x3+x5=120

第二步 列出初始单纯形表

x1 x2 x3 x4 x5

x4 2 3 1 1 0 100

此时，基可行解(0,0,0,100,120)T为，目标函数值为0.

第三步 检查检验数

故λ=(40,45,24,0,0)≥0

因此基可行解不是解，要进行基的转换。

线性规划检验数的定义和解的单纯形法检验准则：

检验数定义为

若 基可行解对应的λ为检验数为非正向量，即

则 此可行解为解。

当大于零的检验数不止一个，理论上可任选一个正检验数对应非基变量为进基变量，一般情况选取正值的检验数对应的非基变量为进基变量，这样迭代常常会快一些。为此，我们选x2进基，因为

因此，x4为离基变量，则新的基变量为x2，x5。

建立单纯形表的方法：

在计算过程中，只要将A中基变量对应的列组成的子矩阵

通过行变换化成单位阵，基变量对应的检验数化成零即可。

如何从原来的表转到新的基相应的单纯形表呢？只要把A中x2相应的列向量通过初等变换化成单位向量即可。因此在上表中只要把x2对应的列

化成

我们称基变量x4所在行和非基变量x2所在列相交元素为变换轴心，用加＊表示，现在这数为3，将这行乘以（-1）加到第三行，乘以（-15）加到行，然后将这行行除以3，得一个新的单纯行表

x1 x2 x3 x4 x5

10 0 9 -15 0 -1500

x2 2/3 1 1/3 1/3 0 100/3

x5 1 0 1 -1 1 20

这样我们作了一次转换，新的基可行解为(0,100/3,0,0,20),目标函数值为-1500。

现在再回到第三步。现在λ1=10,λ3=9均大于零，仍不是解，取x1进基；

因为：

所以，x5离基。

x1 x2 x3 x4 x5

0 0 -1 -5 -10 -1700

x2 0 1 -1/3 1 -2/3 20

x1 1 0 1 -1 1 20

现在所有检验数均小于等于零，这个基可行解（20，20，0，0，0）是解，原问题值1700.以后。

首先我们需要对单纯形表作进一步的认识，注意到检验数：

可见，对应于基变量的λj=0(j=1,2,∧,m)，而且

再记

进而记

这样单纯形表2.3.1可呈现为表2.3.4的形式：

表2.3.4

检验数

基变量

0 0 … 0 λm+1 … λn f0

x1 1 0 … 0 y1m+1 … y1n

x2 0 1 … 0 y2m+1 … y2n

… … … … … … … … …

xm 0 0 … 1 ymm+1 … ymn

步一：把线性规划模型变成它的标准形式；

步二：确定初始基可行解，建立初始单纯形表；

步三：检查对应于非基变量的检验数λj,(j∈N)；若所有这些λj均小于零，则已得到解，停止计算，否则转入下一步；

步四：在所有的λj>0中，若有一个λk在单纯形表上对应的列向量的全部元素yik≤0(i=1,2,…,m)，则此问题无解，停止计算；否则转入下一步；

确定基变量xr为离基变量；

步六：基可行解的转换运算，即实施行变换，将单纯形表上xk对应的列向量变换为单位向量，其中包括将λk变换为0，而原yrk变换为1，称元素yrk为变换轴心。

（三）两阶段法

对一般的线性规划，往往不会象用直接法求解形为Ax≤b的线性规划那样，能够很容易找到初始基可行解，甚至连有无可行基都难以判定，这时就需要应用两阶段法来求解线性规划。

二阶段法就是把解线性规划问题划分为两个阶段，阶段求出原问题的一个基可行解或判断原问题可行域为空；第二阶段在得到的基可行解基础上求解原问题。方法如下：

阶段

人为地在原约束矩阵中增加一些变量使得到单位矩阵，增加的变量称为人工变量，目标函数是人工变量之和。具体而言，对于原线性规划标准化后的Ax=b,(b≥0)的形式，若A中不包括单位矩阵，则我们在每个方程后面加一个“人工变量”得到一个新的线性规划（LP）如下：

（当A中有一些单位向量时，人工变量可少于m个）

为书写方便我们记（LP0）为：

其中Em=(1,1,K,1),分量全为1的m元横向量，

这儿Im是可行基，又因为xa≥目标函数Emx有下界0，所以（LP0）一定有解。设解为：

则可能有三种情形：

(1)若：在解x0的基变量中，不存在人工变量，即人工变量xn+1,xn+2,…,xn+m都是非基变量。

(2)若：在解x0的基变量中，包括某些人工变量，并且值z>0。

这是因为，否则可设原规划有可行解(x1,x2,…,xn),

则(x1,x2,…,xn,0,…,0)是（LP0的可行解，其目标函数值

为0，这与值大于零矛盾。

(3)若：在解x0的基变量中，包括某些人工变量，但值z=0，即，此时为基变量的人工变量都取值为0。

则：设xn+1是一个人工变量的基变量，其在解的单纯形表中对应第S行，设J是非人工变量中非基变量的下标集。

① 如果单纯形表的第S行中，所有的ysk=0,(k∈J)此示原约束Ax=b中第S行为其余行的线性组合，即是个多余的约束，应当删去；

② 如果存在ysk≠0 (k∈J),

则无论ysk是正还是负，以它为变换轴心，xk进基，xn+1离基.如果新表中的基变量中还有人工变量，重复以上步骤，有限次可得到（1）的情形。

第二阶段

步1：以阶段解对应的单纯形表为基础，删去人工变量对应的列，并且将原规划（已标准化）的-c作为检验数，放在行，然后用用行变换将基变量对应的检验数消为零。

步2：以步1结束时建立单纯形表为原线性规划的初始单纯形表，求解原线性规划。

[例2.3.2] 用二阶段法求解（LP）：

min x1-2x2

s.t. x1+x2≥2

-x1+x2≥1

x2≤3

x1,x2≥0

解：

先标准化：

min x1-2x2

-x1+x2-x4=1

x2+x5=3

阶段：

因为A中 对应单位向量

，故只要引进两个人工变量x6,x7即可

min x6+x7

s.t. x1+x2-x3+x6=2

-1+x2-x4+x7=1

x2+x5=3

x1,x2,K,x7≥0

在行放入检验数：

这等价于在行放-c，再用行变换使基变量的检验数为零。

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

0 0 0 0 0 -1 -1 0

x6 1 1 -1 0 0 1 0 2

x7 -1 1 0 -1 0 0 1 1

x5 0 1 0 0 1 0 0 3

0 2 -1 -1 0 0 0 3

x6 1 1 -1 0 0 1 0 2

x7 -1 1 0 -1 0 0 1 1

x5 0 1 0 0 1 0 0 3

2 0 -1 1 0 0 -2 1

x6 2 0 -1 1 0 1 -1 1

x2 -1 1 0 -1 0 0 1 1

x5 1 0 0 1 1 0 -1 2

0 0 0 0 0 0 -1 0

x1 1 0 -1/2 -1/2 0 1/2 -1/2 1/2

x2 0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2 3/2

x5 0 0 1/2 1/2 1 -1/2 -1/2 3/2

得到阶段解，人工变量不是基变量，值为0，则去掉x6,x7所在两列就是原问题基可行解。

第二阶段

仍将-c放在行，用行变换将基变量对应的检验数消为零。

x1 x2 x3 x4 x5

-1 2 0 0 0

x1 1 0 -1/2 1/2 0 1/2

x2 0 1 -1/2 -1/2 0 3/2

x5 0 0 1/2 1/2 1 3/2

0 0 1/2 3/2 0 -5/2

x1 1 0 -1/2 1/2 0 1/2

x2 0 1 -1/2 -1/2 0 3/2

x5 0 0 1/2 1/2 1 3/2

-3 0 2 0 0 -4

x4 2 0 -2 2 0 1

x2 1 1 -1 0 0 2

x5 -1 0 1 0 1 1

-1 0 0 0 -2 -6

x4 0 0 0 2 2 2

x2 0 1 0 0 1 3

x3 -1 0 1 0 1 1

现在检验数全小于等于零，得到原问题解x=(0,3,1,2,0)T值-6。

[例2.3.1.3] 用二阶段法求解（LP）：

s.t. x1+x2≤4

2x1+3x2≥18

x1,x2≥0

s.t. x1+x2+x3=4

2x1+3x2-x4=18

x1,x2,x3,x4≥0

阶段：

min x5

s.t. x1+x2+x3=4

2x1+3x2-x4+x5=18

为了少写一张表，也可在表最上方一行放 ，然后再用行变换使基变量的检验数为零。

0 0 0 0 -1

x1 x2 x3 x4 x5

2 +3 0 -1 0 18

x3 1 1 1 1 0 4

x5 2 +3 0 -1 1 18

-1 0 -3 -1 0 6

x2 1 1 1 0 0 4

x5 -1 0 0 -1 1 16

已得到阶段解，但人工变量仍留在基里，并且值z=6>0故原问题可行域为空。原线性规划无解。

已知一下线性规划问题的解为（X1,X2,X3）=(－5,0,－1) 试问：1、 求K的值； 2

K=1,对偶问题的解为：（0,－2）

对偶问题为：

s.t. -w如果线性规划,,},问题的目标函数取极大值形式，即1-w2 >= 2

w1+w2步五：根据max{λj>0|j∈N}=λk, 即确定λk对应的非基变量λk为进基变量；再根据

简单的线性规划问题

解：（1）因为目标函数向左平移取最小值，向右平移取值，

使之与直线AC重合即可。

即：-1/x1,x2,x3,x4,x5≥0a=(2-1)/(4-1)=1/3，

所以a=-3；

则使得目标函数向右平移与三角形ABC的重合点只有点B，

这时k>0时，都满足题意，这时a<0，

k<0时，须使k的斜率小于直线BC的斜率，即，k=-1/a<(2-1)/(4-5)=-1，

综上所述，a的取值范围是，a<0或0

高数线性规划问题，求解答！

无解（二）单纯形法求解的基本步骤。

由题设条件，x1-2x2+x3≤-1①，x1+2x2-x3≤-6②，①+②可得，2x1≤-7，从图6.2中可见，指数分布出现远离均值的数据的概率比高斯分布大。这说明指数分布容易出现个别数据较坏的情况，这时可以用L1范数解进行反演，这对数据集中极少数坏数据具有较大的韧性[1，2]。即x1≤-7/2。与限定条件x1≥0的交集为空集，即无有效解集。故，minS无解。

供参考。

线性规划问题：

由原题的图像可看出此线性规划共有4个顶点

可求得分别是 (0,0) (0,2) (2,0) (Ax=b，x≥0 (6.9)4,6)

目标函数在这4个点处的值分别为 0，2b，2a，4a+6b

又因为a，b都为正数，所以值在(4,6)点取得，即有4a+6b=12

问题转化为已知4a+6b=12，求2/a + 3/b的最小值

易求得结果是50

线性规划问题

下面是最小费用的两组解,对应的最小费用为1008元:

,,}

下面是所有满足情况的解(不排除有些重复解):

,,}

,,}

下面是按照车费由小到大排序的结果:

,,}

,,}

附上Mathematica 程序,因为程序很小, 所以没有简化程序.没有剔除重复解.

arr = {};

For[m = 0, m 数据的指数概率分布函数[4]为<= Ceiling[480/16] && m <= 7, m++,

For[p = 0, p <= Ceiling[480/16] && p <= 5, p++,

For[n = 0, n <= Ceiling[480/32] && n <= 4, n++,

For[q = 0, q <= Ceiling[480/32] && q <= 3, q++,

If[mp16 + nq32 >= 480,

arr =

Append[arr, , {n, q, 32nq,

60nq}, }];

Break[]

],,},]

]](4)约束条件中的不等号改为等号。对于＜或≤符号，在左端加入一个非负松弛变量;对于＞或≥符号，在右端减去一个非负的剩余变量。

Sort[arr, #1[[-1]][[-1]] < #2[[-1]][[-1]] &]

线性规划问题，在线等，急求！！

（1）,,},max z=2x1+3x2

x1-3x2-x3=5

（2）max z=-5x1+4x2

2x1式(6.10)写成向量形式为-3x2-x3=8

4x1+x2+x4=3