不定积分基本公式不定积分基本公式表

2024-11-10 09:55 世界动态

不定积分的四则运算法则是什么？

证明：由

不定积分没有四则运算法则，只有基本公式法，类换元积分，第二类换元积分，分部积分等。

不定积分基本公式不定积分基本公式表

1、积分公式法：直接利用积分公式求出不定积分。

2、类换元法（即凑微分法）：通过凑微分，依托于某个积分公式，进而求得原不定积分。

积分常用法则公式：

1、∫0dx=c 不定积分的定义。

2、∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c。

3、∫1/xdx=ln|x|+4、∫a^xdx=(a^x)/lna+cc。

4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c。

5、∫e^xdx=e^x+c。

6、∫sinxdx=-cosx+c。

求不定积分的几种运算方法

∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

一、积分公式法

直接利用积分公式求出不定积分。

二、换元积分法

1、类换元法（即凑微分法）

通过凑微分，依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

2、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且在相应区间上是单调的。

（1）根式代换法。

在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。

三、分部积分法

称公式⑴为分部积分公式。如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u，v。

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

通过凑微分，依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。例如

。二、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且

在相应区间上是单调的。

1、根式代换法，

2、三角代换法。

在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。

链式法则是一种最有效的微分方法，自然也是最有效的积分方法，下面介绍链式法则在积分中的应用：

链式法则：

我们在写这个公式时，常换元积分法可分为类换元法与第二类换元法。常习惯用u来代替g，即：

如果换一种写法，就是让：

就可得：

这样就可以直接将dx消掉，走了一个捷径。

设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=u+vdu。移项得到u=d(uv)-vdu[1]

不定积分

两边积分，得分部积分公式

∫u=uv-∫vdu。 ⑴

称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到．

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v

一般来说，u,v 选取的原则是：[2]

1、积分容易者选为v， 2、求导简单者选为u。

例子：∫Inx dx中应设U=Inx,V=x

分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和分式，而分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．

可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。

换元法（三角代换、指数代换、倒代换……）

有理函数的积分：因式分解（拼凑法、待定系数法、混合法）、公式

不定积分的计算公式是什么？

（2）三角代换法。

∫ lnydy

= ylny-∫ ydlny

= ylny-∫ y(1/y)dy

= ylny-∫ dy

= ylny-y+C

注：这里采用的数学应用：求解函数的面积、求解微分方程的通解等。物理应用：用于求解速度、加速度、功率等物理量，例如在运动学和力学中的应用。工程应用：常用于求解电流、电压、功率等问题，在电路分析和电力系统中具有重要的应用。方法叫分部积分法。

分部积分法：设u=u(x)及v=(x)是两个关于x的函数，各自具有连续导数u'=u'(x)及v'=v'(x)，且不定积分∫u'(x)v(x)dx存在，按照乘积函数求微分法则，则有∫u(x)v'(x)dx 存在，且得分部积分公式如下:

或对上式两边求不定积分，即得分部积分公式，也将其简写为

如果将和du用微分形式写出，则亦可得出

扩展资料：

含有ax+b的积分:

含有根号下a+bx的积分:

含有x^2±a^2的积分:

含有ax^2+b的积分:

含有指数函数的积分：

参考资料：

定积分的15个基本公式

1、∫0dx=c

2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c

3、∫1/xdx=ln|x|+c

5、∫e^xdx=e^x+c

6、∫sinxdx一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。=-cosx+c

7、∫cosxdx=sinx+c

8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9、∫1/(sinx)^2dx=-常用积分公式：cotx+c

不定积分有什么用？怎么计算？

上两式就把u=uv'dx的积分转化为vdu=vu'dx的积分，即将复杂的被积函数简单化。

不定积分的概念是一个导数等于f的函数F，即F′=f。

3、积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b（a>0）的积分、含有√（a+x^2）（a>0）的积分、含有√（a^2-x^2）（a>0）的积分、含有√（|a|x^2+bx+c）

1、不定积分的定义：

不定积分是数学中的一个概念，用来求解函数的原函数或反导函数。它是导数的逆运算。不定积分帮助我们找到一个函数的变化规律和趋势。

2、不定积分的符号及解释：

不定积分常用符号∫来表示，读作积分。∫f(x)dx表示对函数f(x)进行积分，dx表示自变量x的微小增量。不定积分的结果通常用C表示，表示求解出的函数的任意常数。

3、不定积分与导数的关系：

不定积分是导数的逆运算。给定一个函数f(x)，如果F(x)是它的一个原函数，即F(x) = f(x)，那么F(x) + C（其中C为常数）也是f(x)的原函数。

4、不定积分的含义：

不定积分求解的是函数的原函数。通过不定积分，我们可以得到一个函数的变化规律和趋势，而不是一个具体的数值结果。不定积分的结果可以看作是一个函数族，其中的每个函数都是原函数。

不定积分性质和计算方法的应用

1、性质：

2、计算方法：

基本积分公式：一些常见函数的不定积分结果，如幂函数的积分、三角函数的积分等，可以直接应用于计算中。换元积分法：通过适当的变量替换来简化积分计算，将复杂的积分转化为简单的形式。分部积分法：将一个复杂的积分按照一定规则分解为简单的积分，通过逐步求积达到求解的目的。

3、应用：

50个常用不定积分公式表

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

8）∫1/(co6）∫sinxdx=-cosx+csx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/27）∫cosxdx=sinx+ca)ln|(a+x)/(a-x)|+c

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/aarctan(x/a)+c

15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)arcsin(x/a)+c

24个常用不定积分公式

24个常用不定积分公2、通常分为定积分和不定积分两种。式如下：

一、

1、积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。

3、不定积分，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。

4、用公式表示是:而相对于不定积分，还有定积分。

5、所谓定积分，其形式为。

二、方法四：换元法————“凑”微分法常见公式

24个基本积分公式部分

1、∫kdx=kx+C(k是常数)。

2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c。

3、∫1/xdx=ln|x|+c。

4、∫dx=arctanx+C21+x1。

5、∫dx=arcsinx+C21x。

6、∫cosxdx。

三、不定积分

在微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f的函数F，即F′=f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。