初中数学勾股定理（经典例题）

勾股定理是初中数学一个非常基本的几何定理，它的定义主要是描述直角三角形的三条边的关系：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。在古代的说法中，勾和股分别为直角三角形的两条直角边，商朝时期的商高就已经提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。

勾股定理辅助线题型 初中数学勾股定理辅助线口诀勾股定理辅助线题型 初中数学勾股定理辅助线口诀


勾股定理辅助线题型 初中数学勾股定理辅助线口诀


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在直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解，有时候在图形复杂或者题目关系混乱的情况下，可以画个示意图比划比划，帮助思路拓展，比如下面的例题二，由于缺少了我们求三角形面积熟悉的高线，所以我们可以先在图上虚构一条辅助线作为一条边上的高，然后根据面积公式和边、高线的关系列出求解。

在例题三中，我们碰到了题目给出了一些条件关系，也非常适合列方程，而这里甚至是出现了方程组，但是根据面积公式我们又巧妙地发现：本题并不需要求出两条直角边，也就是说不需要求出x和y分别是多少，减轻计算量。毕竟关系式1/2xy就是三角形的面积公式了，属于可以取巧的一个小地方。

例题四初看更像是一个数组关系，但是当我们深入理解三角形，特别是直角三角形三边的大小关系时候，我们可以先确定斜边（长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。然后计算出结果之后要讨论取舍，取舍的条件判断就是边长>0。

勾股定理属于基础几何知识，在试卷考核上能够一直应用到高考结束，甚至在以后的科研和工业应用上也是随处可见的。好好对待它，然后熟悉并且掌握它吧！

初中数学辅助线的常见添法

初中数学几何难的地方就是辅助线的添加了，其实添加辅助线也是有技巧的，下面就和我一起了解一下吧，供大家参考。

四边形常见辅助线添法有什么

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形。

1.和平行四边形有关的辅助线添法

平行四边形是常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

(1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形。

(2)利用两组对边平行构造平行四边形。

(3)利用对角线互相平分构造平行四边形。

2.与矩形有辅助线添法

(1)计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。

(2)证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。

3.和菱形有关的辅助线的添法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题。

(1)作菱形的高

(2)连结菱形的对角线

4.与正方形有关辅助线的添法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多。

解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。

5.与梯形有关的辅助线的添法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：

(1)作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形

(2)作梯形的高，构造矩形和直角三角形

(3)作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形

(4)延长两腰构成三角形

(5)作两腰的平行线等

初中数学辅助线的常见添法整理

一、圆中辅助线的添法

1.有条件与“半径”有关时，常需连接圆上一点和圆心。

2.有条件“切线”时，常需连接切点和圆心。

3.有条件“直径”时，常需连接圆上两点，构建直角三角形。

4.有条件“直径或半径”跟“弦”在一起时，常需作弦的垂线，再连接圆上一点和圆心。、

二、三角形中常见辅助线的添法

1.与角平分线有关的

(1)可向两边作垂线。

(2)可作平行线，构造等腰三角形

(3)在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

2.与线段长度相关的

(1)截长：证明某两条线段的和或等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可。

(2)补短：证明某两条线段的和或等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可。

(3)倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

(4)遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

3.与等腰等边三角形相关的

(1)考虑三线合一

(2)旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60°

数学题之勾股定理，在线急等

如图可知 是一个等边三角

所以 做变长为64的边的平分线也是这条边上的高(等边三角形三线合一)

则 被平分后的变长为32 ,那么此时被分后的三角形就是一个直角三角形

已知 一条边长为88

所以 l=根号88^2-32^2=82.0mm(勾股定理)

垂直左边的边做一条辅助线

l就是辅助线的长

因为为等腰三角形，所以辅助线与左边交点为左边中点，那么l=根号下（88^2-32^2）得到l=81.97约为82.0mm

中间横的添垂线

等腰三角形 所以左边64mm的一边被分为32

所以 l^2=88^2-32^2

约等于82.0mm

等腰三角形 做右顶点的高 高的长度为l 因为等腰所以高线也是中线 则L的平方=88的平方-（64/2）的平方

l=82.1mm

88的平方减去64除以2的平方，即可得l长。

求高手解决一道勾股定理的几何题

证明：作AH垂直于BC垂足为H

因为 AB=AC

所以 BH=CH

又由勾股定理得：AD^2=DH^2+AH^2

AB^2=BH^2+AH^2

所以 AD^2--AB^2=DH^2--BH^2

=(DH+BH）（DH--BH）

=（DH+CH）（DH--BH）

=BDDC。

若点D在CB上，则有：AB^2--AD^2=BDCD。证法与上面的证法完全相同。

（1）作AE垂直BC足为E，因为AB=AC，所以，BE=CE。

在直角三角形ADE中，由勾股定理有，AD^2=AE^2+DE^2，

在直角三角形ABE中，由勾股定理有，AB^2=AE^2+BE^2，

因为点D在CB的延长线上，所以，AD>AB。

两式相减得，AD^2-AB^2=（AE^2+DE^2）-（AE^2+BE^2）=DE^2-BE^2

=（DE+BE）（DE-BE）=（DE+CE）BD=CDBD。

（2）当点D在CB上时，AB^2-AD^2=BDCD。

证法同（1）。

勾股定理的运用

勾股定理的运用如下：

构造直角三角形：勾股定理的运用前提是直角三角形，当没有直角三角形时，需想办法先构造直角三角形，通过构造直角三角形，可以求解线段的长度，三角形（或多边形）的面积等。例题1：如图，在已知四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC和AD的长。

特殊角：（1）30°或45° 解题技巧：在30°直角三角形中，直角边为x、根号3x，斜边为2x；在45°直角三角形中，直角边为x、x，斜边为根号2x。这两种角度的直角三角形为常见，务必记住边之间的大小关系2）75°、105°或120°解题技巧：在75°、105°或105°的三角形中，通过该点作垂线，可以构造出30°或45°的直角三角形。

方程思想 ：在直角三角形中，“知二可推一”，若图形中有较多边的长度不知道，可以利用方程思想，设某些边为未知数，再利用勾股定理列写等式方程，将求解边长转化为解方程。

本题考查了勾股定理和等边三角形的判定与性质，作出辅助线BD构造等边三角形是解题的关键。