borel集_闭集为什么是borel集

什么叫紧集？

百达翡丽、宝珀、爱彼、江诗丹顿、宝玑、芝柏、伯爵、卡地亚、雅典、劳力士，这十大品牌不论从品牌历史、制表技术、消费者等等诸多方面都有着卓越的实力才能入选世界十大名表排行榜的。例如爱彼参与研发了三问表，推动了三问报时技术的发展，而宝珀将手表带入了深海，发明了块潜水表五十噚，复兴了卡罗素、月相、大马士革镶金等诸多制表技术，这些品牌都有着很久的制表历史（宝珀最久，有282年），这些拥有深厚历史的手表品牌，在制表历史中做出过无数个世界，也都为制表业界发展做出了自己的贡献，所以才能被列入世界十大名表排行榜之中去。

紧集

borel集_闭集为什么是borel集

borel集_闭集为什么是borel集

可数紧集：每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖.

定义

74,Bronwer

紧集是拓扑空间内的一类特殊点集，它们的任何开覆盖都有有限子覆盖。在度量空间内，紧集还可以定义为满足以下任一条件的：

任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该（自列紧集）

具备Bolzano-Weierstrass性质

完备且完全有界

紧集具有以下性质：

点集是紧集的充分必要条件是它为有界闭集。

紧集在连续函数下的像仍是紧集。

豪斯多夫空间的紧子集是闭集。

实数空间的非空紧子集有元素和最小元素。

定义在紧集上的连续实值函数有界且有值和最小值。

定义在紧集上的连续实值函数一致连续。

直观理解

从某种意义上，紧集类似于有限集。举最简单的例子而言，在度量空间中，所有的有限集都有与最小元素。一般而言，无限集可能不存在或最小元素（比如R中的(0, 1)）,但R中的非空紧子集都有和最小元素。在很多情况下，对有限集成立的证明可以扩展到紧集。一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数一致连续。

类似概念

自列紧集：每个有界序列都有收敛的子序列。

可数紧集：每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖。

伪紧：所有的实值连续函数都是有界的。

弱可数紧致：每个无穷子集都有极限点。

在度量空间中，以上概念均等价于紧集。

相对紧致：如果一个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的，则称Y是相对紧致于X。

局部紧致空间：如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基，则称这个空间是局部紧致空间。

请帮助解答：

1.拓扑空间的紧子集的闭包可以不是紧的，谁可以给出个例子

注：正则空间的紧子集的闭包必为紧的！

2.{Xn}收敛到x0,且都属于X，如何证明{x0}与{Xn,n取正整数}之并是紧集

证：因为{Xn}收敛到X0,所以有对任意ξ>0,都存在N，对任意n>N时有|Xn-X0|<ξ成立。也就是说当n大于某一存在常数N而趋向无穷大时，都有Xn∈O(X0,ξ)成立，而ξ是任意大于零，则X0的任意领域都含有无穷多{Xn}中的点，所以X0是{X0}∪{Xn}的聚点，而其余的点Xn(n=1,2,3…)都是孤立点，此外因数列收敛的性，且其任意子列都收敛于X0，故该并集中含有有且的一个聚点X0，故并集为闭集。

又因为收敛数列的有界性，故此为有界闭集，为紧集！

定义

紧集是拓扑空间内的一类特殊点集,它们的任何开覆盖都有有限子覆盖.在度量空间内,紧集还可以定义为满足以下任一条件的：

任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该（自列紧集）

具备Bolzano-Weierstrass性质

完备且完全有界

紧集具有以下性质：

紧集必然是有界的闭集,但反之不一定成立.

紧集在连续函数下的像仍是紧集.

豪斯多夫空间的紧子集是闭集.

实数空间的非空紧子集有元素和最小元素.

Heine-Borel定理:在Rn内,一个是紧集当且仅当它是闭集并且有界.

定义在紧集上的连续实值函数有界且有值和最小值.

定义在紧集上的连续实值函数一致连续.

直观理解

从某种意义上,紧集类似于有限集.举最简单的例子而言,在度量空间中,所有的有限集都有与最小元素.一般而言,无限集可能不存在或最小元素（比如R中的(0,1)）,但R中的非空紧子集都有和最小元素.在很多情况下,对有限集成立的证明可以扩展到紧集.一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数一致连续.

类似概念

自列紧集：每个有界序列都有收敛的子序列.

伪紧：所有的实值连续函数都是有界的.

弱可数紧致：每个无穷子集都有极限点.

在度量空间中,以上概念均等价于紧集.

相对紧致：如果一个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的,则称Y是相对紧致于X.

准紧集：若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列,则称Y是X中的准紧集.

局部紧致空间：如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基,则称这个空间是局部紧致空间.

2018年世界十大名表排行榜有哪些品牌？入选的依据又是什么

18.Jo二、选择填西，当事物用结束代替开始时，我不会感到很兴奋．但是我的许多在这一领域工作的朋友空：（每题4分，共20分）rdan -------老觉得他是十九世纪的人，呵呵。

手表有哪些牌子？

89.Zeema我想我就谈到这里．这里还有大量的工作，并且我觉得象我这样的一个老人这条正确的道路走下去．我们已经得到了许多线索，地图已经摊开了：我们的目标已经有可以和你n -----

实变函数试题及

69,Minkowsky ----天妒英才啊，感叹。

2006-2007学年第二学期04本实变函数期末试题（A类）

注：A类试卷供统招学生使用

B类试卷供中外合作办学学生使用

题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 合分人 复查人

得分

一、填空：（共10分）

1．如果 则称 是自密集，如果 则称 是开集，如果 则称 是 ， 称为 的 .

2．设 可表示为一列开集 之交集： ，则 称为 .

若 可表示为一列闭集 之并集： ，则 称为 .

3．（Fatou引理）设 是可测集 上一列非负可测函数，则 .

4．设 为 上的有限函数，如果对于 的一切分划 ，使 成一有界数集，则称 为 上的 ，并称这个数集的上确界为 在 上的 ，记为 .

1．下列命题或表达式正确的是

A． B．

C．对于任意 ，有 或 D．

2．下列命题不正确的是

A．若点集 是集，则 B．若点集 是有界集，则

C．可数点集的外测度为零 D．康托集 的测度为零

A． B．

C． D．

4．下列命题不正确的是

A．开集、闭集都是可测集 B．可测集都是Borel集

C．外测度为零的集是可测集 D． 型集， 型集都是可测集

5．下列以下概念通常弱于紧集：基数为 （可数集）的是

A．康托集 准紧集：若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列，则称Y是X中的准紧集。 B．

C．设 是整数，

三、（20分）叙述并证明鲁津（Lusin）定理的逆定理

四、（20分）设 ， 是 上 有限的可测函数，

证明：存在定义在 上的一列连续函数 ，使得

于五、（10分）证明

六、（10分）设 是满足Lipschitz条件的函数，且 于 ，则 为增函数

七、（10分）设 是 上的有界变函数，证明 也是 上的有界变函数

品手表有哪些牌子呢？哪款比较好呀？

量子场论另一个结果是所谓的“量子群”．现在关于量子群的的东西是它们的名

垂直上方名字 品手表的牌子有浪琴 卡地亚 香奈儿 DW 天梭 尊达 肖邦 积家 万国 执柏这些每年都会推出新款 而且都是知名的设计师所设计出来的

16.Klein -----厄兰根纲领，天才啊。

一般 都是 百达翡丽 和江诗在泛函分析方面，包括象Kasparov在内的许多人的工作将连续的K-理论推广到非交换丹顿 款式霸气，

再就是 劳力士和欧米茄

再就是一些个信、性 手表牌子款式也是可以的，

具体看你的接受价格再什么样子

再来决定价格的啊。

一直没有搞懂什么样的才叫紧集,

3．下列表达式正确的是

定义

7.A.Weil ----韦伊，布尔巴基学派的精神。

紧集是拓扑空间内的一类特殊点集,它们的任何开覆盖都有有限子覆盖.在度量空间内,紧集还可以定义为满足以下任一条件的：

任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该（自列紧集）

具备Bolzano-Weierstrass性质

完备且完全有界

紧集具有以下性质：

紧集必然是有界的闭集,但反之不一定成立.

紧集在连续函数下的像仍是紧集.

豪斯多夫空间的紧子集17.E.Artin -----人们对他的一般评价是，大代数学家。是闭集.

实数空间的非空紧子集有元素和最小元素.

Heine-Borel定理:在Rn内,一个是紧集当且仅当它是闭集并且有界.

定义在紧集上的连续实值函数有界且有值和最小值.

定义在紧集上的连续实值函数一致连续.

直观理解

从某种意义上,紧集类似于有限集.举最简单的例子而言,在度量空间中,所有的有限集都有与最小元素.一般而言,无限集可能不存在或最小元素（比如R中的(0,1)）,但R中的非空紧子集都有和最小元素.在很多情况下,对有限集成立的证明可以扩展到紧集.一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数一致连续.

类似概念

自列紧集：每个有界序列都有收敛的子序列.

伪紧：所有的实值连续函数都是有界的.

弱可数紧致：每个无穷子集都有极限点.

在度量空间中,以上概念均等价于紧集.

相对紧致：如果一个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的,则称Y是相对紧致于X.

准紧集：若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列,则称Y是X中的准紧集.

局部紧致空间：如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基,则称这个空间是局部紧致空间.

如果不使用选择公理，可以描述实线上的勒贝格不可测集吗？

典型事物，用数学语言来讲，就是由圆周的微分同胚构成的群或者是由从圆周到一个紧李

可以 在没有选择公理(ZF)体系中实数上所有集都是可测的

99.Garding ----写《数学概览》的瑞典人戈丁？可以证明lebesgue不可测集的存在性和选择公理是等价的

不可以的，如果不使用公理的话。勒贝格曲线他不好测量。86.Deligne -----

有些问题还需要专业的人员来回答

应该是不可以的，否则就不能测量

依波手表什么档次

来它们能解决问题，然而理解这或者我们也可以接触那些关于不在平面上而在弯曲族上的曲线的更加困难的问题，这样我些非线性对偶性看起来也是下个世纪的巨大挑战之一．

瑞士依波路表，以深厚的文化底蕴及精益求精的品质，在钟表领域享负盛名，其中祖尔斯自动系列腕表更是其系列产品中的历史的总结佼佼者，祖尔斯自动系列集中了这个百年制表品牌的诸多褒奖，层峰品质，精湛技艺。祖尔斯自动系列集中了这个百年制表品牌的诸多褒奖，系列大三针表盘是历史的经典呈现，腕表从设计风格上、材质和工艺装饰的运用，充分彰显了制表的自信、沉静和果敢。

表冠的设计典雅温润，侧面为简洁的波浪纹，上链手感舒适。表冠顶端蚀刻一枚品牌40年代由ERNEST BOREL首字EB花体组合而成的经典蝴蝶形标志，彰显身份的同时，更显品牌复古典雅的气息。腕表搭配的为一条316L精钢表链，表链采用拉丝和间电玫瑰金处理，美观耐用。腕表表扣采用的为蝴蝶带扣，方便实用，表扣上也同样的拥有一枚品牌40年代经典的蝴蝶形标志，复古典雅。

这款腕表的表壳厚度算是适中，8.85毫米，佩戴在手腕上作为正装休闲都合适，搭配衣物也非常的方便。上乘316L精钢表壳及表链打造。搭配特制镀金几何镂通时标及指针，耀眼而低调。

求"的公理化定义"

够得到什么结果，还有待进一步观察．它理所当然地是我所期望的至少在下个世纪头十年

论中其中一套由Skolem整理的公理系统，称为Zermelo-Fraenkel 论 (ZF)。实际上，这个名称经常不包括历史上远比今天具争议性的选择公理，当包括了选择公理，这套系统被称为ZFC。

非常细致的工作，因此用这种方式分析无穷维决不是一件轻而易举的事情．我们必须沿着

外延公理: 两个相同，当且仅当它们拥有相同的元素。

空集公理: 存在着一个不包含任何元素的，我们记这个空为{}。

配对公理: 如x, y为，那就有另一个{x,y}包含x与y作为它的谨有元素。

并集公理: 每一个也有一个并集。也就是说，对于每一个x，也总存在着另一个y，而y的元素也就是而且只会是x的元素的元素。

无穷公理: 存在着一个x76.Harish-Chandra，空集{}为其元素之一，且对于任何x中的元素y，y U {y}也是x的元素。

分类公理（或子集公理）：给出任何及命题P(x)，存在着一个原来的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。

替代公理

幂集公理: 每一个也有其幂集。那就是，对于任何的x，存在着一个y，使y的元素是而且只会是x的子集。

正规公理 (or axiom of foundation): 每一个非空x，总包含着一些元素y，使x与y为不交集。

选择公理: (Zermelo's version) 给出一个x，其元素皆为互不相交的非空集，那总存在着一个y（x的一个选择），包含x每一个元素的谨谨一个元素。

【概率的定义】

随机出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。

■概率的频率定义

随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。

■概率的严格定义

设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一A赋于一个实数，记为P(A)，称为A的概率。这里P(·)是一个函数，P(·)要满足下列条件：

（1）非负性：对于每一个A，有P(A)≥0;

（2）规范性：对于必然S，有P(S)=1;

（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……

■概率的古典定义

如果一个试验满足两条：

（1）试验只有有限个基本结果；

（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。

这样的试验，成为古典试验。

对于古典试验中的A，它的概率定义为：

P(A)=m/n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。

■概率的统计定义

在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。

在历史上，个对“当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯努利（Jocob Bernoulli，公元1654年～1705年）。

从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画A发生可能性大小的一个数量指标。

由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。

Ω、Φ分别表示必然（在一定条件下必然发生的）和不可能（在一定条件下必然不发生的）。

数学家排名，要中文的不要给我英文名字。

依波路手表属于中偏高的档次，个人购买GBR60-212型号的依波路手表。

二十世纪数学家排名(前100位):1.A.N.Kolmogorov ---科尔莫戈罗夫为概率论建立了公理体系的人，但排似乎？在可积与不可积之间，存在一个近可积区域，KAM理论是讲这种近可积区域里运动规律是怎样的。KAM理论是由科学家科尔莫戈罗夫（A.N.Kolmogorov）、阿诺尔德（V.I.Arnold）和瑞士科学家莫泽（J.K.Moser）三人证明的。2.H.Poincare -----有些人不需要说明，H.庞加莱就是其中之一。

3.D.Hilbert -----号称数学，无数天才的老师。

4.A.E,Nother -----二十世纪代数学执牛耳者，诺特阿姨。

5.Von Neumann-----计算机的发明者，地球人都知道。

6.H.weyl ---你还知道哪个外尔？

8.I.M.Gelfand——首届Wolf奖得主，泛函分析。

9.Wiener -----典型的神童，控制论的创立人。

10.Alxsandrff ---

11.Ledesque ----实分析开山鼻祖，勒贝格。

12.Shafarevich ----

13.V.I.Arnold---- A.N.Kolmogorov最得意的门徒，又一个了不起的人。

14.Dedekind ------的戴德金分割。

15.Markov ------马尔可夫？学概率的人都知道。

19.Siegel-----来自哥廷根 ？首届Wolf奖得主。

20.Sobolev -----

21.J.P.Serre ——1954年获Fields奖，时年不足28周岁。

22.Gorthenideck -----走在时代前面的格罗滕迪克？上帝！神明！

23.Whiteny ----惠特尼，微分拓扑的开山鼻祖。

24.E.Cartan ----大器晚成的微分几何大家，实在应该排在前十。

25.Thom -------突变论创立者。

26.Milnor ----与纳什合称普林斯顿那一届的双子星，微分拓扑。

27.Hadamand——这个人是谁？似曾相识。

28.Godel ------哥德尔居然只排28？

29.Landau ----巨富的数学家。

30.Hecke -----实在没想到这个人有这么牛，听说过赫克代数而已。

31.陈省身 ----一代宗师，华人的骄傲。

32.Zermelo ---论的东东，学过实变得人都知道。

33.Puntrijagin ----

34.H.Cartan --应该是老嘉当的儿子了，子承父业。

35.Hopf ----来自瑞士的拓扑学，Harvard大学。

36.小平邦彦----人，勤奋的代数几何学家。

37.Cantor ----论的康托只有37，无奈了

38.Chevalley----布饶尔应该排第几呢？

39.Picard—— 存在与性定理？

40.Whitehead -----来自剑桥的哲学家？

41.Caratheodory ——

42.G.H.Hardy ---来自剑桥，最“纯粹”的数学家。

43.Alfors ---首届Feilds奖得主。

44.Selberg——李的同胞，很难想象挪威竟出了那么多的数学家。

45.Tucker ----塔克，纳什在普林斯顿的老师。经济学中的塔克均衡的创立者。

46.高木贞治——最早具有声誉的数学家。

47.Lefschetz --普林斯顿王朝的。

48.Banach -----太靠后了，无语。

49.Eilenberg --艾伦伯格，和华老很交好。

50.Atiyah ----二十世纪后半期英国数学的代表。

51.Sinai——

52.Smale-----大Heine-Borel定理:在Rn内，一个是紧集当且仅当它是闭集并且有界。学时代被系主任追着退学，呵呵。

53.志村五郎 ---志村五郎猜想？

55.Zarisky—— 二十世纪代数几何的代表人物扎里斯基。

56.Liewood ------哈代的好的合作者。

以下是一些常见的品牌手表：1. Rolex2. Omega3. Patek Philippe4. Audemars Piguet5. Cartier6. Breitling7. TAG Heuer8. Jaeger-LeCoultre9. IWC10. Vacn Constantin11. Hublot12. Piaget13. Breguet14. Blancpain15. Tudor16. Franck Muller17. Girard-Perregaux18. Ulysse Nardin19. Chopard20. Panerai21. Zenith22. Montblanc23. Hermes24. Harry Winston25. Richard Mille57,Nelivanna

58,Linnik

59,Schur----有限群理论上多次出现的名字，舒尔。

60,Luzin -------鲁津啊，A.N.Kolmogorov 的博士生导师。

61,Fredholm

62,van de Waerden ----读过《代数学》吗？

63,Tihonov

64,Bernstein ---

65,Roknlin

66,福原满洲雄

67,Hormander

68,Turing ——学计算机的人都知道他。

70,Perron

71,Darboux

72.Levy ----学实变的时候听说过这个人。

73,Ramanujan----莫非就是印度那位超天才数学家？呵呵。

75.Borel -----波莱尔，这个人不需要多说。

77,Skolem

78,Leray

79.Calreman

80.Mumford-----芒福德，代数几何学家，Fields奖得主。

81.Krull----

82.Fisher ---这个人好像不在主流领域。

83.Suslin -----

84,Schwartz -----复变函数里的施瓦兹？好像不是。

85.Schannon ——莫非就是那个“仙农”。

87.Bochner ——

90.华罗庚 ----华老，这个排名令人欣慰。

.Petrovsky ----

92.Geromov ----

93.佐腾干夫—— 没有看到Langlands，却有这么多无关的人，奇怪。

94.Russell -------罗素？怎么排在这么后面。

95.Birkhoff ----名声很大，具体的不太了解。

96.Lindeloff——林德洛夫，应该是在实变函数课上听说过他。

97.Teichmuller----

98.Brauer ----令人震惊的排名，别把代数学家不当人。

100.Witt---

创建于20 世纪的主要数学分支有哪些？请阐述它们各自的主要思想方法！

代数曲线，我们想要知道的是，例如，经过那么多点究竟有多少曲线，这样我们就要面临

基础数学：

李群仍然起着重要的作用，这是因为在切空间中我们有Euclid坐标，以至于李群可以出现

数论：古典数论 解析数论，代数数论，超越数论, 模型式与模函数论

代数学：线性代数 群论, 群表示论, 李群, 李代数, 代数群, 典型群, 同调代数, 代数K理论, Kac-Moody代数, 环论, 代数, 体, 格, 序结构. 域论和多项式 拓扑群 矩阵论 向量代数 张量代数

几何学：（整体，局部）微分几何, 代数几何, 流形上的分析, 黎曼流形与洛仑兹流形, 齐性空间与对称空间, 调和映照, 子流形理论, 杨--米尔斯场与纤维丛理论, 辛流形. 凸几何与离散几何 欧氏几何 非欧几何 解析几何

拓扑学：微分拓扑, 代数拓扑, 低维流形, 同伦论, 奇点与突变理论, 点集拓扑. 流形和胞腔复形 大范围分析,微分拓扑 同调论复流形

函数论： 函数逼近论.

泛函分析：（非）线性泛函分析, 算子理论, 算子代数, 分与泛函方程, 广义函数. 变分法，积分变换 积分方程

微分方程：泛函微分方程, 特征与谱理论及其反问题, 定性理论, 稳定性理论、分支理论,混沌理论, 奇摄动理论,动力系统, 常微分方程非线性椭圆(和抛物)方程,偏微分方程, 微局部分析与一般偏微分算子理论, 调混合型及其它带奇性的方程, 非线性发展方程和无穷维动力系统.

的C-代数情形．一个空间上的连续函数在函数乘积意义下形成一个交换代数．但是在其

他情形下，自然地产生了类似的关于非交换情形的讨论，这时，泛函分析也就自然而然地

成为了这些问题的温床．

因此，K-理论是另外一个能够将相当广泛的数学的许多不同方面都能用这种比较简单

的公式来处理的领域，尽管在每一个情形下，都有很多特定于该方面且能够连接其他部分

架，在不同部分之间具有类比和相似．

这个工作的许多内容已经被Alain Connes推广到“非交换微分几何”．

非常有趣的是，也就是在最近，Witten通过他在弦理论方面（基础物理学的思想

）的工作发现许多很有趣的方法都与K-理论有关，并且K-理论看起来为那些所谓的“守恒

量”提供了一个很自然的“家”．虽然在过去同调论被认为是这些理论的自然框架，但是

现在看起来K一理论能提供更好的．

李群

另一个不单单是一项技术、而且是具有统一性的概念是李群．现在说起李群，我们基

本上就是指正交群，酉群，辛群以及一些例外群，它们在二十世纪数学历史中起了非常重

要的作用．它们同样起源于十九世纪．SophusLie是一位十九世纪的挪威数学家．正如很

多人所讲的那样，他和Fleix Klein，还有其他人一起推动了“连续群理论”的发展．对

Klein而言，一开始，这是一种试图统一处理Euclid几何和非欧几何这两种不同类型几何

的方法．虽然这个课题源于十九世纪，但真正起步却是在二十世纪，作为一种能够将许多

不同问题归并于其中来研究的统一性框架，李群理论深深地影响了二十世纪．

我现在来谈谈Klein思想在几何方面的重要性．对于Klein而言，几何就是齐性空间，

．Euclid群给出Euclid几何而双曲几何源于另一个李群．于是每一个齐性几何对应一个不

同的李群．但是到了后来，随着对Riemann的几何学工作的进一步发展，人们更关心那些

不是齐性的几何，此时曲率随着位置的变化而变化，并且空间不再有整体对称性，然而，

在一种无穷小的层面上．于是在切空间中，从无穷小的角度来看，李群又出现了，只不过

由于要区分不同位置的不同点，我们需要用某种可以处理不同李群的方式来移动物体．这

个理论是被Eile Cartan真正发展起来的，成为现代微分几何的基石，该理论框架对于Ei

nstein的相对论也起着基本的作用．当然Einstein的理论极大地推动了微分几何的全面发

展．

进入二十世纪，我前面提到的整体性质涉及到了在整体层面上的李群和微分几何．一

个主要的发展是给出所谓的“示性类”的信息，这方面标志性的工作是由Borel和Hirzeb

ruch给出的，示性类是拓扑不变量并且融合三个关键部分：李群，微分几何和拓扑，当然

也包含与群本身有关的代数．

在更带分析味的方向上，我们得到了现在被称为非交换调和分析的理论．这是Fouri

er理论的推广，对于后者，Fourie数或者是Fourier积分本质上对应于圆周和直线的交

换李群，当我们用更为复杂的李群代替它们时，我们就可以得到一个非常漂亮、非常精巧

并且将李群表示理论和分析融为一体的理论．这本质上是Harish-Chandra一生的工作．

在数论方面，整个“Lang1ands纲领”,现在许多人都这样称呼它，紧密联系于Haris

h-Chandra理论，产生于李群理论之中．对于每一个李群，我们都可以给出相应的数论和

在某种程度实施Langlands纲领．在本世纪后半叶，代数数论的一大批工作深受其影响．

模形式的研究就是其中一个很好的例证，这还包括Andrew Wiles在Fermat大定理方面的工

作．

也许有人认为李群只不过在几何范畴内特别重要而已，因为这是出于连续变量的需要

．然而事实并非如此，有限域上的李群的类似讨论可以给出有限群，并且大多数有限群都

是通过这种方式产生的．因此李群理论的一些技巧甚至可以被应用到有限域或者是局部域

等一些离散情形中．这方面有许多纯代数的工作，例如与George Lusztig名字联系在一起

的工作．在这些工作中，有限群的表示理论被加以讨论，并且我已经提到的许多技术在这

里也可以找到它们的用武之地．

有限群

上述讨论已把我们带到有限群的话题，这也提醒了我：有限单群的分类是我必须承认

的一项工作．许多年以前，也就是在有限单群分类恰要完成之时,我接受了一次采访，并

且我还被问道我对有限单群分类的看法,我当时很轻率地说我并不认为它有那么重要．我

的理由是有限单群分类的结果告诉我们，大多数单群都是我们已知的，还有就是一张有关

若干例外情形的表．在某种意义下，这只不过是结束了一个领域．而并没有开创什么新东

听到我这么讲，理所当然地会感到非常非常不高兴，我从那时起就不得起“”

了．

在这项研究中，有一个可以弥补缺点的优点．我在这里实际上指的是在所有的所谓“

散在群”(sporadic groups)中，的被赋予了“魔群”名字的那一个．我认为魔群的

发现这件事本身就是有限单群分类中最叫人兴奋的结果了．可以看出魔群是一个极其有意

思的动物而且现在还处于被了解之中．它与数学的许多分支的很大一部分有着意想不到的

联系，如与椭圆模函数的联系，甚至与理论物理和量子场论都有联系．这是分类工作的一

个有趣的副产品．正如我所说的，有限单群分类本身关上了大门，但是魔群又开启了一扇

大门．

物理的影响

现在让我把话题转到一个不同的主题，即谈谈物理的影响．在整个历史中，物理与数

学有着非常悠久的联系，并且大部分数学，例如微积分，就是为了解决物理中出现的问题

而发展起来的．在二十世纪中叶，随着大多数纯数学在于物理学时仍取得了很好的发

展，这种影响或联系也许变得不太明显．但是在本世纪四分之一的时间里，事情发生

了戏剧性的变化,让我试着简单地评述一下物理学和数学，尤其是和几何的相互影响．

在十九世纪，Hamilton发展了经典力学，引入了现在称为Hamilton量的形式化．经典

力学导出现在所谓的“辛几何”．这是几何的一个分支，虽然很早已经有人研究了，但是

实际上直到最近二十年，这个课题才得到真正的研究．这已经是几何学非常丰富的一部分

．几何学，我在这里使用这个词的意思是指，它有三个分支：Riemann几何，复几何和辛

几何，并且分别对应三个不同类型的李群．辛几何是它们之中发展起来的，并且在某

种意义下也许是最有趣的，当然也是与物理有极其紧密联系的一个，这主要因为它的历史

起源与Hamilton力学有关以及近些年来它与量子力学的联系．现在，我前面提到过的、作

为电磁学基本线性方程的Maxwell方程，是Hodge在调和形式方面工作和在代数几何中应用方面工作的源动力．这是一个非常富有成果的理论，并且自从本世纪三十年代以来已经成为几何学中的许多工作的基础．

我已经提到过广义相对论和Einstein的工作．量子力学当然更是提供了一个重要的实

例．这不仅仅体现在对易关系上，而且更显著地体现在对Hilbert空间和谱理论的强调上

．以一种更具体和明显的方式，结晶学的古典形式是与晶体结构的对称性有关的．

个被研究的实例是发生在点周围的有限对称群，这是鉴于它们在结晶学中的应用．在本世

纪中，群论更深刻的应用已经转向与物理的关系，被设用来构成物质的基本粒子看起来

在最小的层面上有隐藏的对称性，在这个层面上，有某些李群在此出没，对此我们看不见

，但是当我们研究粒子的实际行为时，它们的对称性就显现无遗了．所以我们定了一个

模型，在这个模型当中，对称性是一个本质性的要素，而且目前那些很普遍的不同理论都

有一些象SU(2)和SU(3)那样的基本李群融入其中并构成基础的对称群，因此这些李群看起

来象是建设物质大厦的砖石．

并不是只有紧李群才出现在物理中,一些非紧李群也出现在物理中，例如Lorentz群．

正是由物理学家个开始研究非紧李群的表示理论的．它们是那些能够发生在Hilbert

空间的表示，这是因为，对于紧群而言，所有不可约表示都是有限维的，而非紧群需要的

是无穷维表示，这也是首先由物理学家意识到的．

在二十世纪的25年里，正如我刚刚完成阐述的，有一种巨大的从物理学的新思想

到数学的渗透，这也许是整个世纪最引人注目的之一，就这个问题本身，也许就需要

一个完整的报告，但是，基本上来讲，量子场论理论已经以引人注目的方式影响了数

学的许多分支，得到了众多的新结果、新思想和新技术．这里，我的意思是指物理学家通

过对物理理论的理解已经能够预言某些在数学上是对的事情了．当然，这不是一个的

证明，但是确有非常强有力的直觉、一些特例和类比所支持．数学家们经常来检验这些由

物理学家预言的结果，并且发现它们基本上是正确的，尽管给出证明是很困难的而且它们

中的许多还没有被完全证明．

所以说沿着这个方向，在过去的25年里取得了巨大的成果．这些结果是极其细致的．

这并不象物理学家所讲的“这是一种应该是对的东西”．他们说：“这里有明确的公式，

还有头十个实例（涉及超过12位的数字）”．他们会给出关于复杂问题的准确，这些

决不是那种靠猜测就能得到的，而是需要用机器计算的东西，量子场论提供了一个重要的

工具，虽然从数学上来理解很困难，但是站在应用的角度，它有意想不到的回报．这是最

近25年中真正令人兴奋的． 在这里我列一些重要的成果：SimonDona1dson在四维流形方面的工作；Vaughan-Jon es在扭结不变量方面的工作；镜面对称，量子群；再加上我刚才提到的“魔群” 这个主题到底讲的是什么呢？正如我在前面提到过的一样，二十世纪见证了维数的一种转换并且以转换为无穷维而告终，物理学家超越了这些，在量子场论方面，他们真正试图对广泛的无穷维空间进行细致的研究，他们处理的无穷维空间是各类典型的函数空间，它们非常复杂，不仅是因为它们是无穷维的，而且它们有复杂的代数、几何以及拓扑，还有围绕其中的很大的李群，即无穷维的李群，因此正如二十世纪数学的大部分涉及的是几何、拓扑、代数以及有限维李群和流形上分析的发展，这部分物理涉及了在无穷维情形下的类似处理．当然，这是一件非常不同的事情，但确有．

让我更详尽地解释一下，量子场论存在于空间和时间中．空间的真正的意义是三维的

，但是有简化的模型使我们将空间取成一维．在一维空间和一维时间里，物理学家遇到的

群的微分映射构成的群．它们是出现在这些维数里的量子场论中的两个非常基本的无穷维

李群的例子，它们也是理所当然的数学事物并且已经被数学家们研究了一段时间．

在这样一个1＋1维理论中，我们将时空取成一个Riemann曲面并且由此可以得到很多

新的结果．例如，研究一个给定亏格数的Riemann曲面的模空间是个可以追溯到上个世纪

的古典课题．而由量子场论已经得到了很多关于这些模空间的上同调的新结果．另一个非

常类似的模空间是一个具有亏格数g的Riemann曲面上的平坦G-丛的模空间．这些空间都是非常有趣的并且量子场论给出关于它们的一些结果．特别地，可以得到一些关于体积的很漂亮的公式，这其中涉及到Zeta函数的取值．

另一个应用与计数曲线(counting curve)有关．如果我们来看给定次数和类型的平面

代数几何的计数问题，这些问题在上个世纪一直是很经典的．而且也是非常困难的．现在

它们已经通过被称为“量子上同调”的现代技术解决了，这完全是从量子场论中得到的．

们得到了另一个具有明确结果的被称为镜面对称的美妙理论，所有这些都产生于1＋1维量

子场论．

如果我们升高一个维数，也就是2-维空间和1-维时间，就可以得到Vaughan-Jones的

扭结不变量理论．这个理论已经用量子场论的术语给予了很美妙的解释和分析．

字．明确地讲它们不是群！如果有人要问我一个量子群的定义，我也许需要用半个小时来

解释，它们是复杂的事物，但毫无疑问它们与量子理论有着很深的联系它们源于物理，而

且现在的应用者是那些脚踏实地的代数学家们，他们实际上用它们进行确定的计算．

如果我们将维数升得更高一些，到一个全四维理论（三加一维），这就是Donaldson

的四维流形理论，在这里量子场论产生了重大影响．特别地，这还导致Seiberg和Witten

建立了他们相应的理论，该理论建立在物理直觉之上并且也给出许多非同寻常的数学结果

．所有这些都是些突出的例子．其实还有更多的例子．

接下来是弦理论并且这已经是过时的了！我们现在所谈论的是M一理论，这是一个内

容丰富的理论，其中同样有大量的数学，从关于它的研究中得到的结果仍有待于进一步消

化并且足可以让数学家们忙上相当长的时间．

我现在作一个简短的总结．让我概括地谈谈历史：数学究竟发生了什么？我相当随意

地把十八世纪和十九世纪放在了一起，把它们当做我们称为古典数学的时代，这个时代是

与Euler和Gauss这样的人联系在一起的，所有伟大的古典数学结果也都是在这个时代被发

现和发展的．有人也许认为那几乎就是数学的终结了，但是相反地，二十世纪实际上非常

富有成果，这也是我一直在谈论的．

二十世纪大致可以一分为二地分成两部分．我认为二十世纪前半叶是被我称为“专门

化的时代”，这是一个Hilbert的处理办法大行其道的时代，即努力进行形式化，仔细地

定义各种事物，并在每一个领域中贯彻始终．正如我说到过的，Bourbaki的名字是与这种

趋势联系在一起的．在这种趋势下，人们把注意力都集中于在特定的时期从特定的代数系

统或者其它系统能获得什么．二十世纪后半叶更多地被我称为“统一的时代”，在这个时

代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域，并且事物

在很大程度上变得越来越有交叉性．我想这是一种过于简单的说法，但是我认为这简单总

结了我们所看到的二十世纪数学的一些方面．

二十一世纪会是什么呢？我已经说过，二十一世纪是量子数学的时代，或者，如果大

家喜欢，可称为是无穷维数学的时代．这意味着什么呢？量子数学的含义是指我们能够恰

当地理解分析、几何、拓扑和各式各样的非线性函数空间的代数，在这里，“恰当地理解

”，我是指能够以某种方式对那些物理学家们已经推断出来的美妙事物给出较的证明

． 有人要说，如果用天真幼稚的方式( way)来研究无穷维并问一些天真幼稚的问

题，通常来讲，只能得到错误的或者是无意义的，物理的应用、洞察力和动机使

得物理学家能够问一些关于无穷维的明智的问题，并且可以在有合乎情理的时作一些

了，只不过还有很长的路要走．

还有什么会发生在二十一世纪？我想强调一下Connes的非交换微分几何．Alain Con

nes拥有这个相当宏伟的统一理论．同样，它融合了一切．它融合了分析、代数、几何、

拓扑、物理、数论，所有这一切都是它的一部分．这是一个框架性理论，它能够让我们在

非交换分析的范畴里从事微分几何学家通常所做的工作，这当中包括与拓扑的关系．要求

这样做是有很好的理由的，因为它在数论、几何、离散群等等以及在物理中都有（潜力巨

大的或者特别的）应用．一个与物理有趣的联系也刚刚被发现．这个理论能够走多远，能

能够得到显著发展的课题，而且找到它与尚不成熟的（）量子场论之间的联系是完全

有可能的．

我们转到另一个方面，也就是所谓的“算术几何”或者是Arakelov几何，其试图尽可

能多地将代数几何和数论的部分内容统一起来．这是一个非常成功的理论．它已经有了一

个美好的开端，但仍有很长的路要走．这又有谁知道呢？当然，所有这些都有一些共同点．我期待物理学能够将它的影响遍及所有地方，甚至是数论：Andrew Wiles不同意我这样说，只有时间会说明一切．

这些是我所能看到的在下个十年里出现的几个方面，但也有一些难以捉摸的东西：返

回至低维几何．与所有无穷维的富有想象的事物在一起，低维几何的处境有些尴尬．从很

多方面来看，我们开始时讨论的维数，或我们祖先开始时的维数，仍留下某些未解之谜．

维数为2，3和4的对象被我们称为“54.Vinogradov ----维诺格拉朵夫？这个人比华老怎么样？低”维的．例如Thurston在三维几何的工作，目标就

是能够给出一个三维流形上的几何分类，这比二维理论要深刻得多．Thurston纲领还远远

没有完成，完成这个纲领当然将是一个重要的挑战． 在三维中另外一个引人注目的是Vaughan-Jones那些思想本质上来源于物理的工作．这给了我们更多的关于三维的信息，并且它们几乎完全不在Thurston纲领包含的信息之内．如何将这两个方面联系起来仍然是一个巨大的挑战，但是最近得到的结果暗示两者之间可能有一座桥，因此，整个低维的领域都与物理有关，但是其中实在有太多让人琢磨 不透的东西．

，我要提一下的是在物理学中出现的非常重要的“对偶”．这些对偶，泛泛地来

讲，产生于一个量子理论被看成一个经典理论时有两种不同的实现．一个简单的例子是经

典力学中的位置和动量的对偶．这样由对偶空间代替了原空间，并且在线性理论中，对偶

就是Fourier变换．但是在非线性理论中，如何来代替Fourier变换是巨大的挑战之一．数

学的大部分都与如何在非线性情形下推广对偶有关．物理学家看起来能够在他们的弦理论

和M一理论中以一种非同寻常的方式做到了这一点．他们构造了一个又一个令人叹为观止

的对偶实例，在某种广义的意义下，它们是Fourier变换的无穷维非线性体现，并且看起

们这么多的年轻人谈谈是一件非常好的事情；而且我也可以对你们说：在下个世纪，有大

量的工作在等着你们去完成．

数学物理：规范场论, 引力场论的经典理论与量子理论, 孤立子理论.

概率论：马氏过程, 随机过程, 随机分析, 随机场, 鞅论, 极限理论, 平稳过程, 概率论 统计学;

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