线面平行性质定理_线面平行性质定理应用

线面平行的判断方法是什么？

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面也平行。

线面平行性质定理_线面平行性质定理应用

线面平行性质定理_线面平行性质定理应用

3 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。

扩展资料：

会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

面面平行相关的定理：

1、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

2、如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

3、如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。

4、两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。

参考资料来源：

有关平行的性质有哪些？

2 如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

1、利用平行四边形。

几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。

2、利用三角形或梯形的中位线。

5. 如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行。

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行的性质定理）。

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）。

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理）。

6、平行于同一条直线的两个直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

高一数学必修二知识点归纳

5 a,b异面直线，a在α面内，a平行β， b在β面内，b平行α，则α∥β

柱、锥、台、球的结构特征几何体与体积

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成

（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴，旋转一周所成

几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。

斜二测画法特点：原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

（2）直线的斜率

定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，；当时，；当时，不存在。

过两点的直线的'斜率公式：

注意下面四点：（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

（2）k与P1、P2的顺序无关；（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

（3）直线方程

点斜式：直线斜率k，且过点

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示。但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

两点式：（）直线两点，

截矩式：

其中直线与轴交于点，与轴交于点，即与轴、轴的截距分别为。

一般式：（A，B不全为0）

注意：各式的适用范围特殊的方程如：

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）

（二）垂直直线系

（三）过定点的直线系

（）斜率为k的直线系：，直线过定点；

（）过两条直线，的交点的直线系方程为

（为参数），其中直线不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

相交

交点坐标即方程组的一组解。

方程组无解；方程组有无数解与重合

（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点

（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

高中数学必修二知识点总结：圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程，圆心，半径为r；

（2）一般方程

当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为

当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个条件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、高中数学必修二知识点总结：直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（2）过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

（3）过圆上一点的切线方程：圆（x—a）2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0—a）（x—a）+（y0—b）（y—b）=r2

设圆，

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当时两圆外离，此时有公切线四条；

当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

5、空间点、直线、平面的位置关系

公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

应用：判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：

公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β=a。

符号语言：

公理2的作用：

它是判定两个平面相交的方法。

它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

高中数学必修二知识点总结：空间直线与直线之间的位置关系

异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

异面直线性质：既不平行，又不相交。

异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点。

三种位置关系的符号表示：aαa∩α=了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。Aaα

2、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线线平行线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（线面平行→面面平行），

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）

3、空间中的垂直问题

两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；αβ这两个平面垂直。

线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

4、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

两平行直线所成的角：规定为。

两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角

平面的平行线与平面所成的角：规定为。平面的垂线与平面所成的角：规定为。

平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

（3）二面角和二面角的平面角

二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

求二面角的方法

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

必修二知识点总结：解三角形

（1）正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

高中数学必修二知识点总结：数列

（1）数列的概念和简单表示法

了解数列是自变量为正整数的一类函数。

（2）等数列、等比数列

理解等数列、等比数列的概念。

掌握等数列、等比数列的通项公式与前项和公式。

能在具体的问题情境中，识别数列的等关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

了解等数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。

高中数学必修二知识点总结：不等式

高中数学必修二知识点总结：不等关系

了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

（2）一元二次不等式

会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。

通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。

（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题

会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

直线与平面平行的性质定理图像怎么画

高中数学必修二知识点总结：直线与方程

直线与平（1）线线、面面、线面垂直的定义面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

一条直线和一个平面平行,则过这条直线的 任一平面与这个平面的交线与该直线平行。几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。

画两条线ab 在一平面上平行，ab 所在平面外画一条直线与ab 两线平行，直线与ab 所在平面就平行。

怎么证明两个平面平行？

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

证明两个平面平行的方法有：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.

（1）根据定义.证明两个平面没有公共点.

由于两个平面平行的定义是否定形式,所以直接判定两个平面平行较困难,因此通常用反证法证明.

（2）根据判定定理.证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行.

（3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”,证明两个平面都与同一条直线垂直.

2.两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系,而且也和直线与直线的平行有密切联系.就是说,一方面,平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定；另一方面,平面

与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理.这样,在一定条件下,线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化.

3.两个平行平面有无数条公垂线,它们都是互相平行的直线.夹在两个平行平面之间的公垂线段相等.

两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离,都归结为两点之间的距离.

1.两个平面的位置关系,同平面内两条直线的位置关系相类似,可以从有无公共点来区分.因此,空间不重合的两个平面的位置关系有：

（1）

平行—没有公共（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。点；

（2）

相交—有无数个公共点,且这些公共点的是一条直线.

注意：在作图中,要表示两个平面平行时,应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行.

2.两个平面平行的判定定理表述为：

4.两个平面平行具有如下性质：

（1）

两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面.

简述为：“若面面平行,则线面平行”.

（2）

简述为：“若面面平行,则线线平行”.

（3）

如果两个平行平面中一个垂直于一条直线,那么另一个也与这条直线垂直.

（4）

夹在两个平行平面间的平行线段相等

初中、高中阶段用到的立体几何的相关判定定理和性质定理，需要——线线平行、线面平行、

几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。

线线平行的判定

（1）棱柱：

1. 在同一平面内，两条直线没有公共点。

2. 平行于同一条直线的两条直线互相平行。

3. 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。

4. 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线面平行的判定

1直线与平面没有公共点。

2如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

3 如果两个平面平行，那其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。

面面平行的判定

1 如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行。

3 如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。

4 平行于同一平面的两个平面平行。

6 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

面面平行的性质

1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。

2 如果公理3及其推论作用：它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

3 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。

4 夹在两个平行平面间的两条平行间的两条平行线段相等。

线面垂直的判定

1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

2 如果一条直线和两个平行平面中的一个垂直，那么这条直线垂直于另一个平面。

4 如果一条直线与平面内两条相交直线垂直，则这条直线和这个平面垂直。

线面垂直的性质

1 如果一条直线垂直于一个平面，那么它和平面内的任意一条直线垂直。

2 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

3 如果一条直线和两个平行平面中的一个垂直，那么这条直线也垂直于另一个平面。

4 垂直于同一条直线的两个平面平行。

5 垂直于同一平面的两条直线平行。

面面垂直的判定

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则面面垂直。

面面垂直的性质

如果两个面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

怎样通过面面平行证明线面平行

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

步骤1：首先，设有两个面A和B，并且已知这两个面是平行的。

只要这条直线是在其中一个平面内，面面平行就可以直接得出线面平行。面面平行得情况下,其实中一个面上的任何一条直线都与另外一个面平行。

步骤2：从面A上选择一条平行于面B的直线。可以使用尺规作图或其他几何工具来完成这一步骤。

5 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

步骤3：在已知线段上选择一个点C，并将其与面B上的一点D连接。

步骤4：通过点C作出一个平行于面A的平面。可以使用尺规作图或绕线旋转等方法，确保所作平面与已知的面A平行。

步骤5：证明线段CD与新作的平面平行。可以使用垂直定理或平行线之间的性质进行证明。如果线段CD与新作的平面相交，则说明设不成立，面A和面B不是平行的。如果线段CD与新作的平面平行，则可以得出结论，线段CD和面B是平行的。

通过以上步骤，可以利用面面平行的已知条件和几何原理证明线面平行的结论。

首先，证明两个平面没有公共点。

其次，证明一个平面中的任何一条直线都与另一个平面平行。

，根据面面平行的性质定理，可以得到线面平行的结论。

具体来说，设两个平面分别为α和β，直线为l。

首先，如果两个平面有公共点，那么它们就相交了，因此设它们没有公共点。

其次，如果平面α中的任何一条直线都与平面β平行，那么根据面面平行的性质定理，两个平面就平行。因此，需要证明平面α中的任何一条直线都与平面β平行。

，如果直线l包含于平面α，且直线l平行于平面β，那么根据线面平行的性质定理，直线l与平面β没有公共点。因此，在平面α中，任何一条直线都与平面β平行。

综上所述，可以通过面面平行证明线面平行，但前提是两个平面没有公共点，并且一个平面中的任何一条直线都与另一个平面平行。

如果平面a平行于平面b，那平面a里的直线都平行于平面b

证明两个平面平行：

一个平面里的两条相交直线都与这个平面平行。

证明：做垂直交于两个平面的线，两条垂线的间距S，S>0;两条垂线L1，L2，交上平面分别为a，b，交下平面与c，d，连接ab，cd，所以abcd为矩形，所以ab//cd，所以ab//cd所在平面。

（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；

（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；

（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。

注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。

平面与平面平行的性质定理

两个平行平面的垂线平行或重合。证明：重合的情况很容易证，平行的情况可以根据定理3先判定一条直线与两个平面都垂直，然后根据线面垂直的性质得到两条直线平行。

一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。

判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。线面平行，几何术语。几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点定义为一条直线与一个平面无公共点(不相交)，称为直线与平面平行。

平行线的性质有哪些？

当时，两定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角圆内含；当时，为同心圆。

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线一定要在同一平面内定义，不适用于立体几何，比如异面直线，不相交，也不平行。

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

当两条直线分别平行于第三条直线时，这两条直线平行。

平行线分三角形对应边成比例。这几条命题依赖于欧氏几何的第五公设（平行公理），所垂直于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）以在非欧几何中不成立。